[선형대수학] 3. 기본행렬과 LDU분해

[선형대수학] 3. 기본행렬과 LDU분해

 

\(n\)차 정사각행렬 \(A\)가 \(n\)차 단위행렬 \(I_{n}\)에 대해 행연산을 한 번만 한 행렬일 때 \(A\)를 기본행렬(elementary matrix)이라고 하고 \(A\)가 \(n\)차 단위행렬 \(I_{n}\)에 대해 행바꿈을 여러번 한 행렬일 때 \(A\)를 치환행렬(permutation matrix)이라고 한다. 이때 치환행렬 \(A\)는 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있고 기본행렬은 행연산을 나타내는 행렬이다. 두 행렬 \(A,\,B\)가 행동치(row-equivalent)라는 것은 둘 중 한 행렬(\(A\))을 기본 행연산을 이용하여 다른 행렬(\(B\))로 나타낼 수 있다는 것을 뜻한다.

 

예를들어$$\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$$중 첫번째와 세번째는 기본행렬, 두번째와 네번째는 치환행렬이다.

 

기본행렬의 역행렬을 구하는 방법은 다음과 같다: 기본행렬 \(E\)에 대하여

(1) \(E\)의 행에 \(0\)이 아닌 상수 \(c\)가 곱해져 있으면, \(E^{-1}\)에는 \(c\)가 곱해진 열에 \(\displaystyle\frac{1}{c}\)가 곱해져 있다.

(2) \(E\)의 두 개의 행이 바뀐 상태이면, \(E^{-1}\)은 바뀐 두 행을 원래대로 바꾼다. 이때 역행렬은 자기 자신과 같다.

(3) \(E\)의 한 행을 실수배하고 다른 행과 더하면, \(E^{-1}\)은 거꾸로 한 행을 실수배하고 다른 행과 뺀다.

예를들어 다음의 $$E_{1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&c&0\\0&0&1\end{pmatrix}\,(c\neq0),\,E_{2}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{pmatrix},\,E_{3}=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$위의 기본행렬 \(E_{1}\)은 단위행렬에서 2행의 성분에 \(c\)를 곱한 것을 2행에 대입한 것이고, \(E_{2}\)는 1행에 3을 곱한 것과 3행을 더해서 3행에 대입한 것이고, \(E_{3}\)은 1행과 2행을 서로 자리바꿈 한 것이다. 기본행렬 \(E_{1},\,E_{2},\,E_{3}\)의 역행렬 \(E_{1}^{-1},\,E_{2}^{-1},\,E_{3}^{-1}\)은 다음과 같다.$$E_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{c}&0\\0&0&1\end{pmatrix},\,E_{2}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-3&0&1\end{pmatrix},\,E_{3}^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

행연산을 나타내는 기본행렬을 이용하여 3차 이상의 정사각행렬의 역행렬을 구할 수 있다. 역행렬을 구하고자 하는 행렬 \(A\)와 단위행렬 \(I\)에 대하여 첨가행렬 \([A|I]\)를 행연산을 해서 왼쪽의 \(A\)자리를 단위행렬로 만들면 오른쪽 \(I\)자리는 \(A\)의 역행렬 \(A^{-1}\)이 된다. 즉 \([I|A^{-1}]\) 예를들어 3차 정사각행렬 \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\)의 역행렬을 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1\end{array}\right)\begin{matrix}-R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\\ \longrightarrow\end{matrix}\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&1&0&1&0&0\\0&-1&1&-1&1&0\\0&1&1&0&0&1\end{array}\right)\begin{matrix}R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\\ \longrightarrow\end{matrix}\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&1&0&1&0&0\\0&-1&1&-1&1&0\\0&0&2&-1&0&0\end{array}\right)\\ \begin{matrix}\frac{1}{2}R_{3}\rightarrow R_{3}\\ \longrightarrow\end{matrix}\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&1&0&1&0&0\\0&-1&1&-1&1&0\\0&0&1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)\begin{matrix}-R_{2}\rightarrow R_{2}\\ \longrightarrow\end{matrix}\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&1&0&1&0&0\\0&1&-1&1&-1&0\\0&0&1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)\begin{matrix}R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}\\ \longrightarrow\end{matrix}\\ \left(\begin{array}{rrr|rrr}1&1&0&1&0&0\\0&1&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)\begin{matrix}-R_{2}+R_{1}\rightarrow R_{1}\\ \longrightarrow\end{matrix}\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&1&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

따라서 \(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&-1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}\)이다.

 

행렬 \(A\)가 \(n\)차 정사각행렬일 때, 다음 명제들은 서로 동치이다.

 

(1) \(A\)는 좌역행렬을 갖는다.

(2) 계수행렬이 \(A\)인 방정식 \(A\mathrm{x}=O\)은 유일한 해 \(\mathrm{x}=O\)을 갖는다.  

(3) \(A\)는 \(I_{n}\)과 행동치이다.

(4) \(A\)는 기본행렬들의 곱이다.

(5) \(A\)는 역행렬을 갖는다.

(6) \(A\)는 우역행렬을 갖는다.

 

증명:

(1)\(\Rightarrow\)(2): \(A\)는 좌역행렬을 가지므로 적당한 행렬 \(B\)가 존재해서 \(BA=I_{n}\)이다. 그러면 \(\mathrm{x}=I_{n}\mathrm{x}=BA\mathrm{x}=B(A\mathrm{x})=B\cdot O=O\)이다.

(2)\(\Rightarrow\)(3): (2)의 가정으로부터 \(A\)는 각 행에 반드시 선두\(1\)을 가져야 한다. 이때 \(A\)는 \(n\)차 정방행렬이므로 각 행에는 반드시 선두\(1\)이 있어야 되고 따라서 \(A\)의 기약 행사다리꼴은 \(I_{n}\)이다. 기약 행사다리꼴로 만드는 과정은 기본 행 연산을 이용하기 때문에 \(A\)는 \(I_{n}\)과 행동치이다.

(3)\(\Rightarrow\)(4): \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E_{k}\)를 기본행렬, \(E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A=I_{n}\)이라 하자. 그러면 \(A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\cdots E_{n}^{-1}\)이다.

(4)\(\Rightarrow\)(5): \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(E_{k}\)를 기본행렬이라 하자. 그러면 \((E_{1}\cdots E_{k})^{-1}A=I_{n}=A(E_{1}\cdots E_{k})^{-1}\)이므로 \(A^{-1}=(E_{1}\cdots E_{k})^{-1}\)이다.

(5)\(\Rightarrow\)(1): 정의에 의해 명백하다.

(5)\(\Rightarrow\)(6): 정의에 의해 명백하다.

(6)\(\Rightarrow\)(5): \(A\)가 우역행렬을 \(B\)를 갖는다고 하자. 그러면 \(AB=I_{n}\)이고 이는 \(A\)가 \(B\)의 좌역행렬을 뜻한다. 그러면 \(B\)는 정칙행렬이고 따라서 \(A\)도 정칙행렬이다.

 

다음은 행렬 \(A=\begin{pmatrix}1&2&1&1\\3&2&1&4\\1&5&4&1\end{pmatrix}\)를 행사다리꼴로 만드는 과정 중 일부이다.

$$A=\begin{pmatrix}1&2&2&1\\3&2&1&4\\1&5&4&1\end{pmatrix}\begin{matrix}-3R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}\\ \longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&-4&-2&1\\1&5&4&1\end{pmatrix}\begin{matrix}-R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}\\ \longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&-4&-2&1\\0&3&3&0\end{pmatrix}\\ \begin{matrix}\frac{3}{4}R_{2}+R_{3}\rightarrow R_{3}\\ \longrightarrow\end{matrix}\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&-4&-2&1\\0&0&\frac{3}{2}&\frac{3}{4}\end{pmatrix}$$

여기서 \(U=\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&-4&-2&1\\0&0&\frac{3}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\)라 하자. 그러면 \(\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-\frac{3}{4}&1\end{pmatrix}A=U\)이고 \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-\frac{3}{4}&1\end{pmatrix}U\)로 나타낼 수 있다. 이때 \(L=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-\frac{3}{4}&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\1&-\frac{3}{4}&1\end{pmatrix}\)로 나타내면 \(A=LU\)이다. 이러한 방법을 LU 분해법(LU factorization)이라고 한다.

 

앞에서 구한 행렬 \(U\)는 아직 행사다리꼴이 아니다. \(U\)의 각 행에서 처음으로 \(0\)이 아닌 수(선두)가 \(1\)이 아니기 때문에 \(U\)의 각 행에서 처음으로 \(0\)이 아닌 수를 행연산을 이용하여 \(1\)로 만든다. \(U\)의 선두를 \(1\)로 만들면$$U=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-4&0\\0&0&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\0&0&1&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$이므로 행렬 \(A\)를$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\1&-\frac{3}{4}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-4&0\\0&0&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\0&0&1&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$로 나타낼 수 있다.$$L=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\1&-\frac{3}{4}&1\end{pmatrix},\,D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-4&0\\0&0&\frac{3}{2}\end{pmatrix},\,U=\begin{pmatrix}1&2&1&1\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\0&0&1&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$라 하면 \(A=LDU\)이다. 이러한 방법을 LDU 분해법(LDU factorization)이라고 한다.

 

참고자료

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser