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대수학/선형대수학2017. 11. 6. 08:58
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[선형대수학] 16. 내적공간 (4: 그람-슈미츠 직교화)



모든 내적공간은 항상 정규직교기저를 갖는다. {x1,...,xn}n차원 벡터공간 V의 기저라고 하자.n1=x1||x1||,n2=x2x2,n1n1||x2x2,n1n1||라고 하면 x1x2는 서로 독립이므로 x2x2,n1n10이고 n2를 정의하는데 문제없다. 또한 n1n2는 정규직교기저이다. 수학적귀납법을 이용하자. k=1,2,...,n에 대하여nk=xkxk,n1n1xk,n2n2xk,nk1nk1||xkxk,n1n1xk,n2n2xk,nk1nk1||이라고 하면 {n1,...,nn}은 정규직교기저이다. 이 과정을 그람-슈미츠 직교화(Gram-Schmidt Orthogonalization)라고 한다. 이렇게 해서 정규직교기저를 가짐을 보였다.


행렬A=(112122104110)의 열공간 C(A)에 대한 정규직교기저를 구하자. 내적은 유클리드 내적을 이용한다. c1=(1,1,1,1), c2=(1,2,0,4), c3=(2,2,4,0)은 열벡터의 기저이다. 앞에서 언급한 그람-슈미츠 직교화 과정을 이용하면n1=c1||c1||=c12=(12,12,12,12)n2=c2c2,n1n1||c2x2,n1n1||=12(0,1,1,0)=(0,12,12,0)n3=c3c3,n1n1c3,n2n2||c3c3,n1n1c3,n2n2||=16(0,1,1,2)=(0,16,16,26)이고 따라서 {n1,n2,n3}C(A)의 정규직교기저이다.


C([0,1])상의 내적을f,g=10f(x)g(x)dx(f,gC([0,1]))로 정의하자. {1,x}로 생성되는 부분공간 W의 정규직교기저를 구하자. 그 기저를 n1, n2이라고 하면||1||=1011dx=1=1이므로n1=1||1||=1이다.xx,n1n1=xx,1=x10xdx=x12||xx,n1n1||=10(x12)2dx=2120x2dx=123이므로n2=xx,n1n1||xx,n1n1||=23(x12)=3(2x1)이다. f(x)=x2라 하고 ProjWf를 구하자.ProjWf=f,n1n1+f,n2n2=x2,1+x2,3(2x1)3(2x1)=10x2dx+3(2x1)(10(2x3x2)dx)=13+3(1213)(2x1)=16+x이므로 따라서 ProjWf=16+x이다.


n차 정사각행렬 A에 대하여 다음 명제들은 서로 동치이다.

(1) A의 열벡터들은 정규직교기저이다.

(2) ATA=In

(3) AT=A1

(4) AAT=In

(5) A의 행벡터들은 정규직교기저이다.


이에 대한 증명은 생략하겠다. 위의 성질들을 만족하는 행렬을 직교행렬(Orthogonal matrix)이라고 한다.

다음의 행렬은 직교행렬이다.A=(cosθsinθsinθcosθ),B=(cosθsinθsinθcosθ)


참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser

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Posted by skywalker222