[선형대수학] 2. 행렬의 성질

[선형대수학] 2. 행렬의 성질

일반적으로 $m\times n$행렬 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$을 $(a_{ij})_{m\times n}$으로 나타낸다(간단히는 $A=a_{ij}$).

크기가 같은 세 행렬 $A,\,B,\,C$과 영행렬 $O$, $k,\,l\in\mathbb{R}$에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

(1) $(A+B)+C=A+(B+C)$

(2) $A+O=O+A=A$

(3) $A+(-A)=(-A)+A=O$

(4) $A+B=B+A$

(5) $k(A+B)=kA+kB$

(6) $(k+l)A=kA+lA$

(7) $(kl)A=k(lA)$

(8) $1A=A$

$m\times n$행렬 $A=(a_{ij})_{m\times n}$에 대하여 $A$의 전치(tranpose)행렬 $A^{T}$는 $n\times m$행렬이고 $A^{T}=(a_{ji})_{n\times m}$이다. 예를 들어, 행렬 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix},\,\mathrm{x}=\begin{pmatrix}x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\end{pmatrix}$의 전치행렬은 다음과 같다. $$A^{T}=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix},\,\mathrm{x}^{T}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$$ 전치행렬은 다음의 성질을 갖는다: 크기가 같은 행렬 $A,\,B$에 대하여

(1) $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

(2) $(\alpha A)^{T}=\alpha A^{T},\,(A^{T})^{T}=A\,(\alpha\in\mathbb{R})$

정사각행렬 $A$에 대하여 $A^{T}=A$이면, $A$를 대칭행렬(symmetric matrix)이라 하고 $A^{T}=-A$이면, $A$를 교대행렬(anti-symmetric matrix)이라 한다. 일반적으로 정사각행렬 $A$는 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있다. 정사각행렬 $B$와 $C$가 $A$와 크기가 같고 $\displaystyle B=\frac{A+A^{T}}{2},\,C=\frac{A-A^{T}}{2}$라 하자. 그러면 $$B^{T}=\frac{A^{T}+A}{2}=\frac{A+A^{T}}{2}=B,\,C^{T}=\frac{A^{T}-A}{2}=-\frac{A-A^{T}}{2}=-C$$ 이므로 $B$는 대칭행렬, $C$는 교대행렬이고 $A=B+C$가 성립한다.

행렬의 곱은 다음과 같이 정의된다:

$m\times n$행렬 $A$와 $n\times p$행렬 $B$, $p\times q$행렬 $C$에 대하여 다음이 성립한다.

(1) $A(BC)=(AB)C$

(2) $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)\,(\alpha\in\mathbb{R})$

(3) $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

증명: $A=a_{ij},\,B=b_{ij},\,C=c_{ij}$라 하자.

(1): $\displaystyle ((AB)C)_{ij}=\sum_{k=1}^{p}{AB_{ik}C_{kj}}=\sum_{k=1}^{p}{\left(\sum_{l=1}^{n}{a_{il}b_{lk}}\right)c_{kj}}=\sum_{k=1}^{p}{\sum_{l=1}^{n}{a_{il}b_{lk}c_{kj}}}\\ \displaystyle(A(BC))_{ij}=\sum_{l=1}^{n}{A_{il(BC)_{lj}}}=\sum_{l=1}^{n}{a_{il}\left(\sum_{k=1}^{p}{b_{lk}c_{kj}}\right)}=\sum_{l=1}^{n}{\sum_{k=1}^{p}{a_{kl}b_{lk}c_{kj}}}$

이므로 $A(BC)=(AB)C$이다.

(2): (1)에서 한 행렬을 스칼라 행렬로 놓는다.

(3): $\displaystyle(AB)^{T}_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_{k=1}^{n}{a_{jk}b_{ki}}=\sum_{k=1}^{n}{b_{ki}a_{jk}}=\sum_{k=1}^{n}{B^{T}_{ik}A^{T}_{kj}}=(B^{T}A^{T})_{ij}$

위의 결과로부터 $n$차 정사각행렬 $A,\,B,\,C$에 대하여 다음이 성립한다.

(a) $(AB)C=A(BC)$

(b) $A(B+C)=AB+AC,\,(B+C)A=BA+CA$

(c) $IA=A=AI$($I$는 단위행렬)

(d) $\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha)B$

(e) $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

(b)에서 $A(B+C)$와 $(B+C)A$는 일반적으로 같지 않다. 즉 행렬은 곱에 대해서 교환법칙이 성립하지 않는다.

$m\times n$행렬 $A$와 $n\times m$행렬 $B$에 대하여

$BA=I_{n}$일 때, $B$를 $A$의 좌역(leftinverse)행렬이라 하고, $AB=I_{m}$일 때, $B$를 $A$의 우역(rightinverse)행렬이라 한다. 여기서 $I_{m}$과 $I_{n}$은 각각 $m$, $n$차 단위행렬이다.

$A$가 $n$차 정사각행렬일 때, $A$의 역행렬 $A^{-1}$가 존재하면 정칙(nonsingular, regular)이라 한다.

$n$차 정사각행렬 $B$에 대해 $AB=I_{n}=BA$를 만족하면 $B$를 $A$의 역행렬(inverse matrix)이라 하고 $B=A^{-1}$로 나타낸다. 이때 어떤 행렬에 대한 역행렬은 유일하다. 이를 보이자. 정사각행렬 $A,\,B,\,C$에 대하여 $AB=I_{n}=BA$이고 $AC=I_{n}=CA$라 하자. 그러면 $B=BI_{n}=B(AC)=(BA)C=I_{n}C=C$이다.

정칙인 $n$차 정사각행렬 $A,\,B$에 대하여 다음이 성립한다.

(1) $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

(2) $\displaystyle(\alpha A)^{-1}=\frac{1}{\alpha}A^{-1}\,(\alpha\in\mathbb{R}-\{0\})$

(3) $C$가 정사각행렬이고 $AB=AC$, $A$의 역행렬이 존재하면, $B=C$이다.

참고자료

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser