[선형대수학] 21. 지수행렬의 계산

[선형대수학] 21. 지수행렬의 계산

대각화 가능한 행렬 \(A\)에 대하여 \(A=QDQ^{-1}\)라고 하면 \(e^{A}=Qe^{D}Q^{-1}\)이다. 대각화가 가능하지 않은 행렬은 조르단 표준형으로 나타낼 수 있고, 이러한 행렬의 지수행렬의 계산도 대각화 가능한 행렬과 비슷하게 규칙성이 보여 쉽게 계산할 수 있게 된다. 

\(A\)를 임의의 정방행렬, \(J\)를 \(A\)의 조르단 표준형으로 다음과 같다고 하자.$$Q^{-1}AQ=J=\begin{pmatrix}J_{1}&&\\&\ddots&\\&&J_{s}\end{pmatrix}$$여기서 \(Q\)는 \(A\)의 일반 고유벡터들에 의해 만들어지고, \(J_{i}\)들은 조르단 블럭이다. 

1. 행렬 \(A\)의 거듭제곱 \(A^{k}\)를 구한다.$$A^{k}=QJ^{k}Q^{-1}=Q\begin{pmatrix}J_{1}^{k}&&\\&\ddots&\\&&J_{s}^{k}\end{pmatrix}Q^{-1}$$이므로 \(J\)를 단순 조르단 블럭(1개의 조르단 블럭)으로 보고 \(J^{k}\)를 계산한다. \(A\)의 고유값이 \(\lambda\)인 \(n\times n\) 조르단 블럭을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}J&=\begin{pmatrix}\lambda&1&&0\\0&\ddots&\ddots&\\&&\lambda&1\\0&&0&\lambda\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1&0&&0\\0&\ddots&\ddots&\\\vdots&&1&0\\0&\cdots&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&0\\\vdots&&0&1\\0&\cdots&0&0\end{pmatrix}\\&=\lambda I+N\end{align*}$$\(I\)는 항등행렬이므로 \((\lambda I)N=N(\lambda I)\)이고 다음이 성립한다.$$J^{k}=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\0&\lambda&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\vdots&&\ddots&\lambda&1\\0&\cdots&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}=(\lambda I+N)^{k}=\sum_{j=0}^{k}{\binom{k}{j}\lambda^{k-j}N^{j}}$$\(k\geq n\)에 대하여 \(N^{k}=\mathbf{O}\)이므로 \(k<l\)일 때 \(\displaystyle\binom{k}{l}=0\)이라고 하면 \(J^{k}\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}J^{k}=\sum_{j=0}^{n-1}{\binom{k}{j}\lambda^{k-j}N^{j}}\\&=\lambda^{k}I+\binom{k}{1}\lambda^{k-1}N+\cdots+\binom{k}{n-1}\lambda^{k-(n-1)}N^{n-1}\\&=\begin{pmatrix}\lambda^{k}&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}&\binom{k}{2}\lambda^{k-2}&\cdots&\binom{k}{n-1}\lambda^{k-n+1}\\0&\lambda^{k}&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}&\cdots&\binom{k}{n-2}\lambda^{k-n+2}\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ \vdots&&&\lambda^{k}&\binom{k}{1}\lambda^{k-1}\\0&\cdots&\cdots&0&\lambda^{k}\end{pmatrix}\end{align*}$$2. \(A\)의 지수행렬 \(e^{A}\)를 구한다.$$\begin{align*}e^{A}&=e^{QJQ^{-1}}=Qe^{J}Q^{-1}\\&=Q\begin{pmatrix}e^{J_{1}}&&&\\&e^{J_{2}}&&0\\0&&\ddots&\\&&&e^{J_{s}}\end{pmatrix}Q^{-1}\end{align*}$$여기서 \(J_{i}\)들은 조르단 블럭이다. 따라서 \(J\)가 \(J=\lambda I+N\)인 단순 조르단 블럭일 때 \(e^{J}\)를 구하면 된다. \(k\geq n\)에 대하여 \(N^{k}=\mathbf{O}\)이므로 \(e^{J}\)는 다음과 같다.$$e^{J}=e^{\lambda I}e^{N}=e^{\lambda}\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{N^{k}}{k!}}=e^{\lambda}\begin{pmatrix}1&1&\frac{1}{2!}&\cdots&\frac{1}{(n-1)!}\\0&1&1&\ddots&\frac{1}{(n-2)!}\\&&1&\ddots&\\&&&\ddots&\\0&&&&1\end{pmatrix}$$

다음과 같이 정의된 행렬 \(A\)에 대하여 \(e^{A}\)를 구하자.$$A=\begin{pmatrix}4&-3&-1\\1&0&-1\\-1&2&3\end{pmatrix}$$먼저 이 행렬의 고유값을 구하면$$\det(A-\lambda I)=-(\lambda-2)^{2}(\lambda-3)$$이므로 \(\lambda=2\)는 중복도가 2인 고유값, \(\lambda=3\)은 중복도가 1인 고유값이다.$$A-2I=\begin{pmatrix}2&-3&-1\\1&-2&-1\\-1&2&1\end{pmatrix},\,A-3I=\begin{pmatrix}1&-3&-1\\1&-3&-1\\-1&2&0\end{pmatrix}$$이므로 \(E(2)=1\)이고 고유값 2와 3에 대한 고유벡터를 \(\mathbf{x}_{1}\), \(\mathbf{x}_{3}\)이라고 하면, 다음과 같다.$$\mathbf{x}_{3}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$$고유값 2에 대한 일반 고유벡터가 필요하다. 2에 대한 일반 고유벡터를 \(\mathbf{x}_{2}\)라고 하면$$(A-2I)^{2}=\begin{pmatrix}2&-2&0\\1&-1&0\\-1&1&0\end{pmatrix}$$이므로$$\mathbf{x}_{2}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$이고$$\mathbf{x}_{1}=(A-2I)\mathbf{x}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$이다. 그러므로$$Q=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&1\\-1&0&-1\end{pmatrix},\,Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}$$이고 따라서 다음이 성립한다. $$J=Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}J_{1}&0\\0&J_{2}\end{pmatrix}\,\left(J_{1}=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix},\,J_{2}=(3)\right)$$\(e^{J_{1}}\)을 구하자.$$J_{1}=2I+N\,\left(N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)$$라고 하면 \(k\geq2\)에 대하여 \(N^{k}=\mathbf{O}\)이므로$$e^{N}=I+N+\frac{N^{2}}{2!}+\frac{N^{3}}{3!}+\cdots+=I+N=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$이고$$e^{J_{1}}=e^{2I}e^{N}=e^{2}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{2}&e^{2}\\0&e^{2}\end{pmatrix}$$이다. 따라서 \(e^{J}\)는 다음과 같고$$e^{J}=\begin{pmatrix}e^{2}&e^{2}&0\\0&e^{2}&0\\0&0&e^{3}\end{pmatrix}$$\(e^{A}\)는 다음과 같다.(계산은 여러분의 몫)$$\begin{align*}e^{A}&=e^{QJQ^{-1}}=Qe^{J}Q^{-1}\\&=\begin{pmatrix}-1&1&2\\-1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{2}&e^{2}&0\\0&e^{2}&0\\0&0&e^{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}\end{align*}$$

참고자료:

Linear Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser