[선형대수학] 16. 내적공간 (4: 그람-슈미츠 직교화)

[선형대수학] 16. 내적공간 (4: 그람-슈미츠 직교화)

모든 내적공간은 항상 정규직교기저를 갖는다. \(\{\mathbf{x}_{1},\,...,\,\mathbf{x}_{n}\}\)을 \(n\)차원 벡터공간 \(V\)의 기저라고 하자.$$\mathbf{n}_{1}=\frac{\mathbf{x}_{1}}{||\mathbf{x}_{1}||},\,\mathbf{n}_{2}=\frac{\mathbf{x}_{2}-\langle\mathbf{x}_{2},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}}{||\mathbf{x}_{2}-\langle\mathbf{x}_{2},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}||}$$라고 하면 \(\mathbf{x}_{1}\)과 \(\mathbf{x}_{2}\)는 서로 독립이므로 \(\mathbf{x}_{2}-\langle\mathbf{x}_{2},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}\neq0\)이고 \(\mathbf{n}_{2}\)를 정의하는데 문제없다. 또한 \(\mathbf{n}_{1}\)과 \(\mathbf{n}_{2}\)는 정규직교기저이다. 수학적귀납법을 이용하자. \(k=1,\,2,\,...,\,n\)에 대하여$$\mathbf{n}_{k}=\frac{\mathbf{x}_{k}-\langle\mathbf{x}_{k},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}-\langle\mathbf{x}_{k},\,\mathbf{n}_{2}\rangle\mathbf{n}_{2}-\cdots-\langle\mathbf{x}_{k},\,\mathbf{n}_{k-1}\rangle\mathbf{n}_{k-1}}{||\mathbf{x}_{k}-\langle\mathbf{x}_{k},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}-\langle\mathbf{x}_{k},\,\mathbf{n}_{2}\rangle\mathbf{n}_{2}-\cdots-\langle\mathbf{x}_{k},\,\mathbf{n}_{k-1}\rangle\mathbf{n}_{k-1}||}$$이라고 하면 \(\{\mathbf{n}_{1},\,...,\,\mathbf{n}_{n}\}\)은 정규직교기저이다. 이 과정을 그람-슈미츠 직교화(Gram-Schmidt Orthogonalization)라고 한다. 이렇게 해서 정규직교기저를 가짐을 보였다.

행렬$$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&2\\1&0&4\\1&1&0\end{pmatrix}$$의 열공간 \(\mathcal{C}(A)\)에 대한 정규직교기저를 구하자. 내적은 유클리드 내적을 이용한다. \(\mathbf{c}_{1}=(1,\,1,\,1,\,1)\), \(\mathbf{c}_{2}=(1,\,2,\,0,\,4)\), \(\mathbf{c}_{3}=(2,\,2,\,4,\,0)\)은 열벡터의 기저이다. 앞에서 언급한 그람-슈미츠 직교화 과정을 이용하면$$\mathbf{n}_{1}=\frac{\mathbf{c}_{1}}{||\mathbf{c}_{1}||}=\frac{\mathbf{c}_{1}}{2}=\left(\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)\\ \mathbf{n}_{2}=\frac{\mathbf{c}_{2}-\langle\mathbf{c}_{2},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}}{||\mathbf{c}_{2}-\langle\mathbf{x}_{2},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}||}=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,\,1,\,-1,\,0)=\left(0,\,\frac{1}{\sqrt{2}},\,-\frac{1}{\sqrt{2}},\,0\right)\\ \mathbf{n}_{3}=\frac{\mathbf{c}_{3}-\langle\mathbf{c}_{3},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}-\langle\mathbf{c}_{3},\,\mathbf{n}_{2}\rangle\mathbf{n}_{2}}{||\mathbf{c}_{3}-\langle\mathbf{c}_{3},\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}-\langle\mathbf{c}_{3},\,\mathbf{n}_{2}\rangle\mathbf{n}_{2}||}=\frac{1}{\sqrt{6}}(0,\,1,\,1,\,-2)=\left(0,\,\frac{1}{\sqrt{6}},\,\frac{1}{\sqrt{6}},\,-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$$이고 따라서 \(\{\mathbf{n}_{1},\,\mathbf{n}_{2},\,\mathbf{n}_{3}\}\)은 \(\mathcal{C}(A)\)의 정규직교기저이다.

\(C([0,\,1])\)상의 내적을$$\langle f,\,g\rangle=\int_{0}^{1}{f(x)g(x)dx}\,(f,\,g\in C([0,\,1]))$$로 정의하자. \(\{1,\,x\}\)로 생성되는 부분공간 \(W\)의 정규직교기저를 구하자. 그 기저를 \(\mathbf{n}_{1}\), \(\mathbf{n}_{2}\)이라고 하면$$||1||=\sqrt{\int_{0}^{1}{1\cdot1dx}}=\sqrt{1}=1$$이므로$$\displaystyle\mathbf{n}_{1}=\frac{1}{||1||}=1$$이다.$$x-\langle x,\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}=x-\langle x,\,1\rangle=x-\int_{0}^{1}{xdx}=x-\frac{1}{2}\\||x-\langle x,\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}||=\sqrt{\int_{0}^{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}dx}}=\sqrt{2\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{2}dx}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$$이므로$$\mathbf{n}_{2}=\frac{x-\langle x,\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}}{||x-\langle x,\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}||}=2\sqrt{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}(2x-1)$$이다. \(f(x)=x^{2}\)라 하고 \(\text{Proj}_{W}f\)를 구하자.$$\begin{align*}\text{Proj}_{W}f&=\langle f,\,\mathbf{n}_{1}\rangle\mathbf{n}_{1}+\langle f,\,\mathbf{n}_{2}\rangle\mathbf{n}_{2}=\langle x^{2},\,1\rangle+\langle x^{2},\,\sqrt{3}(2x-1)\rangle\sqrt{3}(2x-1)\\&=\int_{0}^{1}{x^{2}dx}+3(2x-1)\left(\int_{0}^{1}{(2x^{3}-x^{2})dx}\right)\\&=\frac{1}{3}+3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)(2x-1)\\&=-\frac{1}{6}+x\end{align*}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\text{Proj}_{W}f=-\frac{1}{6}+x\)이다.

\(n\)차 정사각행렬 \(A\)에 대하여 다음 명제들은 서로 동치이다.

(1) \(A\)의 열벡터들은 정규직교기저이다.

(2) \(A^{T}A=I_{n}\)

(3) \(A^{T}=A^{-1}\)

(4) \(AA^{T}=I_{n}\)

(5) \(A\)의 행벡터들은 정규직교기저이다.

이에 대한 증명은 생략하겠다. 위의 성질들을 만족하는 행렬을 직교행렬(Orthogonal matrix)이라고 한다.

다음의 행렬은 직교행렬이다.$$A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\,B=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$$

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser