[선형대수학] 10. 선형변환 (3: 선형변환의 벡터공간과 기저의 변환)

[선형대수학] 10. 선형변환 (3: 선형변환의 벡터공간과 기저의 변환)

$V$와 $W$를 벡터공간이라 하고 $\mathcal{L}(V;\,W)$를 $V$에서 $W$로의 모든 선형변환들의 집합이라 하자. 즉 $$\mathcal{L}(V;\,W)=\{T\,|\,T:\,V\,\rightarrow\,W\,\text{is linear transformation}\}$$ $S,\,T\in\mathcal{L}(V;\,W)$와 $k\in\mathbb{R}$, $\mathbf{v}\in V$에 대하여 벡터합과 스칼라곱을 다음과 같이 정의하자. $$(S+T)(\mathbf{v})=S(\mathbf{v})+T(\mathbf{v}),\,(kS)(\mathbf{v})=kS(\mathbf{v})$$ 그러면 $S+T\in\mathcal{L}(V;\,W)$이고 $kS\in\mathcal{L}(V;\,W)$이다. 이 결과로부터 $\mathcal{L}(V;\,W)$는 벡터공간이다. $V=\mathbb{R}^{n}$, $W=\mathbb{R}^{m}$이면 $m\times n$행렬 전체의 집합($M_{m\times n}(\mathbb{R})$로 나타낸다)은 $\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{m}$로의 선형변환들의 벡터공간이다. 따라서 기저를 고정함으로써 $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n};\,\mathbb{R}^{m})=M_{m\times n}(\mathbb{R})$이라고 할 수 있다.

일반적으로 차원이 $m,\,n$이고 순서기저가 $\alpha,\,\beta$인 벡터공간 $V,\,W$에 대하여 행렬표현을 통해 $\mathcal{L}(V;\,W)$와 $M_{m\times n}(\mathbb{R})$를 일대일로 대응시키는 선형변환을 찾을 수 있다. 선형변환 $\phi:\,\mathcal{L}(V;\,W)\,\rightarrow\,M_{m\times n}(\mathbb{R})$를 임의의 $T\in\mathcal{L}(V;\,W)$에 대하여 $$\phi(T)=[T]_{\alpha}^{\beta}\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$$ 로 정의하자. $[S]_{\alpha}^{\beta}=[T]_{\alpha}^{\beta}\,(S,\,T\in\mathcal{L}(V;\,W))$이면 $S=T$이고 이는 $\phi$가 일대일임을 뜻한다.

$m\times n$행렬 $A$는 $\mathbb{R}^{n}$에서 $\mathbb{R}^{m}$로의 선형변환이라고 할 수 있다. 자연동형사상 $\Phi:\,V\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$, $\Psi:\,W\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{m}$을 고려하면 $T=\Phi^{-1}\circ A\circ\Psi$로 나타낼 수 있다. 이는 $\phi$가 전사(onto)임을 뜻한다.

앞의 두 결과로부터 $\phi$가 일대일 대응(전단사, bijection)임을 알 수 있다. $\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$, $\beta=\{\mathbf{w}_{1},\,...,\,\mathbf{w}_{m}\}$, $\displaystyle S(\mathbf{v}_{j})=\sum_{i=1}^{m}{a_{ij}\mathbf{w}_{i}}$, $\displaystyle T(\mathbf{v}_{j})=\sum_{i=1}^{m}{b_{ij}\mathbf{w}_{i}}$ $(1\leq j\leq n)$이라고 하면 $$(S+T)(\mathbf{v}_{i})=\sum_{i=1}^{m}{a_{ij}\mathbf{w}_{i}}+\sum_{i=1}^{m}{b_{ij}\mathbf{w}_{i}}=\sum_{i=1}^{m}{(a_{ij}+b_{ij})\mathbf{w}_{i}}\\(kS)(\mathbf{v}_{j})=k\sum_{i=1}^{m}{a_{ij}\mathbf{w}_{i}}\,(k\in\mathbb{R})$$ 이므로 $[S+T]_{\alpha}^{\beta}=[S]_{\alpha}^{\beta}+[T]_{\alpha}^{\beta}$, $[kS]_{\alpha}^{\beta}=k[S]_{\alpha}^{\beta}$이고 이 사실로부터 $\phi$가 동형사상임을 알 수 있다. 그러면 $$\dim\mathcal{L}(V;\,W)=\dim M_{m\times n}(\mathbb{R})=mn=\dim V\dim W$$ 이다.

