[선형대수학] 14. 내적공간 (2: 내적의 행렬표현)

[선형대수학] 14. 내적공간 (2: 내적의 행렬표현)

\(\mathbb{R}^{2}\)상의 임의의 벡터 \(\mathbf{x}=(x_{1},\,x_{2})\), \(\mathbf{y}=(y_{1},\,y_{2})\)에 대하여$$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=ax_{1}y_{1}+cx_{1}y_{2}+cx_{2}y_{1}+bx_{2}y_{2}\,(a>0,\,ab-c^{2}>0)$$로 정의된 연산 \(\langle\cdot,\,\cdot\rangle\)는 내적이다. \(c=0\)이면 \(\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=ax_{1}y_{1}+bx_{2}y_{2}\)이고 이때 \(a=\langle e_{1},\,e_{1}\rangle\), \(b=\langle e_{2},\,e_{2}\rangle\), \(c=\langle e_{1},\,e_{2}\rangle=\langle e_{2},\,e_{1}\rangle\) \((e_{1}=(1,\,0),\,e_{2}=(0,\,1))\)이다. 이 내적을 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있다.$$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{y}\,\left(A=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\right)$$\(V\)를 벡터공간, \(\alpha=\{\mathbf{v}_{1},\,...,\,\mathbf{v}_{n}\}\)을 \(V\)의 순서기저라 하자. 임의의 \(\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\mathbf{v}_{i}},\,\mathbf{y}=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}\mathbf{v}_{i}}\in V\)에 대하여$$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{x_{i}y_{j}\langle\mathbf{v}_{i},\,\mathbf{v}_{j}\rangle}}$$가 성립한다. \(a_{ij}=\langle\mathbf{v}_{i},\,\mathbf{v}_{j}\rangle\)라고 하면 \(\langle\mathbf{v}_{i},\,\mathbf{v}_{j}\rangle=\langle\mathbf{v}_{j},\,\mathbf{v}_{i}\rangle\)이므로 행렬 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)를 이용하여 내적을 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있다.$$\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{x_{i}y_{j}a_{ij}}}=[\mathbf{x}]_{\alpha}^{T}A[\mathbf{y}]_{\alpha}$$여기서 행렬 \(A\)를 기저 \(\alpha\)에 대한 내적의 행렬표현(matrix representation)이라고 한다.

\(\mathbb{R}^{n}\)상의 표준기저 \(\{e_{1},\,...,\,e_{n}\}\)에 대하여 표준내적에 대한 행렬표현을 구하면 \(e_{i}\cdot e_{j}=\delta_{ij}\)(\(i=j\)인 경우에 \(\delta_{ij}=1\), 그 이외의 경우는 \(\delta_{ij}=0\))이므로 임의의 \(\displaystyle\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}e_{i}},\,\sum_{j=1}^{n}{y_{j}e_{j}}\in\mathbb{R}^{n}\)에 대하여$$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\langle\mathbf{x},\,\mathbf{y}\rangle=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&&0\\&\ddots&\\0&&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\y_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots&x_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\y_{n}\end{pmatrix}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{y}$$이고 이 내적의 행렬표현은 \(n\)차 단위행렬이다.

2차 다항식들의 집합 \(P_{2}(\mathbb{R})\)상의 내적을$$\langle f,\,g\rangle=\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx}$$로 정의하자. 기저 \(\alpha=\{1,\,x,\,x^{2}\}\)에 대하여 내적의 행렬표현을 구하면$$a_{ij}=\int_{0}^{1}{x^{i-1}x^{j-1}dx}=\int_{0}^{1}{x^{i+j-2}dx}=\frac{1}{i+j-1}\,(i,\,j=1,\,2,\,3)$$이므로 기저 \(\alpha\)에 대한 이 내적의 행렬표현은$$A=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}$$이다.

앞에서 언급했던 어떤 기저에 대한 내적의 행렬표현을 나타내는 행렬 \(A\)는 항상 역행렬을 갖는다. \(A\)의 열벡터를 \(\{\mathbf{c}_{1},\,...,\,\mathbf{c}_{n}\}\), \([\mathbf{x}]_{\alpha}=(a_{1},\,...,\,a_{n})^{T}\)이라 하자.$$\mathbf{0}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mathbf{c}_{i}}=A\begin{pmatrix}a_{1}\\ \vdots\\a_{n}\end{pmatrix}$$일때 \(i=1,\,...,\,n\)에 대하여$$0=[\mathbf{v}_{i}]_{\alpha}^{T}A[\mathbf{x}]_{\alpha}=\langle\mathbf{v}_{i},\,\mathbf{x}\rangle$$이므로 \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\)이고 \([\mathbf{x}]_{\alpha}=\mathbf{0}\)이므로 \(a_{i}=0\,(i=1,\,...,\,n)\)이다. 이는 \(A\)의 열벡터들이 서로 일차독립임을 뜻한다. 

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser