[선형대수학] 2. 행렬의 성질

[선형대수학] 2. 행렬의 성질

일반적으로 \(m\times n\)행렬 \(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\)을 \((a_{ij})_{m\times n}\)으로 나타낸다(간단히는 \(A=a_{ij}\)).

크기가 같은 세 행렬 \(A,\,B,\,C\)과 영행렬 \(O\), \(k,\,l\in\mathbb{R}\)에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

(1) \((A+B)+C=A+(B+C)\)

(2) \(A+O=O+A=A\)

(3) \(A+(-A)=(-A)+A=O\)

(4) \(A+B=B+A\)

(5) \(k(A+B)=kA+kB\)

(6) \((k+l)A=kA+lA\)

(7) \((kl)A=k(lA)\)

(8) \(1A=A\)

\(m\times n\)행렬 \(A=(a_{ij})_{m\times n}\)에 대하여 \(A\)의 전치(tranpose)행렬 \(A^{T}\)는 \(n\times m\)행렬이고 \(A^{T}=(a_{ji})_{n\times m}\)이다. 예를 들어, 행렬 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix},\,\mathrm{x}=\begin{pmatrix}x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\end{pmatrix}\)의 전치행렬은 다음과 같다.$$A^{T}=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix},\,\mathrm{x}^{T}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$$전치행렬은 다음의 성질을 갖는다: 크기가 같은 행렬 \(A,\,B\)에 대하여

(1) \((A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)

(2) \((\alpha A)^{T}=\alpha A^{T},\,(A^{T})^{T}=A\,(\alpha\in\mathbb{R})\)

정사각행렬 \(A\)에 대하여 \(A^{T}=A\)이면, \(A\)를 대칭행렬(symmetric matrix)이라 하고 \(A^{T}=-A\)이면, \(A\)를 교대행렬(anti-symmetric matrix)이라 한다. 일반적으로 정사각행렬 \(A\)는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있다. 정사각행렬 \(B\)와 \(C\)가 \(A\)와 크기가 같고 \(\displaystyle B=\frac{A+A^{T}}{2},\,C=\frac{A-A^{T}}{2}\)라 하자. 그러면$$B^{T}=\frac{A^{T}+A}{2}=\frac{A+A^{T}}{2}=B,\,C^{T}=\frac{A^{T}-A}{2}=-\frac{A-A^{T}}{2}=-C$$이므로 \(B\)는 대칭행렬, \(C\)는 교대행렬이고 \(A=B+C\)가 성립한다.

행렬의 곱은 다음과 같이 정의된다:

\(m\times n\)행렬 \(A\)와 \(n\times p\)행렬 \(B\), \(p\times q\)행렬 \(C\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \(A(BC)=(AB)C\)

(2) \(\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)\,(\alpha\in\mathbb{R})\)

(3) \((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)

증명: \(A=a_{ij},\,B=b_{ij},\,C=c_{ij}\)라 하자.

(1): \(\displaystyle ((AB)C)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}{AB_{ik}C_{kj}}=\sum_{k=1}^{p}{\left(\sum_{l=1}^{n}{a_{il}b_{lk}}\right)c_{kj}}=\sum_{k=1}^{p}{\sum_{l=1}^{n}{a_{il}b_{lk}c_{kj}}}\\ \displaystyle(A(BC))_{ij}=\sum_{l=1}^{n}{A_{il(BC)_{lj}}}=\sum_{l=1}^{n}{a_{il}\left(\sum_{k=1}^{p}{b_{lk}c_{kj}}\right)}=\sum_{l=1}^{n}{\sum_{k=1}^{p}{a_{kl}b_{lk}c_{kj}}}\)

이므로 \(A(BC)=(AB)C\)이다.

(2): (1)에서 한 행렬을 스칼라 행렬로 놓는다.

(3): \(\displaystyle(AB)^{T}_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_{k=1}^{n}{a_{jk}b_{ki}}=\sum_{k=1}^{n}{b_{ki}a_{jk}}=\sum_{k=1}^{n}{B^{T}_{ik}A^{T}_{kj}}=(B^{T}A^{T})_{ij}\)

위의 결과로부터 \(n\)차 정사각행렬 \(A,\,B,\,C\)에 대하여 다음이 성립한다.

(a) \((AB)C=A(BC)\)

(b) \(A(B+C)=AB+AC,\,(B+C)A=BA+CA\)

(c) \(IA=A=AI\)(\(I\)는 단위행렬)

(d) \(\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha)B\)

(e) \((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)

(b)에서 \(A(B+C)\)와 \((B+C)A\)는 일반적으로 같지 않다. 즉 행렬은 곱에 대해서 교환법칙이 성립하지 않는다.

\(m\times n\)행렬 \(A\)와 \(n\times m\)행렬 \(B\)에 대하여

\(BA=I_{n}\)일 때, \(B\)를 \(A\)의 좌역(leftinverse)행렬이라 하고, \(AB=I_{m}\)일 때, \(B\)를 \(A\)의 우역(rightinverse)행렬이라 한다. 여기서 \(I_{m}\)과 \(I_{n}\)은 각각 \(m\), \(n\)차 단위행렬이다.

\(A\)가 \(n\)차 정사각행렬일 때, \(A\)의 역행렬 \(A^{-1}\)가 존재하면 정칙(nonsingular, regular)이라 한다.

\(n\)차 정사각행렬 \(B\)에 대해 \(AB=I_{n}=BA\)를 만족하면 \(B\)를 \(A\)의 역행렬(inverse matrix)이라 하고 \(B=A^{-1}\)로 나타낸다. 이때 어떤 행렬에 대한 역행렬은 유일하다. 이를 보이자. 정사각행렬 \(A,\,B,\,C\)에 대하여 \(AB=I_{n}=BA\)이고 \(AC=I_{n}=CA\)라 하자. 그러면 \(B=BI_{n}=B(AC)=(BA)C=I_{n}C=C\)이다.

정칙인 \(n\)차 정사각행렬 \(A,\,B\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

(2) \(\displaystyle(\alpha A)^{-1}=\frac{1}{\alpha}A^{-1}\,(\alpha\in\mathbb{R}-\{0\})\)

(3) \(C\)가 정사각행렬이고 \(AB=AC\), \(A\)의 역행렬이 존재하면, \(B=C\)이다.

참고자료

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser