[선형대수학] 16. 내적공간 (4: 그람-슈미츠 직교화)
모든 내적공간은 항상 정규직교기저를 갖는다. {x1,...,xn}을 n차원 벡터공간 V의 기저라고 하자.n1=x1||x1||,n2=x2−⟨x2,n1⟩n1||x2−⟨x2,n1⟩n1||라고 하면 x1과 x2는 서로 독립이므로 x2−⟨x2,n1⟩n1≠0이고 n2를 정의하는데 문제없다. 또한 n1과 n2는 정규직교기저이다. 수학적귀납법을 이용하자. k=1,2,...,n에 대하여nk=xk−⟨xk,n1⟩n1−⟨xk,n2⟩n2−⋯−⟨xk,nk−1⟩nk−1||xk−⟨xk,n1⟩n1−⟨xk,n2⟩n2−⋯−⟨xk,nk−1⟩nk−1||이라고 하면 {n1,...,nn}은 정규직교기저이다. 이 과정을 그람-슈미츠 직교화(Gram-Schmidt Orthogonalization)라고 한다. 이렇게 해서 정규직교기저를 가짐을 보였다.
행렬A=(112122104110)의 열공간 C(A)에 대한 정규직교기저를 구하자. 내적은 유클리드 내적을 이용한다. c1=(1,1,1,1), c2=(1,2,0,4), c3=(2,2,4,0)은 열벡터의 기저이다. 앞에서 언급한 그람-슈미츠 직교화 과정을 이용하면n1=c1||c1||=c12=(12,12,12,12)n2=c2−⟨c2,n1⟩n1||c2−⟨x2,n1⟩n1||=1√2(0,1,−1,0)=(0,1√2,−1√2,0)n3=c3−⟨c3,n1⟩n1−⟨c3,n2⟩n2||c3−⟨c3,n1⟩n1−⟨c3,n2⟩n2||=1√6(0,1,1,−2)=(0,1√6,1√6,−2√6)이고 따라서 {n1,n2,n3}은 C(A)의 정규직교기저이다.
C([0,1])상의 내적을⟨f,g⟩=∫10f(x)g(x)dx(f,g∈C([0,1]))로 정의하자. {1,x}로 생성되는 부분공간 W의 정규직교기저를 구하자. 그 기저를 n1, n2이라고 하면||1||=√∫101⋅1dx=√1=1이므로n1=1||1||=1이다.x−⟨x,n1⟩n1=x−⟨x,1⟩=x−∫10xdx=x−12||x−⟨x,n1⟩n1||=√∫10(x−12)2dx=√2∫120x2dx=12√3이므로n2=x−⟨x,n1⟩n1||x−⟨x,n1⟩n1||=2√3(x−12)=√3(2x−1)이다. f(x)=x2라 하고 ProjWf를 구하자.ProjWf=⟨f,n1⟩n1+⟨f,n2⟩n2=⟨x2,1⟩+⟨x2,√3(2x−1)⟩√3(2x−1)=∫10x2dx+3(2x−1)(∫10(2x3−x2)dx)=13+3(12−13)(2x−1)=−16+x이므로 따라서 ProjWf=−16+x이다.
n차 정사각행렬 A에 대하여 다음 명제들은 서로 동치이다.
(1) A의 열벡터들은 정규직교기저이다.
(2) ATA=In
(3) AT=A−1
(4) AAT=In
(5) A의 행벡터들은 정규직교기저이다.
이에 대한 증명은 생략하겠다. 위의 성질들을 만족하는 행렬을 직교행렬(Orthogonal matrix)이라고 한다.
다음의 행렬은 직교행렬이다.A=(cosθ−sinθsinθcosθ),B=(cosθsinθsinθ−cosθ)
참고자료:
Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser
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