[선형대수학] 19. 조르단 표준형

[선형대수학] 19. 조르단 표준형

앞에서 다루었던 행렬 $$B=\left(\begin{matrix}t&1&0\\0&t&1\\0&0&t\end{matrix}\right)\,(t\in\mathbb{R})$$ 은 대각화가 가능하지 않은 행렬이다. 이러한 행렬은 다음의 조르단 표준형이라고 하는 형태이다.

$n\times n$행렬 $A$가 $s$개의 선형독립인 고유벡터들을 가지면, 조르단 표준형(Jordan canonical form)이라고 불리는 다음의 행렬과 닮음이다. $$J=Q^{-1}AQ=\left(\begin{matrix}J_{1}&&&\\&J_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&J_{s}\end{matrix}\right)$$ 여기서 $J_{i}$는 조르단 블럭(Jordan block)으로 다음과 같은 삼각행렬이고 $$J_{i}=\left(\begin{matrix}\lambda_{i}&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda_{i}\end{matrix}\right)$$ $\lambda_{i}$는 행렬 $A$의 단일 고유값, $s$는 $A$의 선형독립인 고유벡터의 수이다.

주의할 점은 선형독립인 고유벡터의 수가 1개 이상이면, 동일한 고유값 $\lambda_{i}$는 여러 블럭에 나타날 수 있다. $A$가 $n$개의 선형독립인 고유벡터를 가지면, $n$개의 조르단 블럭을 갖고, 그 조르단 블럭은 $1\times1$행렬이므로 $A$는 대각행렬이고, 대각행렬은 조르단 표준형의 특별한 경우이다. 

$5\times5$행렬 $A$가 중복도가 5인 하나의 고유값 $\lambda$를 갖는다고 하자. 그러면 가능한 조르단 표준형의 개수는 다음의 7개이다.

(1) $A$가 하나의 선형독립인 고유벡터를 갖는다고 하면 가능한 $A$의 조르단 표준형은 다음과 같다. $$J=\left(\begin{matrix}\lambda&1&0&0&0\\0&\lambda&1&0&0\\0&0&\lambda&1&0\\0&0&0&\lambda&1\\0&0&0&0&\lambda\end{matrix}\right)$$ 이 조르단 표준형은 1개의 조르단 블럭으로 되어있고, 대각선에 고유값 $\lambda$가 있다.    

(2) $A$가 두 개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다고 하면 가능한 $A$의 조르단 표준형은 다음과 같다. $$J=\left(\begin{matrix}\lambda&1&&&\\0&\lambda&&&\\&&\lambda&1&0\\&&0&\lambda&1\\&&0&0&\lambda\end{matrix}\right),\,J=\left(\begin{matrix}\lambda&&&&\\&\lambda&1&0&0\\&0&\lambda&1&0\\&0&0&\lambda&1\\&0&0&0&\lambda\end{matrix}\right)$$ 이 조르단 표준형은 2개의 조르단 블럭으로 되어있고, 대각선에 고유값 $\lambda$가 있다. 

(3) $A$가 세 개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다고 하면 가능한 $A$의 조르단 표준형은 다음과 같다. $$J=\left(\begin{matrix}\lambda&&&&\\&\lambda&1&&\\&0&\lambda&&\\&&&\lambda&1\\&&&0&\lambda\end{matrix}\right),\,J=\left(\begin{matrix}\lambda&&&&\\&\lambda&&&\\&&\lambda&1&0\\&&0&\lambda&1\\&&0&0&\lambda\end{matrix}\right)$$ 이 조르단 표준형은 3개의 조르단 블럭으로 되어있고, 대각선에 고유값 $\lambda$가 있다.  

(4) $A$가 네 개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다고 하면 가능한 $A$의 조르단 표준형은 다음과 같다. $$J=\left(\begin{matrix}\lambda&&&&\\&\lambda&&&\\&&\lambda&&\\&&&\lambda&1\\&&&0&\lambda\end{matrix}\right)$$ 이 조르단 표준형은 4개의 조르단 블럭으로 되어있고, 대각선에 고유값 $\lambda$가 있다.  

(5) $A$가 다섯 개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다고 하면 가능한 $A$의 조르단 표준형은 다음과 같다. $$J=\left(\begin{matrix}\lambda&&&&\\&\lambda&&&\\&&\lambda&&\\&&&\lambda&\\&&&&\lambda\end{matrix}\right)$$ 대각행렬과 동일하다(정확히는 5개의 조르단 블럭). 

행렬 $J$가 다음과 같은 조르단 표준형이라고 하자. $$J=\left(\begin{matrix}\left(\begin{matrix}6&1\\0&6\end{matrix}\right)&&\\&\left(\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}\right)&\\&&(0)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}J_{1}&&\\&J_{2}&\\&&J_{3}\end{matrix}\right)$$ 이 행렬의 고유값은 6과 0이고 각각 중복도가 2와 3이다. 고유값 $\lambda=6$에 대한 고유벡터를 $\mathbf{x}_{1}$(계산해보면 1개가 나온다), 고유값 $\lambda=0$에 대한 고유벡터를 $\mathbf{x}_{3}$, $\mathbf{x}_{5}$(계산해보면 2개가 나온다)라고 하면 다음과 같다. $$\mathbf{x}_{1}=\left(\begin{matrix}1\\0\\0\\0\\0\end{matrix}\right),\,\mathbf{x}_{3}=\left(\begin{matrix}0\\0\\1\\0\\0\end{matrix}\right),\,\mathbf{x}_{5}=\left(\begin{matrix}0\\0\\0\\0\\1\end{matrix}\right)$$ $Q=[\mathbf{x}_{1}\,\mathbf{x}_{2}\,\cdots\,\mathbf{x}_{5}]$라 하고 $Q^{-1}AQ=J$를 $AQ=QJ$로 나타내면 $$A\left(\begin{matrix}&&&\\&&&\\ \mathbf{x}_{1}&\mathbf{x}_{2}&\cdots&\mathbf{x}_{5}\\&&&\\&&&\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}&&&\\&&&\\  \mathbf{x}_{1}&\mathbf{x}_{2}&\cdots&\mathbf{x}_{5}\\&&&\\&&&\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6&1&&&\\0&6&&&\\&&0&1&\\&&0&0&\\&&&&0\end{matrix}\right)$$ 이므로 따라서 $$[A\mathbf{x}_{1}\,A\mathbf{x}_{2}\,A\mathbf{x}_{3}\,A\mathbf{x}_{4}\,A\mathbf{x}_{5}]=[6\mathbf{x}_{1}\,\mathbf{x}_{1}+6\mathbf{x}_{2}\,0\mathbf{x}_{3}\,\mathbf{x}_{3}\,0\mathbf{x}_{5}]\,\text{or}\\A\mathbf{x}_{1}=6\mathbf{x}_{1},\,A\mathbf{x}_{2}=6\mathbf{x}_{2}+\mathbf{x}_{1},\,A\mathbf{x}_{3}=0\mathbf{x}_{3},\,A\mathbf{x}_{4}=0\mathbf{x}_{4}+\mathbf{x}_{3},\,A\mathbf{x}_{5}=0\mathbf{x}_{5}$$ 여기서 $\mathbf{x}_{1}$, $\mathbf{x}_{3}$, $\mathbf{x}_{5}$는 $A$의 고유벡터이지만 $\mathbf{x}_{2}$, $\mathbf{x}_{4}$는 아니다. 그러나 이 두 벡터는 다음의 식이 성립하고 $$(A-6I)\mathbf{x}_{2}=\mathbf{x}_{1},\,(A-0I)\mathbf{x}_{4}=\mathbf{x}_{3}$$ 따라서 다음이 성립한다. $$(A-6I)^{2}\mathbf{x}_{2}=\mathbf{0},\,(A-0I)^{2}\mathbf{x}_{4}=\mathbf{0}$$ 여기서의 두 벡터 $\mathbf{x}_{2}$와 $\mathbf{x}_{4}$를 각각 고유값 $\lambda=6$과 $\lambda=0$에 대한 일반 고유벡터라고 한다. 참고로 다음이 성립한다. $$(A-6I)\mathbf{x}_{2}\neq\mathbf{0},\,(A-0I)\mathbf{x}_{4}\neq\mathbf{0}$$ $\mathbf{x}$가 계수(rank)가 $k$이고 고유값이 $\lambda$인 $A$의 일반 고유벡터(generalized eigenvector)라는 것은 다음이 성립하는 것이다. $$(A-\lambda I)^{k}\mathbf{x}=\mathbf{0},\,(A-\lambda I)^{k-1}\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$$ $k=1$이면 고유벡터의 정의이다. $\mathbf{x}$를 고유값이 $\lambda$이고 계수가 $k$인 일반 고유벡터라고 하고 $\mathbf{x}_{1},\,\mathbf{x}_{2},\,...,\,\mathbf{x}_{k}$를 다음과 같이 정의하자 $$\begin{align*}\mathbf{x}_{k}&=\mathbf{x}\\ \mathbf{x}_{k-1}&=(A-\lambda I)\mathbf{x}=(A-\lambda I)\mathbf{x}_{k}\\  \mathbf{x}_{k-2}&=(A-\lambda I)^{2}\mathbf{x}=(A-\lambda I)\mathbf{x}_{k-1}\\ \vdots&&\\ \mathbf{x}_{2}&=(A-\lambda I)^{k-2}\mathbf{x}=(A-\lambda I)\mathbf{x}_{3}\\ \mathbf{x}_{1}&=(A-\lambda I)^{k-1}\mathbf{x}=(A-\lambda I)\mathbf{x}_{2}\end{align*}$$ 위의 벡터들의 집합 $\{\mathbf{x}_{1},\,\mathbf{x}_{2},\,...,\,\mathbf{x}_{k}\}$를 고유값이 $\lambda$인 일반 고유벡터들의 사슬(chain of generalized eigenvectors)이라고 한다. 

$\mathbf{x}$가 고유값이 $\lambda$이고 계수가 $k(>1)$인 $A$의 일반 고유벡터이면, $1<l\leq k$인 $l$에 대하여 $(A-\lambda I)^{l}\mathbf{x}_{l}=(A-\lambda I)^{k}\mathbf{x}=\mathbf{0}$이고 $(A-\lambda I)^{l-1}\mathbf{x}_{l}=(A-\lambda I)^{k-1}\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$이다. 따라서 벡터 $\mathbf{x}_{l}=(A-\lambda I)^{k-l}\mathbf{x}$는 고유값이 $\lambda$이고 차원이 $l$인 일반 고유벡터이다. $\mathbf{x}_{1}=(A-\lambda I)^{k-1}\mathbf{x}$는 항상 고유값이 $\lambda$인 고유벡터이므로 이 사슬의 초기벡터(initial vector)라고 한다. $l\geq i$에 대하여 $(A-\lambda I)^{l}\mathbf{x}_{i}=\mathbf{0}$이다.  

 

다음은 일반 고유벡터의 사슬에 관한 성질인데 증명은 하지 않겠다.

1. 고유값이 $\lambda$인 일반 고유벡터들의 사슬 $S=\{\mathbf{x}_{1},\,\mathbf{x}_{2},\,...,\,\mathbf{x}_{k}\}$는 선형독립이다.

2. 정방행렬 $A$의 서로 다른 고유값들에 대한 일반 고유벡터의 사슬의 합집합은 선형독립이다.

3. $S=\{\mathbf{x}_{1},\,\mathbf{x}_{2},\,...,\,\mathbf{x}_{k}\}$와 $T=\{\mathbf{y}_{1},\,\mathbf{y}_{2},\,...,\,\mathbf{y}_{l}\}$을 고유값이 $\lambda$인 행렬 $A$의 일반 고유벡터들의 사슬이라고 하자. 초기벡터 $\mathbf{x}_{1}$과 $\mathbf{y}_{1}$이 서로 독립이면, $S\cup T$는 선형독립이다. 

다음의 행렬에 대한 조르단 표준형을 구하자. $$A=\begin{pmatrix}2&1&4\\0&2&-1\\0&0&3\end{pmatrix}$$ 행렬 $A$의 고유값은 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2$, $\lambda_{3}=3$이고 고유값 2에 대한 고유벡터를 $\mathbf{u}_{1}$, 고유값 3에 대한 고유벡터를 $\mathbf{u}_{3}$이라고 하면 다음이 성립한다. $$\mathbf{u}_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\,\mathbf{u}_{3}=\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}$$ $E(2)=2$(고유값 2에 대한 고유공간의 차원이 2)이므로 $\mathbf{u}_{2}$는 고유값 2에 대한 일반 고유벡터이다. $$\begin{align*}(A-2I)\mathbf{x}&=\begin{pmatrix}0&1&4\\0&0&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\mathbf{u}_{2}\neq\mathbf{0}\\(A-2I)^{2}&=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\mathbf{u}_{2}=\mathbf{0}\end{align*}$$ 이므로 $$\mathbf{u}_{2}=\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}$$ 의 형태이나 $$\mathbf{u}_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$ 이므로 $$\mathbf{u}_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$ 이어야 한다. 그러면 다음이 성립한다. $$\begin{align*}(A-2I)\mathbf{u}_{2}&=\mathbf{u}_{1}\\(A-2I)^{2}\mathbf{u}_{2}&=(A-2I)\mathbf{u}_{1}=\mathbf{0}\end{align*}$$ 또한 일반 고유벡터들의 사슬 $\{\mathbf{u}_{1},\,\mathbf{u}_{2},\,\mathbf{u}_{3}\}$은 선형독립이므로 이 벡터들로 행렬 $Q$와 그 역행렬 $Q^{-1}$을 다음과 같이 구할 수 있다. $$Q=\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix},\,Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-3\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$$ 그러면 다음과 같이 조르단 표준형을 구할 수 있다. $$Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_{1}&0\\0&J_{2}\end{pmatrix}\,\left(J_{1}=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix},\,J_{2}=(3)\right)$$

다음의 행렬에 대해 조르단 표준형을 구하자. $$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&4&-6&4\end{pmatrix}$$ 고유값을 구하면 $$\det(A-\lambda I)=\lambda^{4}-4\lambda^{3}+6\lambda^{2}-4\lambda+1=(\lambda-1)^{4}$$ 이므로 $A$의 고유값은 $\lambda=1$이고 중복도가 4이다. $$A-I=\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&4&-6&3\end{pmatrix}$$ 이고 $\text{rank}(A-I)=3$이므로 $E(1)=1$이다. 고유벡터를 구하면 $$\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$$ 이므로 계수가 4인 일반 고유벡터를 찾아야 한다. 직접 계산해보면 $(A-I)^{4}=\mathbf{O}$(영행렬)이므로 식 $(A-I)^{4}\mathbf{x}=\mathbf{0}$을 만족하고 계수가 4인 일반 고유벡터 $\mathbf{x}$를 임의로 다음과 같이 설정할 수 있다. $$\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$ 그러면 $$\begin{align*}\mathbf{x}_{3}&=(A-I)\mathbf{x}_{4}=\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&4&-6&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\\ \mathbf{x}_{2}&=(A-I)\mathbf{x}_{3}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\2\end{pmatrix},\,\mathbf{x}_{1}=(A-I)\mathbf{x}_{2}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}\end{align*}$$ 이고 일반 고유벡터들의 사슬 $\{\mathbf{x}_{1},\,\mathbf{x}_{2},\,\mathbf{x}_{3},\,\mathbf{x}_{4}\}$은 선형독립이므로 $$Q=\begin{pmatrix}1&-1&1&-1\\1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&2&1&0\end{pmatrix},\,Q^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&1&-2&1\\-1&3&-3&1\end{pmatrix}$$ 이고 $$Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}=J$$ 이 구하려는 조르단 표준형이다.

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser