[선형대수학] 18. 행렬의 대각화

[선형대수학] 18. 행렬의 대각화

앞에서는 일반적인 행렬에 대한 고유값과 고유벡터를 구했다. 

$A$가 대각행렬이면, $A$의 대각선 성분들은 모두 $A$의 고유값이다. 그 이유는 $$\begin{align*}\det(\lambda I-A)&=\det\begin{pmatrix}\lambda-a_{11}&0&\cdots&&0\\0&\ddots&&&\vdots\\&&\ddots&&\\0&&&&\lambda-a_{nn}\end{pmatrix}\\&=(\lambda-a_{11})\cdots(\lambda-a_{nn})\end{align*}$$ 이기 때문이다.($A$가 하삼각행렬이거나 상삼각행렬이어도 성립한다)

이 사실은 행렬 $A$의 형태가 삼각행렬 또는 대각행렬이면 대각선 성분이 곧 고유값임을 뜻한다. 삼각행렬은 고유값을 구하는데 있어서는 편리하나 고유벡터를 구하는데 있어서는 복잡할 수 있다. 

$n\times n$행렬 $A$에 대하여 정칙행렬 $Q$가 존재해서 $Q^{-1}AQ$가 대각행렬이면, $A$를 대각화가능(diagonalizable)이라고 한다.

$A$와 $B$를 서로 닮음행렬이라 하자. 그러면 정칙행렬 $Q^{-1}$가 존재해서 $B=Q^{-1}AQ$이고, $$\begin{align*}\det(\lambda I-B)&=\det(Q^{-1}(\lambda I)Q-Q^{-1}AQ)\\&=\det(Q^{-1})\det(\lambda I-A)\det Q\\&=\det(\lambda I-A)\end{align*}$$ 이므로 $A$와 $B$는 같은 고유값을 가진다. 

$A$를 $n\times n$행렬이라 하자. 그러면 $A$가 대각화가능할 필요충분조건은 $A$가 $n$개의 선형독립인 고유벡터를 갖는 것이다.

증명:

$(\Rightarrow)$: $A$를 대각화가능하다고 하자. 그러면 정칙행렬 $Q$가 존재해서 $Q^{-1}AQ$는 대각행렬 $D$이다. 이를 다음과 같이 나타내자. $$Q^{-1}AQ=D=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&\cdots&0\\0&\lambda_{2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_{n}\end{pmatrix}$$ $\mathbf{x}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{n}$을 $Q$의 열벡터라고 하자. $$\begin{align*}AQ&=[A\mathbf{x}_{1}\,A\mathbf{x}_{2}\,\cdots\,A\mathbf{x}_{n}]\\QD&=[\lambda\mathbf{x}_{1}\,\lambda_{2}\mathbf{x}_{2}\,\cdots\,\lambda_{n}\mathbf{x}_{n}]\end{align*}$$ 이고, $AQ=QD$이므로 $A\mathbf{x}_{i}=\lambda_{i}\mathbf{x}_{i}\,(i=1,\,\cdots,\,n)$이고, $Q$가 정칙행렬이므로 $Q$의 열벡터들은 모두 일차독립이다. 이것은 $\mathbf{x}_{i}$들이 $A$의 $n$개의 일차독립 고유벡터임을 뜻한다.

$(\Leftarrow)$: $A$가 $n$개의 $\lambda_{1},\,\cdots,\,\lambda_{n}$에 대응하는 선형독립 고유벡터 $\mathbf{x}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{n}$들을 갖는다고 하자. 그러면 $A\mathbf{x}_{i}=\lambda_{i}\mathbf{x}_{i}\,(i=1,\,\cdots,\,n)$이고, 행렬 $Q$를 열벡터가 $\mathbf{x}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{n}$인 행렬, 즉 $$Q=[\mathbf{x}_{1}\,\cdots\,\mathbf{x}_{n}]$$ 으로 정의하면, $A\mathbf{x}_{i}=\lambda_{i}\mathbf{x}_{i}$이므로 $AQ=QD$이고 여기서 $D$는 대각선 성분이 고유값 $\lambda_{1},\,\cdots,\,\lambda_{n}$인 대각행렬이다. $Q$의 열벡터들은 선형독립이므로 역행렬을 갖고 따라서 $Q^{-1}AQ=D$이다.

다음의 행렬 $$A=\begin{pmatrix}3&-2&0\\-2&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}$$ 의 고유값은 $\lambda_{1}=1$, $\lambda_{2}=5$(중복도는 $2$이다)이고, 고유벡터는 $$\mathbf{x}_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\,\mathbf{x}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},\,\mathbf{x}_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$ 이다. $$Q=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 라 하면, $$Q^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 이므로 $$Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}$$ 이고, $Q^{-1}AQ$는 대각행렬이고, 대각선 성분은 모두 고유값이다. 또한 이 대각행렬과 행렬 $A$는 닮음행렬이다.

다음의 행렬 $$B=\begin{pmatrix}t&1&0\\0&t&1\\0&0&t\end{pmatrix}\,(t\in\mathbb{R})$$ 은 대각화가능하지 않다. 그 이유는 $$\det(\lambda I-B)=\det\begin{pmatrix}\lambda-t&1&0\\0&\lambda-t&1\\0&0&\lambda-t\end{pmatrix}=(\lambda-t)^{3}$$ 이므로 고유값은 중복도가 $3$인 $\lambda =t$뿐이다. 또한 다음의 동차방정식 $$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ 의 해는 $x_{2}=x_{3}=0$이므로 $$\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\0\\0\end{pmatrix}=x_{1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$ 이고 이 $\mathbf{x}$만이 $B$의 고유벡터이다. 따라서 $B$는 대각화가능하지 않다.

$\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\cdots,\,\lambda_{k}$를 행렬 $A$의 서로 다른 고유값들이라 하고, 이에 대응되는 고유벡터들을 $\mathbf{x}_{1},\,\mathbf{x}_{2},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{k}$라 하자. 그러면 $\{\mathbf{x}_{1},\,\mathbf{x}_{2},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{k}\}$는 선형독립이다.

증명: $r$을 $\mathbf{x}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{r}$이 선형독립이 되게 하는 최대의 정수라 하자. $r=k$이면, 증명할 필요가 없다. 그러므로 $1\leq r<k$라 하자. 그러면 $\{\mathbf{x}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{r+1}\}$는 종속이고, $c_{1},\,\cdots,\,c_{r+1}(\neq0)$이 존재해서 $c_{1}\mathbf{x}_{1}+c_{2}\mathbf{x}_{2}+\cdots+c_{r+1}\mathbf{x}_{r+1}=\mathbf{0}\,(1)$이다. 이 식의 양변에 행렬 $A$를 곱하고 $\mathbf{x}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{r+1}$이 $A$의 고유벡터라는 사실을 이용하면 $$c_{1}\lambda_{1}\mathbf{x}_{1}+c_{2}\lambda_{2}\mathbf{x}_{2}+\cdots+c_{r+1}\lambda_{r+1}\mathbf{x}_{r+1}=\mathbf{0}\,(2)$$ 이다. 식 (1)에 $\lambda_{r+1}$을 곱한 다음 식 (2)로 빼면 $$c_{1}(\lambda_{r+1}-\lambda_{1})\mathbf{x}_{1}+c_{2}(\lambda_{r+1}-\lambda_{2})\mathbf{x}_{2}+\cdots+c_{r}(\lambda_{r+1}-\lambda_{r})\mathbf{x}_{r}=\mathbf{0}$$ 이고 $\{\mathbf{x}_{1},\,\cdots,\,\mathbf{x}_{r}\}$이 선형독립이고 $\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\cdots,\,\lambda_{r+1}$은 서로 다른 값이므로 $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{r}=0$이고, $\mathbf{x}_{r+1}\neq\mathbf{0}$이므로 $c_{r+1}=0$이 되는데 이는 $c_{r+1}\neq0$이라는 사실에 모순이다.

앞의 정리와 이 정리를 종합해서 $n\times n$행렬 $A$가 $n$개의 고유값을 가지면 $A$는 대각화가능하다고 할 수 있다.

행렬 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&4\\3&2\end{pmatrix}$에 대하여 $A^{n}$을 구하자. 행렬 $A$를 대각화하면 쉽게 구할 수 있다. $$\det(\lambda I-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-1&-4\\-3&\lambda-2\end{pmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-2)-(-3)(-4)=(\lambda+2)(\lambda-5)$$ 이므로 고유값은 $\lambda_{1}=5$, $\lambda_{2}=-2$이고 이에 대응하는 고유벡터를 구하면 $$\begin{pmatrix}4&-4\\-3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},\,\mathbf{x}_{1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$ 이고 $$\begin{pmatrix}-3&-4\\-3&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},\,\mathbf{x}_{2}=\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$$ 이므로 행렬 $Q$를 $\displaystyle Q=\begin{pmatrix}1&-4\\1&3\end{pmatrix}$이라 하면, $\displaystyle Q^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3&4\\-1&3\end{pmatrix}$이므로 $$Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}5&0\\0&-2\end{pmatrix},\,A=Q\begin{pmatrix}5&0\\0&-2\end{pmatrix}Q^{-1}$$ 이므로 $$\begin{align*}A^{n}&=Q\begin{pmatrix}5^{n}&0\\0&(-2)^{n}\end{pmatrix}Q^{-1}\\&=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\cdot5^{n}+4\cdot(-2)^{n}&4\cdot5^{n}-4\cdot(-2)^{n}\\3\cdot5^{n}-3\cdot(-2)^{n}&4\cdot5^{n}+3\cdot(-2)^{n}\end{pmatrix}\end{align*}$$ 이다.

참고자료:

Linear Algebra, Jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser

이공학도를 위한 선형대수학, 김명재, 휴먼싸이언스