[선형대수학] 14. 내적공간 (2: 내적의 행렬표현)

[선형대수학] 14. 내적공간 (2: 내적의 행렬표현)

$\mathbb{R}^{2}$상의 임의의 벡터 $\mathbf{x}=(x_{1},\,x_{2})$, $\mathbf{y}=(y_{1},\,y_{2})$에 대하여 $$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=ax_{1}y_{1}+cx_{1}y_{2}+cx_{2}y_{1}+bx_{2}y_{2}\,(a>0,\,ab-c^{2}>0)$$ 로 정의된 연산 $\langle\cdot,\,\cdot\rangle$는 내적이다. $c=0$이면 $\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=ax_{1}y_{1}+bx_{2}y_{2}$이고 이때 $a=\langle e_{1},\,e_{1}\rangle$, $b=\langle e_{2},\,e_{2}\rangle$, $c=\langle e_{1},\,e_{2}\rangle=\langle e_{2},\,e_{1}\rangle$ $(e_{1}=(1,\,0),\,e_{2}=(0,\,1))$이다. 이 내적을 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있다. $$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{y}\,\left(A=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\right)$$ $V$를 벡터공간, $\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}$을 $V$의 순서기저라 하자. 임의의 $\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\mathbf{v}_{i}},\,\mathbf{y}=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}\mathbf{v}_{i}}\in V$에 대하여 $$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{x_{i}y_{j}\langle\mathbf{v}_{i},\,\mathbf{v}_{j}\rangle}}$$ 가 성립한다. $a_{ij}=\langle\mathbf{v}_{i},\,\mathbf{v}_{j}\rangle$라고 하면 $\langle\mathbf{v}_{i},\,\mathbf{v}_{j}\rangle=\langle\mathbf{v}_{j},\,\mathbf{v}_{i}\rangle$이므로 행렬 $A=(a_{ij})_{n\times n}$를 이용하여 내적을 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있다. $$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{x_{i}y_{j}a_{ij}}}=[\mathbf{x}]_{\alpha}^{T}A[\mathbf{y}]_{\alpha}$$ 여기서 행렬 $A$를 기저 $\alpha$에 대한 내적의 행렬표현(matrix representation)이라고 한다.

$\mathbb{R}^{n}$상의 표준기저 $\{e_{1},\,...,\,e_{n}\}$에 대하여 표준내적에 대한 행렬표현을 구하면 $e_{i}\cdot e_{j}=\delta_{ij}$($i=j$인 경우에 $\delta_{ij}=1$, 그 이외의 경우는 $\delta_{ij}=0$)이므로 임의의 $\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}e_{i}},\,\sum_{j=1}^{n}{y_{j}e_{j}}\in\mathbb{R}^{n}$에 대하여 $$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&&0\\&\ddots&\\0&&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\y_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\y_{n}\end{pmatrix}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{y}$$ 이고 이 내적의 행렬표현은 $n$차 단위행렬이다.

2차 다항식들의 집합 $P_{2}(\mathbb{R})$상의 내적을 $$\langle f,\,g\rangle=\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx}$$ 로 정의하자. 기저 $\alpha=\{1,\,x,\,x^{2}\}$에 대하여 내적의 행렬표현을 구하면 $$a_{ij}=\int_{0}^{1}{x^{i-1}x^{j-1}dx}=\int_{0}^{1}{x^{i+j-2}dx}=\frac{1}{i+j-1}\,(i,\,j=1,\,2,\,3)$$ 이므로 기저 $\alpha$에 대한 이 내적의 행렬표현은 $$A=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$ 이다.

앞에서 언급했던 어떤 기저에 대한 내적의 행렬표현을 나타내는 행렬 $A$는 항상 역행렬을 갖는다. $A$의 열벡터를 $\{\mathbf{c}_{1},\,...,\,\mathbf{c}_{n}\}$, $[\mathbf{x}]_{\alpha}=(a_{1},\,...,\,a_{n})^{T}$이라 하자. $$\mathbf{0}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mathbf{c}_{i}}=A\begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\a_{n}\end{pmatrix}$$ 일때 $i=1,\,...,\,n$에 대하여 $$0=[\mathbf{v}_{i}]_{\alpha}^{T}A[\mathbf{x}]_{\alpha}=\langle\mathbf{v}_{i},\,\mathbf{x}\rangle$$ 이므로 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$이고 $[\mathbf{x}]_{\alpha}=\mathbf{0}$이므로 $a_{i}=0\,(i=1,\,...,\,n)$이다. 이는 $A$의 열벡터들이 서로 일차독립임을 뜻한다. 

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser