[선형대수학] 12. 선형변환 (5: 쌍대공간과 선형범함수)

[선형대수학] 12. 선형변환 (5: 쌍대공간과 선형범함수)

벡터공간 \(V\)에서 1차원 벡터공간 \(\mathbb{R}\)로의 선형변환을 \(V\)의 선형범함수(Linear functional)라고 한다.

\(C([a,\,b])\)를 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 실함수(real-valued function)들의 집합이라 하자.$$\mathcal{I}(f(x))=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$로 정의된 정적분 \(\mathcal{I}:\,C([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)은 선형범함수이다. 특히$$\mathcal{F}_{n}(f(t))=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)e^{-int}dt}\,(i=\sqrt{-1})$$로 정의된 \(\mathcal{F}_{n}:\,C([0,\,2\pi])\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 \(f\)의 \(n\)차 푸리에 계수(Fourier coefficient)라 하며 선형범함수이다.

임의의 \((a_{ij})_{n\times n}=A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\)에 대하여$$\text{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}{a_{ii}}$$로 정의된 대각합 \(\text{tr}:\,M_{n\times n}(\mathbb{R})\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)과 판별식 \(\det:\,M_{n\times n}(\mathbb{R})\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)도 선형범함수이다.

벡터공간 \(V\)에 대하여, \(V\)의 선형범함수들의 벡터공간을 \(V\)의 쌍대공간(dual space)이라 하고 이를 \(V^{*}\)로 나타낸다. \(\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}\)이 \(V\)의 벡터공간이면,$$\mathbf{v}_{i}^{*}(\mathbf{v}_{i})=\delta_{ij}=\begin{cases}1&\,(i=j)\\0&\,(i\neq j)\end{cases}\,(i,\,j=1,\,...,\,n)$$로 정의된 함수 \(\mathbf{v}_{i}^{*}:\,V\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)는 \(V\)상의 선형범함수이고, 이를 기저 \(\alpha\)에 대한 \(i\)번째 좌표함수(coordinate function)라고 한다. 특히 임의의 \(\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mathbf{v}_{i}}\in V\)에 대하여 \(\mathbf{v}_{i}^{*}(\mathbf{x})=a_{i}\)는 \(\mathbf{x}\)의 \(\alpha\)에 대한 \(i\)번째 좌표이다.

\(V\)가 벡터공간, \(\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}\)가 \(V\)의 기저일 때 집합 \(\alpha^{*}=\{\mathbf{v}_{1}^{*},\,...,\,\mathbf{v}_{n}^{*}\}\)는 \(V\)의 쌍대공간 \(V^{*}\)의 기저가 되고, 임의의 \(T\in V^{*}\)에 대하여$$T=\sum_{i=1}^{n}{T(\mathbf{v}_{i})\mathbf{v}_{i}^{*}}$$이다. 이때 \(V^{*}\)의 기저인 \(\alpha^{*}\)를 \(\alpha\)의 쌍대기저(dual basis)라고 한다.

\(\alpha^{*}=\{\mathbf{v}_{1}^{*},\,...,\,\mathbf{v}_{n}^{*}\}\)는 일차독립인데 \(\displaystyle\mathbf{0}=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}\mathbf{v}_{i}^{*}}\)일 때 \(\displaystyle0=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}\mathbf{v}_{i}^{*}(\mathbf{v}_{j})}=c_{j}\,(j=1,\,...,\,n)\)이 성립하기 때문이다. 또한 임의의 \(T\in V^{*}\)와 \(\mathbf{v}_{j}\in\alpha\)에 대하여$$\left(\sum_{i=1}^{n}{T(\mathbf{v}_{i})\mathbf{v}_{i}^{*}}\right)(\mathbf{v}_{j})=\sum_{i=1}^{n}{T(\mathbf{v}_{i})}(\mathbf{v}_{i}^{*}(\mathbf{v}_{j}))=T(\mathbf{v}_{j})$$이므로 \(\displaystyle T=\sum_{i=1}^{n}{T(\mathbf{v}_{i})\mathbf{v}_{i}^{*}}\)

\(\alpha=\{\mathbf{v}_{i},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}\)을 기저로 갖는 벡터공간 \(V\)에 대하여 \(*(\mathbf{v}_{i})=\mathbf{v}_{i}^{*}\)으로 정의된 변환 \(*:\,V\,\rightarrow\,V^{*}\)은 동형사상이다. 이때 \(V\)는 유한차원의 벡터공간이므로 임의의 유한차원 벡터공간은 자신의 쌍대공간과 동형이다. 즉 \(V\)와 \(V^{*}\)는 동형이다.

\(V\)와 \(W\)를 기저가 각각 \(\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}\), \(\beta=\{\mathbf{w}_{1},\,...,\,\mathbf{w}_{m}\}\)인 벡터공간이라 하고, \(S:\,V\,\rightarrow\,W\)를 선형변환, \(g,\,h\in W^{*}\)이라 하자. 그러면 \(S^{*}:\,V^{*}\,\rightarrow\,W^{*}\)는 선형변환이고 \(\displaystyle[S^{*}]_{\beta^{*}}^{\alpha^{*}}=\left([S]_{\alpha}^{\beta}\right)^{T}\)이다. \(S^{*}\)가 선형변환인 것은 합성함수의 정의로부터 명백하다. \([S]_{\alpha}^{\beta}=a_{ij}\), \([S^{*}]_{\beta^{*}}^{\alpha^{*}}\), \(\alpha^{*}=\{\mathbf{v}_{1}^{*},\,...,\,\mathbf{v}_{n}^{*}\}\), \(\beta^{*}=\{\mathbf{w}_{1}^{*},\,...,\,\mathbf{w}_{m}^{*}\}\)라 하자. \(\displaystyle S(\mathbf{v}_{i})=\sum_{k=1}^{n}{a_{ki}w_{i}}\)이고 \(\displaystyle S^{*}(\mathbf{w}_{i}^{*})=\sum_{i=1}^{n}{b_{ij}\mathbf{v}_{i}^{*}}\)이므로$$\begin{align*}b_{ij}&=S^{*}(\mathbf{w}_{j}^{*})(\mathbf{v}_{i})=(\mathbf{w}_{j}^{*}\circ S)(\mathbf{v}_{i})=\mathbf{w}_{j}^{*}(S(\mathbf{v}_{i}))\\&=\mathbf{w}_{j}^{*}\left(\sum_{k=1}^{m}{a_{ki}\mathbf{w}_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{m}{a_{ki}\mathbf{w}_{j}^{*}(\mathbf{w}_{k})}\\&=a_{ji}\end{align*}$$이고 따라서 \([S^{*}]_{\beta^{*}}^{\alpha^{*}}=\left([S]_{\alpha}^{\beta}\right)^{T}\)이다. 이때 \(S^{*}\)를 \(S\)의 전치(transpose)(또는 수반(adjoint))라고 하고 \(S^{T}\)로 나타낸다.

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser