[선형대수학] 7. 벡터공간 (2: 행, 열공간)

[선형대수학] 7. 벡터공간 (2: 행, 열공간)

$m\times n$행렬 $A$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}A&=&\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\mathbf{r}_{1}\\ \mathbf{r}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{r}_{m}\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}\mathbf{c}_{1}&\mathbf{c}_{2}&\cdots&\mathbf{c}_{n}\end{pmatrix},\end{align*}$$ 여기서 $\mathbf{r}_{i}$들은 행렬 $A$의 행벡터(row vector)이고 $\mathbf{c}_{j}$들은 행렬 $A$의 열벡터(column vector)이다. 이때 $\mathbf{r}_{i}\in\mathbb{R}^{n}$, $\mathbf{c}_{j}\in\mathbb{R}^{m}$이다.

$A$를 $m\times n$행렬이라 하고 이 행렬의 행벡터가 $\{\mathbf{r}_{1},\,...,\mathbf{r}_{m}\}$, 열벡터가 $\{\mathbf{c}_{1},\,...,\,\mathbf{c}_{n}\}$라고 하자.

$A$의 행공간(row space)은 행벡터 $\{\mathbf{r}_{1},\,...,\,\mathbf{r}_{m}\}$에 의해 생성되는 $\mathbb{R}^{n}$상의 부분공간이고 이를 $\mathcal{R}(A)$로 나타낸다. 이때 $\text{rank}(A)$를 $A$의 행공간의 차원으로 정의한다. 즉 $\text{rank}(A)=\dim\mathcal{R}(A)$.

$A$의 열공간(column space)은 열벡터 $\{\mathbf{c}_{1},\,...,\,\mathbf{c}_{n}\}$에 의해 생성되는 $\mathbb{R}^{m}$상의 부분공간이고 이를 $\mathcal{C}(A)$로 나타낸다.

방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$의 해집합을 $A$의 영공간(null space)이라 하고 $\mathcal{N}(A)$로 나타낸다. 이때 $\mathcal{N}(A)$는 $\mathbb{R}^{n}$의 부분공간이다.

$A$의 열벡터들은 $A$의 전치행렬 $A^{T}$의 행벡터들이고, $A$의 행벡터들은 $A^{T}$의 열벡터들이므로 다음이 성립한다. $$\mathcal{R}(A)=\mathcal{C}(A^{T}),\,\mathcal{C}(A)=\mathcal{R}(A^{T})$$

행렬 $U$의 기약 행사다리꼴이 다음과 같다고 하자. $$U=\begin{pmatrix}1&0&0&2&2\\0&1&0&-1&3\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$ 이 행렬에서 첫번째부터 세번째까지 영벡터가 아닌 행벡터들은 선두1을 포함하고 있고 선형독립이다. 그러므로 이 행벡터들은 $\mathcal{R}(U)$의 기저가 되고 $\dim\mathcal{R}(U)=3$ 이다. 선두 1을 포함하는 첫번째에서 세번째 열들은 선형독립이므로 이 열들은 $\mathcal{C}(U)$의 기저이고 $\dim\mathcal{C}(U)=3$이다. $\mathcal{N}(U)$의 기저를 구하기 위해 먼저 방정식 $U\mathbf{x}=\mathbf{0}$의 해를 구하자. $\mathbf{x}=(x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5})$라고 하면 $$\begin{pmatrix}1&0&0&2&2\\0&1&0&-1&3\\0&0&1&4&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}+2x_{4}+2x_{5}\\x_{2}-x_{4}+3x_{5}\\x_{3}+4x_{4}-x_{5}\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$ 이므로 $x_{4}=s$, $x_{5}=t$라고 하면 $$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2s-2t\\s-3t\\-4s+t\\s\\t\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\-3\\1\\0\\1\end{pmatrix}=s\mathbf{n}_{s}+t\mathbf{n}_{t}$$ 이고 여기서 $\mathbf{n}_{s}=(-2,\,1,\,-4,\,1,\,0)$, $\mathbf{n}_{t}=(-2,\,-3,\,1,\,0,\,1)$이다. 이 사실로부터 $\mathbf{n}_{s}$와 $\mathbf{n}_{t}$가 $\mathcal{N}(U)$를 생성함을 알 수 있고 따라서 $\{\mathbf{n}_{s},\,\mathbf{n}_{t}\}$는 $\mathcal{N}(U)$의 기저이고 $\dim\mathcal{N}(U)=2$이다.

이 사실로부터 행렬 $A$의 기약 행사다리꼴이 $U$일 때 $$\dim\mathcal{R}(A)=\dim\mathcal{R}(U),\,\dim\mathcal{C}(A)=\dim\mathcal{C}(U),\,\dim\mathcal{N}(A)=\dim\mathcal{N}(U)$$ 가 성립한다. 이에 대한 증명은 생략하겠다.

임의의 $m\times n$행렬 $A$에 대하여 $\dim\mathcal{R}(A)=\dim\mathcal{C}(A)$가 성립하고 이 사실로부터 $$\dim\mathcal{R}(A)+\dim\mathcal{N}(A)=n,\,\dim\mathcal{C}(A)+\dim\mathcal{N}(A^{T})=m$$ 이 성립하는데 이에 대한 증명도 생략하겠다.

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser