[선형대수학] 12. 선형변환 (5: 쌍대공간과 선형범함수)

[선형대수학] 12. 선형변환 (5: 쌍대공간과 선형범함수)

벡터공간 $V$에서 1차원 벡터공간 $\mathbb{R}$로의 선형변환을 $V$의 선형범함수(Linear functional)라고 한다.

$C([a,\,b])$를 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 실함수(real-valued function)들의 집합이라 하자. $$\mathcal{I}(f(x))=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 로 정의된 정적분 $\mathcal{I}:\,C([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$은 선형범함수이다. 특히 $$\mathcal{F}_{n}(f(t))=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f(t)e^{-int}dt}\,(i=\sqrt{-1})$$ 로 정의된 $\mathcal{F}_{n}:\,C([0,\,2\pi])\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 $f$의 $n$차 푸리에 계수(Fourier coefficient)라 하며 선형범함수이다.

임의의 $(a_{ij})_{n\times n}=A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$에 대하여 $$\text{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}{a_{ii}}$$ 로 정의된 대각합 $\text{tr}:\,M_{n\times n}(\mathbb{R})\,\rightarrow\,\mathbb{R}$과 판별식 $\det:\,M_{n\times n}(\mathbb{R})\,\rightarrow\,\mathbb{R}$도 선형범함수이다.

벡터공간 $V$에 대하여, $V$의 선형범함수들의 벡터공간을 $V$의 쌍대공간(dual space)이라 하고 이를 $V^{*}$로 나타낸다. $\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$이 $V$의 벡터공간이면, $$\mathbf{v}_{i}^{*}(\mathbf{v}_{i})=\delta_{ij}=\begin{cases}1&\,(i=j)\\0&\,(i\neq j)\end{cases}\,(i,\,j=1,\,...,\,n)$$ 로 정의된 함수 $\mathbf{v}_{i}^{*}:\,V\,\rightarrow\,\mathbb{R}$는 $V$상의 선형범함수이고, 이를 기저 $\alpha$에 대한 $i$번째 좌표함수(coordinate function)라고 한다. 특히 임의의 $\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mathbf{v}_{i}}\in V$에 대하여 $\mathbf{v}_{i}^{*}(\mathbf{x})=a_{i}$는 $\mathbf{x}$의 $\alpha$에 대한 $i$번째 좌표이다.

$V$가 벡터공간, $\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$가 $V$의 기저일 때 집합 $\alpha^{*}=\{\mathbf{v}_{1}^{*},\,...,\,\mathbf{v}_{n}^{*}\}$는 $V$의 쌍대공간 $V^{*}$의 기저가 되고, 임의의 $T\in V^{*}$에 대하여 $$T=\sum_{i=1}^{n}{T(\mathbf{v}_{i})\mathbf{v}_{i}^{*}}$$ 이다. 이때 $V^{*}$의 기저인 $\alpha^{*}$를 $\alpha$의 쌍대기저(dual basis)라고 한다.

$\alpha^{*}=\{\mathbf{v}_{1}^{*},\,...,\,\mathbf{v}_{n}^{*}\}$는 일차독립인데 $\displaystyle\mathbf{0}=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}\mathbf{v}_{i}^{*}}$일 때 $\displaystyle0=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}\mathbf{v}_{i}^{*}(\mathbf{v}_{j})}=c_{j}\,(j=1,\,...,\,n)$이 성립하기 때문이다. 또한 임의의 $T\in V^{*}$와 $\mathbf{v}_{j}\in\alpha$에 대하여 $$\left(\sum_{i=1}^{n}{T(\mathbf{v}_{i})\mathbf{v}_{i}^{*}}\right)(\mathbf{v}_{j})=\sum_{i=1}^{n}{T(\mathbf{v}_{i})}(\mathbf{v}_{i}^{*}(\mathbf{v}_{j}))=T(\mathbf{v}_{j})$$ 이므로 $\displaystyle T=\sum_{i=1}^{n}{T(\mathbf{v}_{i})\mathbf{v}_{i}^{*}}$

$\alpha=\{\mathbf{v}_{i},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$을 기저로 갖는 벡터공간 $V$에 대하여 $*(\mathbf{v}_{i})=\mathbf{v}_{i}^{*}$으로 정의된 변환 $*:\,V\,\rightarrow\,V^{*}$은 동형사상이다. 이때 $V$는 유한차원의 벡터공간이므로 임의의 유한차원 벡터공간은 자신의 쌍대공간과 동형이다. 즉 $V$와 $V^{*}$는 동형이다.

$V$와 $W$를 기저가 각각 $\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$, $\beta=\{\mathbf{w}_{1},\,...,\,\mathbf{w}_{m}\}$인 벡터공간이라 하고, $S:\,V\,\rightarrow\,W$를 선형변환, $g,\,h\in W^{*}$이라 하자. 그러면 $S^{*}:\,V^{*}\,\rightarrow\,W^{*}$는 선형변환이고 $\displaystyle[S^{*}]_{\beta^{*}}^{\alpha^{*}}=\left([S]_{\alpha}^{\beta}\right)^{T}$이다. $S^{*}$가 선형변환인 것은 합성함수의 정의로부터 명백하다. $[S]_{\alpha}^{\beta}=a_{ij}$, $[S^{*}]_{\beta^{*}}^{\alpha^{*}}$, $\alpha^{*}=\{\mathbf{v}_{1}^{*},\,...,\,\mathbf{v}_{n}^{*}\}$, $\beta^{*}=\{\mathbf{w}_{1}^{*},\,...,\,\mathbf{w}_{m}^{*}\}$라 하자. $\displaystyle S(\mathbf{v}_{i})=\sum_{k=1}^{n}{a_{ki}w_{i}}$이고 $\displaystyle S^{*}(\mathbf{w}_{i}^{*})=\sum_{i=1}^{n}{b_{ij}\mathbf{v}_{i}^{*}}$이므로 $$\begin{align*}b_{ij}&=S^{*}(\mathbf{w}_{j}^{*})(\mathbf{v}_{i})=(\mathbf{w}_{j}^{*}\circ S)(\mathbf{v}_{i})=\mathbf{w}_{j}^{*}(S(\mathbf{v}_{i}))\\&=\mathbf{w}_{j}^{*}\left(\sum_{k=1}^{m}{a_{ki}\mathbf{w}_{k}}\right)=\sum_{k=1}^{m}{a_{ki}\mathbf{w}_{j}^{*}(\mathbf{w}_{k})}\\&=a_{ji}\end{align*}$$ 이고 따라서 $[S^{*}]_{\beta^{*}}^{\alpha^{*}}=\left([S]_{\alpha}^{\beta}\right)^{T}$이다. 이때 $S^{*}$를 $S$의 전치(transpose)(또는 수반(adjoint))라고 하고 $S^{T}$로 나타낸다.

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser