[선형대수학] 5. 여인수 전개와 크래머 공식

[선형대수학] 5. 여인수 전개와 크래머 공식

$n$차 정사각행렬 $A=(a_{ij})_{n\times n}$의 판별식은 다음과 같다.

$$\det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}{\text{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}}$$

행렬 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$의 행렬식은

$$\det A=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$ 이었다. 여기서 $A_{11}=a_{22}a_{33},\,A_{12}=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31},\,A_{13}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}$라고 하면 $$\det A=a_{11}A_{11}-a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$$ 이다. 이러한 방법을 여인수전개(cofactor expansion)라고 한다. 이때 $$A_{1k}=\sum_{\sigma\in S_{n},\,\sigma(1)=k}{\text{sgn}(\sigma)a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}}=(-1)^{k-1}m_{1k}$$ 라 하면($m_{1k}$는 행렬 $A$의 1행과 $k$열을 제거한 $(n-1)\times(n-1)$행렬의 행렬식이고 이를 $A$의 소(minor)행렬식이라고 한다.) $$\det A=\sum_{k=1}^{n}{a_{1k}A_{1k}}$$ 이 성립한다.

일반적으로 $A_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}$가 성립하고 여기서 $m_{ij}$는 행렬 $A$의 $i$번째 행과 $j$번째 열을 제거한 $(n-1)\times(n-1)$행렬의 행렬식이다. $A_{ij}$를 $a_{ij}$의 여인자(여인수, cofactor)라고 한다. 그렇다면 $A$의 행렬식을 다음과 같이 나타낼 수 있다: $n$차 정사각행렬 $A$의

$i$번째 행의 여인수전개: $\displaystyle\det A=\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}A_{ik}}$

$j$번째 열의 여인수전개: $\displaystyle\det A=\sum_{k=1}^{n}{a_{kj}A_{kj}}$

예를들어 행렬 $A=\begin{pmatrix}1&-1&2&-1\\-3&4&1&-1\\2&-5&-3&8\\-2&6&-4&1\end{pmatrix}$의 판별식 $\det A$를 다음과 같이 행연산을 이용해서 구한다. $$\det A=\det\begin{pmatrix}1&-1&2&-1\\0&1&7&4\\0&-3&-7&10\\0&4&0&-1\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}1&7&-4\\-3&-7&10\\4&0&-1\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}1&7&4\\-1&0&6\\4&0&1\end{pmatrix}=-7\det\begin{pmatrix}-2&6\\4&-1\end{pmatrix}=154$$

$n$차 정사각행렬 $A$에 대하여 $A_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}$이고 여기서 $m_{ij}$는 앞에서 언급했던 $A$의 소행렬식이다. 이때 다음이 성립한다. $$\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}A_{jk}}=\begin{cases}\det A,\,&(i=j)\\0,\,&(i\neq j)\end{cases}$$

$A$가 $n$차 정사각행렬이고 $A_{ij}$가 $a_{ij}$의 여인자일 때, 다음의 행렬 $$\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$$ 을 $A$의 여인자행렬(matrix of cofactors)이라 하고 이 여인자행렬의 전치행렬을 $A$의 수반(adjoint)행렬이라 하고 $\text{adj}A$로 나타낸다.

즉, $$\text{adj}A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$$ 이다. 식 $$\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}A_{jk}}=\begin{cases}\det A,\,&(i=j)\\0,\,&(i\neq j)\end{cases}$$ 로부터 다음이 성립한다. $$A\cdot\text{adj}A=\begin{pmatrix}\det A&0&\cdots&0\\0&\det A&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\det A\end{pmatrix}=\det AI_{n}$$

그러면 $\det A\neq0$일 때, $A$의 역행렬은 $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\text{adj}A$가 됨을 알 수 있다. 이때 $\displaystyle I_{n}=\frac{A}{\det A}\text{adj}A$이므로 $(\text{adj}A)^{-1}=\frac{A}{\det A}$이다.

$A$가 $n$차 정사각행렬이고 역행렬을 가지면($\det A\neq0$), 방정식 $A\mathrm{x}=\mathrm{b}$의 해는 $\displaystyle\mathrm{x}=A^{-1}\mathrm{b}=\frac{\text{adj}A}{\det A}\mathrm{b}$이고 $x_{i}=\frac{\det C_{i}}{\det A}$이다. 여기서 $C_{i}$는 행렬 $A$의 $i$번째 열을 $\mathrm{b}$로 교체한 행렬이다. 이러한 방법을 크래머의 공식(Cramer's rule)이라고 한다.

다음의 방정식 $$\begin{align*}x+2y+3z=1&\\y+2z=2&\\2z=4\end{align*}$$ 을 행렬로 나타내면 $$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$$ 이고 역행렬을 구해서 풀면 $$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&-4&1\\0&2&-2\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}$$ 이다. 즉, $x=-1,\,y=-2,\,z=2$이다. 이를 크래머의 공식을 이용해서 풀면 $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}=2$이므로 $$x=\frac{\det C_{1}}{\det A}=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&2\\4&0&2\end{pmatrix}=-1,\,y=\frac{\det C_{2}}{\det A}=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}1&1&3\\0&2&2\\0&4&2\end{pmatrix}=-2,\\z=\frac{\det C_{3}}{\det A}=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}2&-4&1\\0&-2&2\\0&0&1\end{pmatrix}=2$$ 이다.

참고자료

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser