[선형대수학] 8. 선형변환 (1: 선형변환의 정의)

[선형대수학] 8. 선형변환 (1: 선형변환의 정의)

$V$와 $W$를 벡터공간이라 하자. 임의의 $\mathbf{x},\,\mathbf{y}\in V$와 스칼라 $\alpha$, $\beta$에 대하여 함수 $T:\,V\,\rightarrow\,W$가 $$T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})=\alpha T(\mathbf{x})+\beta T(\mathbf{y})$$ 를 만족하면 $T$를 $V$에서 $W$로의 선형변환(Linear transformation)이라고 한다.

다음은 선형변환의 예시들이다.

(1) $f(x)=2x$, $h(x,\,y)=(x-y,\,2x)$로 정의된 $f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$, $h:\,\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$는 선형변환이다.

(2) $m\times n$행렬 $A$와 임의의 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}$에 대하여 $$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$$ 로 정의된 함수 $T:\,\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$은 선형변환이다. 왜냐하면 임의의 벡터 $\mathbf{x},\,\mathbf{y}\in\mathbb{R}^{n}$와 스칼라 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 $$T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})=A(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})=\alpha A\mathbf{x}+\beta A\mathbf{y}=\alpha T(\mathbf{x})+\beta T(\mathbf{y})$$ 가 성립하기 때문이다. 여기서 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, $\mathbf{x}=(x,\,y)\in\mathbb{R}^{2}(n=m=2)$일 때 $$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}$$ 이고 이때의 $T$를 $x$축으로의 사영(projection)이라고 한다.

(3) $n$차 정사각행렬 $A=(a_{ij})_{n\times n}$에 대하여 $A$의 대각선 성분들의 합(대각합, trace) $$\text{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}{a_{ii}}$$ 은 선형변환이다. 이때 임의의 $n$차 정사각행렬 $A,\,B$에 대하여 $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$가 성립하는데 행렬 $AB$의 대각선 성분은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{ki}}$, 행렬 $BA$의 대각선 성분은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{ik}a_{ki}}$이므로 $\displaystyle\text{tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n}{\left(\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{ki}}\right)}=\sum_{i=1}^{n}{\left(\sum_{k=1}^{n}{b_{ik}a_{ki}}\right)}=\text{tr}(BA)$이다.

(4) 미분과 적분연산도 선형변환이다. 실수계수 $n$차 다항식 전체의 집합을 $P_{n}(\mathbb{R})$로 나타내는데 $$D(f(x))=f'(x),\,\mathcal{I}(f(x))=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$ 로 정의된 미분과 적분연산 $$D:\,P_{n}(\mathbb{R})\,\rightarrow\,P_{n-1}(\mathbb{R}),\,\mathcal{I}:\,P_{n}(\mathbb{R})\,\rightarrow\,P_{n+1}(\mathbb{R})$$ 도 선형변환이다.

(5) 벡터공간 $V,\,W$에 대하여 $Id(\mathbf{x})=\mathbf{x},\,T_{0}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$으로 정의되는 함수 $Id:\,V\,\rightarrow\,V$, $T_{0}:\,V\,\rightarrow\,\{\mathbf{0}\}$는 각각 항등변환(identity transformation), 영변환(zero transformation)이라고 불리우며 선형변환이다.

$V,\,W$를 벡터공간, $T:\,V\,\rightarrow\,W$를 $V$에서 $W$로의 선형변환이라 하자.

$\text{Ker}(T)=\{\mathbf{v}\,|\,T(\mathbf{v})=0\}\subset V$를 $T$의 핵(Kernel)이라 하고, $\text{Im}(T)=\{T(\mathbf{v})\,|\,\mathbf{v}\in V\}\subset W$를 $T$의 상(Image)이라 한다. 이때 $\text{Ker}(T)$와 $\text{Im}(T)$는 각각 $V$와 $W$의 부분공간이다. 왜냐하면 $\text{Ker}(T)$의 경우 임의의 $\mathbf{x},\,\mathbf{y}\in\text{Ker}(T)$와 스칼라 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 $$T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})=\alpha T(\mathbf{x})+\beta T(\mathbf{y})=\alpha\mathbf{0}+\beta\mathbf{0}=\mathbf{0}$$ 이므로 $\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}\in\text{Ker}(T)$이고 따라서 $\text{Ker}(T)$는 $V$의 부분공간이다. $\text{Im}(T)$의 경우 $\mathbf{v},\,\mathbf{w}\in\text{Im}(T)$일 때 $\mathbf{x},\,\mathbf{y}\in V$가 존재해서 $T(\mathbf{x})=\mathbf{v}$, $T(\mathbf{y})=\mathbf{w}$이다. 따라서 임의의 스칼라 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 $$\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}=\alpha T(\mathbf{x})+\beta T(\mathbf{y})=T(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})$$ 이므로 $\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}\in\text{Im}(T)$이고 $\text{Im}(T)$는 $W$의 부분공간이다.

앞에서 언급했던 항등변환 $Id$와 영변환 $T_{0}$에 대하여 다음이 성립한다. $$\text{Ker}(Id)=\{\mathbf{0}\},\,\text{Im}(Id)=V,\,\text{Ker}(T_{0})=V,\,\text{Im}(T_{0})=\{\mathbf{0}\}$$ $\mathbf{w}_{1}=(1,\,0),\,\mathbf{w}_{2}=(2,\,-1),\,\mathbf{w}_{3}=(4,\,3)$를 $\mathbb{R}^{2}$상의 벡터라 하자.

(1) $\alpha=\{e_{1},\,e_{2},\,e_{3}\}$를 $\mathbb{R}^{3}$상의 표준기저라 하고 $T:\,\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$를 $$T(e_{1})=\mathbf{w}_{1},\,T(e_{2})=\mathbf{w}_{2},\,T(e_{3})=\mathbf{w}_{3}$$ 으로 정의된 선형변환이라 하자. $\mathbf{x}=(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}\in\mathbb{R}^{3}$에 대하여 $$\begin{align*}T(\mathbf{x})&=\sum_{i=1}^{3}{x_{i}T(e_{i})}=\sum_{i=1}^{3}{x_{i}\mathbf{w}_{i}}\\&=x_{1}(1,\,0)+x_{2}(2,\,-1)+x_{3}(4,\,3)\\&=(x_{1}+2x_{2}+4x_{3},\,-x_{2}+3x_{3})\end{align*}$$ 이므로 $T(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=(x_{1}+2x_{2}+4x_{3},\,-x_{2}+3x_{3})$이고 이를 행렬로 나타내면 다음과 같다. $$\begin{pmatrix}1&2&4\\0&-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}+2x_{2}+4x_{3}\\-x_{2}+3x_{3}\end{pmatrix}$$

(2) $\beta=\{\mathbf{v}_{1},\,\mathbf{v}_{2},\,\mathbf{v}_{3}\}\,(\mathbf{v}_{1}=(1,\,1,\,1),\,\mathbf{v}_{2}=(1,\,1,\,0),\,\mathbf{v}_{3}=(1,\,0,\,0))$를 $\mathbb{R}^{3}$상의 또 다른 기저라 하고 $T:\,\mathbb{R}^{3}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$를 $$T(\mathbf{v}_{1})=\mathbf{w}_{1},\,T(\mathbf{v}_{2})=\mathbf{w}_{2},\,T(\mathbf{v}_{3})=\mathbf{w}_{3}$$ 으로 정의된 선형변환이라 하자. $\mathbf{x}=(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})$를 $\mathbf{v}_{1},\,\mathbf{v}_{2},\,\mathbf{v}_{3}$의 선형결합으로 나타내면 $$(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=k_{1}\mathbf{v}_{1}+k_{2}\mathbf{v}_{2}+k_{3}\mathbf{v}_{3}=(k_{1}+k_{2}+k_{3})e_{1}+(k_{1}+k_{2})e_{2}+k_{1}e_{3}$$ 이므로 $k_{1}+k_{2}+k_{3}=x_{1}$, $k_{1}+k_{2}=x_{2}$, $k_{1}=x_{3}$이고 $k_{1}=x_{3}$, $k_{2}=x_{2}-x_{3}$, $k_{3}=x_{1}-x_{2}$이다. 그러면 $$(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=x_{3}\mathbf{v}_{1}+(x_{2}-x_{3})\mathbf{v}_{2}+(x_{1}-x_{2})\mathbf{v}_{3}$$ 이고 $$\begin{align*}T(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})&=x_{3}T(\mathbf{v}_{1})+(x_{2}-x_{3})T(\mathbf{v}_{2})+(x_{1}-x_{2})T(\mathbf{v}_{3})\\&=x_{3}(1,\,0)+(x_{2}-x_{3})(2,\,-1)+(x_{1}-x_{2})(4,\,3)\\&=(4x_{1}-2x_{2}-x_{3},\,3x_{1}-4x_{2}+x_{3})\end{align*}$$ 이다. 이를 행렬로 나타내면 다음과 같다. $$\begin{pmatrix}4&-2&-1\\3&-4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4x_{1}-2x_{2}-x_{3}\\3x_{1}-4x_{2}+x_{3}\end{pmatrix}$$

집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 가역(invertible)이라는 것은 함수 $g:\,Y\,\rightarrow\,X$($f$의 역함수,$g=f^{-1}$)가 존재해서 $g\circ f=f\circ g=I$가 성립하는 것이다.

$f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 일대일(one-to-one, 또는 단사(injective))이라는 것은 $Y$에서 $f(u)=f(v)$일 때 $X$일 때 $u=v$가 성립함을 뜻한다. $f$가 위로(onto, 또는 전사(surjective))라는 것은 모든 $y\in Y$에 대하여 $x\in X$가 존재해서 $y=f(x)$가 성립함을 뜻한다. $f$가 전단사(bijective)라는 것은 일대일이면서 동시에 위로인 것이다. 즉, 임의의 $y\in Y$에 대하여 유일한 $x\in X$가 존재해서 $y=f(x)$가 성립함을 뜻한다.

함수 $f:\,X\,\rightarrow\,Y$가 가역일 필요충분조건은 전단사인 것이다. 먼저 $f$가 가역이라 하자. 그러면 역함수 $g:\,Y\,\rightarrow\,X$가 존재할 것이고 $f(u)=f(v)$이면 $u=g(f(u))=g(f(v))=v$이고 따라서 $f$는 일대일이다. 모든 $y\in Y$에 대하여 $g(y)=x\in X$이고 $f(x)=f(g(y))=y$이다. 그러면 $f$는 위로이다.

$f$가 전단사라고 하면 모든 $y\in Y$에 대하여 $x\in X$가 유일하게 존재해서 $y=f(x)$이다. 모든 $y\in Y$에 대하여 $g:\,Y\,\rightarrow\,X$를 $g(y)=x$라고 정의하자. 그러면 $g:\,Y\,\rightarrow\,X$는 잘 정의되고 $f\circ g=g\circ f=I$이다. 따라서 $g$는 $f$의 역함수이고 $f$는 가역이다.

$V$와 $W$를 벡터공간, $T:\,V\,\rightarrow\,W$를 가역선형변환이라 하자. 그러면 그 역함수인 $T^{-1}:\,W\,\rightarrow\,V$도 선형변환이다. 앞의 결과에 의해 $\mathbf{w}_{1},\,\mathbf{w}_{2}\in W$에 대하여 $\mathbf{v}_{1},\,\mathbf{v}_{2}\in V$가 유일하게 존재해서 $T(\mathbf{v}_{1})=\mathbf{w}_{1}$, $T(\mathbf{v}_{2})=\mathbf{w}_{2}$이다. 임의의 스칼라 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대하여 $$T^{-1}(\alpha\mathbf{w}_{1}+\beta\mathbf{w}_{2})=T^{-1}(\alpha T(\mathbf{v}_{1})+\beta T(\mathbf{v}_{2}))=T^{-1}(T(\alpha\mathbf{v}_{1}+\beta\mathbf{v}_{2}))=\alpha\mathbf{v}_{1}+\beta\mathbf{v}_{2}=\alpha T^{-1}(\mathbf{w}_{1})+\beta T^{-1}(\mathbf{w}_{2})$$ 이므로 $T^{-1}$도 선형변환이다.

벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 선형변환 $T:\,V\,\rightarrow\,W$가 가역(전단사)이면 동형사상(isomorphism)이라고 하고 이때 $V$와 $W$는 서로 동형(isomorphic)이라고 한다.

두 벡터공간 $V$와 $W$가 서로 동형일 필요충분조건은 $\text{dim}V=\text{dim}W$이다.

$T:\,V\,\rightarrow\,W$를 동형사상, $\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$를 $V$에 대한 기저라 하자. 그러면 $\{T(\mathbf{v}_{1}),\,...,\,T(\mathbf{v}_{2})\}$가 $W$의 기저이고 $\text{dim}W=\dim V=n$이 됨을 보이면 된다.

$$\mathbf{0}=c_{1}T(\mathbf{v}_{1})+\cdots+c_{n}T(\mathbf{v}_{n})=T(c_{1}\mathbf{v}_{1}+\cdots+c_{n}\mathbf{v}_{n})$$ 이면 $\mathbf{0}=c_{1}\mathbf{v}_{1}+\cdots+c_{n}\mathbf{v}_{n}$이고 $v_{i}$들은 서로 일차독립이므로 $c_{1}=\cdots=c_{n}=0$이다. 따라서 $\{T(\mathbf{v}_{1}),\,...,\,T(\mathbf{v}_{n})\}$은 일차독립이다.

임의의 $\mathbf{y}\in W$에 대하여 유일한 $\mathbf{x}\in V$가 존재해서 $\mathbf{y}=T(\mathbf{x})$이다. $\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}v_{i}}$라고 하자. 그러면 $$\mathbf{y}=T(\mathbf{x})=T(a_{1}\mathbf{x}_{1}+\cdots+a_{n}\mathbf{x}_{n})=a_{1}T(\mathbf{v}_{1})+\cdots+a_{n}T(\mathbf{v}_{n})$$ 이고 이는 $\mathbf{y}$가 $T(\mathbf{v}_{1}),\,...,\,T(\mathbf{v}_{n})$의 선형결합임을 뜻한다. 따라서 $\dim V=\dim W=n$이라고 할 수 있다.

반대로 $\dim V=\dim W=n$이라 하자. 그러면 $V$와 $W$의 기저의 개수는 서로 같고 이를 각각 $\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$, $\{\mathbf{w}_{1},\,...,\,\mathbf{w}_{n}\}$이라고 하자. 선형변환 $T:\,V\,\rightarrow\,W$를 $\mathbf{w}_{i}=T(\mathbf{v}_{i})\,(i=1,\,...,\,n)$로 정의하면 $T$는 동형사상이다.

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser

현대 선형대수학, 이상구, 경문사