$V,\,W,\,Z$를 기저가 $\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$, $\beta=\{\mathbf{w}_{1},\,...,\,\mathbf{w}_{m}\}$, $\gamma=\{\mathbf{z}_{1},\,...,\,\mathbf{z}_{\ell}\}$인 벡터공간이라 하자. $S:\,V\,\rightarrow\,W$, $T:\,W\,\rightarrow\,Z$를 선형변환이라고 하고 $[T]_{\beta}^{\gamma}=(a_{ij})_{m\times\ell}$, $[S]_{\alpha}^{\beta}=(b_{pq})_{n\times m}$라 하자. 그러면 $1\leq i\leq n$에 대하여 $$\begin{align*}(T\circ S)(\mathbf{v}_{i})&=T(S(\mathbf{v}_{i}))=T\left(\sum_{k=1}^{m}{b_{ki}\mathbf{w}_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{m}{b_{ki}T(\mathbf{w}_{k})}\\&=\sum_{k=1}^{m}{b_{ki}\left(\sum_{j=1}^{\ell}{a_{jk}\mathbf{z}_{j}}\right)}=\sum_{j=1}^{\ell}{\left(\sum_{k=1}^{m}{a_{jk}b_{ki}}\right)\mathbf{z}_{j}}\end{align*}$$ 이므로 $[T\circ S]_{\alpha}^{\gamma}=[T]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta}$가 성립한다. 또한 $V$와 $W$를 순서기저 $\alpha$와 $\beta$를 갖는 벡터공간이라 하고 $T:\,V\,\rightarrow\,W$를 동형사상이라고 하면 $T$가 동형사상이기 때문에 $\dim V=\dim W$이고 $[T]_{\alpha}^{\beta}$와 $[T^{-1}]_{\beta}^{\alpha}$는 크기가 같은 정사각행렬이다. 앞의 결과로부터 $$[T]_{\alpha}^{\beta}[T^{-1}]_{\beta}^{\alpha}=[T\circ T^{-1}]_{\beta}=[Id]_{\beta}$$ 이고 $[Id]_{\beta}$는 단위행렬이므로 $[T^{-1}]_{\beta}^{\alpha}=\left([T]_{\alpha}^{\beta}\right)^{-1}$을 얻는다. $T$가 동형사상이면 $V$의 임의의 기저 $\alpha$와 $W$의 임의의 기저 $\beta$에 대하여 $[T]_{\alpha}^{\beta}$는 역행렬을 갖는다.

$\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$와 $\beta=\{\mathbf{w}_{1},\,...,\,\mathbf{w}_{n}\}$를 벡터공간 $V$의 순서기저라 하자. 그러면 임의의 $\mathbf{x}\in V$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\mathbf{v}_{i}}=\sum_{j=1}^{n}{y_{j}\mathbf{w}_{j}}$$ $\beta$의 벡터를 $\alpha$의 기저들을 이용한 선형결합으로 나타내면 $j=1,\,...,\,n$에 대하여 $\displaystyle\mathbf{w}_{j}=Id(\mathbf{w}_{j})=\sum_{i=1}^{n}{q_{ij}\mathbf{v}_{i}}$이고 $$[\mathbf{w}_{j}]_{\alpha}=[Id(\mathbf{w}_{j})]_{\alpha}=\begin{pmatrix}q_{1j}\\ \vdots\\q_{nj}\end{pmatrix}$$ 그러면 임의의 $\mathbf{x}\in V$에 대하여 $$\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\mathbf{v}_{i}}=\sum_{j=1}^{n}{y_{j}\mathbf{w}_{j}}=\sum_{j=1}^{n}{y_{j}\left(\sum_{i=1}^{n}{q_{ij}\mathbf{v}_{i}}\right)}=\sum_{i=1}^{n}{\left(\sum_{j=1}^{n}{q_{ij}y_{j}}\right)}\mathbf{v}_{i}$$ 이고 이를 행렬로 나타내면 $$\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q_{11}&\cdots&q_{1n}\\&\ddots&\\q_{n1}&\cdots&q_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix}$$ 이다. 간단하게 나타내면 $[\mathbf{x}]_{\alpha}=[Id]_{\beta}^{\alpha}[\mathbf{x}]_{\beta}$이고 여기서 $$[Id]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}q_{11}&\cdots&q_{1n}\\&\ddots&\\q_{n1}&\cdots&q_{nn}\end{pmatrix}=[[\mathbf{w}_{1}]_{\alpha}\,\cdots\,[\mathbf{w}_{n}]_{\alpha}]$$ 이다. 행렬 $[Id]_{\beta}^{\alpha}$를 전이행렬(transition matrix) 또는 $\beta$에서 $\alpha$로의 좌표변환행렬(coordinate change matrix)이라고 한다. $Id\,:\,V\,\rightarrow\,V$는 동형사상이므로 $[Id]_{\beta}^{\alpha}$는 역행렬을 가진다.

여기서 잠깐! $E$를 표준기저라고 하면 $[Id]_{\beta}^{\alpha}=[Id]_{E}^{\alpha}[Id]_{\beta}^{E}=\left([Id]_{\alpha}^{E}\right)^{-1}[Id]_{\beta}^{E}$이 성립한다. $[Id]_{\beta}^{E}$는 열벡터가 $\beta$의 순서기저로 이루어진 행렬이다.

$\alpha=\{(1,\,0,\,0),\,(1,\,1,\,0),\,(1,\,1,\,1)\}$, $\beta=\{(0,\,1,\,1),\,(1,\,0,\,1),\,(1,\,1,\,1)\}$일 때 $[Id]_{\beta}^{\alpha}$를 구하자. $[Id]_{\beta}^{\alpha}=[Id]_{\beta}^{E}[Id]_{E}^{\alpha}=\left([Id]_{\alpha}^{E}\right)^{-1}[Id]_{\beta}^{E}$이고 $$[Id]_{\beta}^{E}=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix},\,[Id]_{E}^{\alpha}=\left([Id]_{\alpha}^{E}\right)^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 이므로 $$[Id]_{\beta}^{\alpha}=[Id]_{E}^{\alpha}[Id]_{\beta}^{E}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$$ 이다.

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser