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대수학/선형대수학2020. 3. 1. 08:00
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[선형대수학] 22. 케일리-해밀턴 정리



f(x)=amxm+am1xm1++a1x+a0를 다항식, An×n행렬이라고 하자. 다음과 같이 정의된 행렬을 A의 행렬다항식(matrix polynomial)이라고 한다.f(A)=amAm+am1Am1++a1A+a0In예를들어 다항식 f(x)2×2행렬 A가 다음과 같다고 하자.f(x)=x22x+2,A=(1221)그러면 f(A)는 다음과 같다.f(A)=A22A+2I2=(5445)2(1221)+2(1001)=(5005)케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton Theorem)

임의의 n×n행렬 A에 대하여 f(λ)=det(λIA)A의 특성다항식이면, f(A)=O이다. 

증명:   

(1) A가 다음과 같은 대각행렬이라고 하자.D=(λ100λn) 

모든 k0에 대하여 다음 식이 성립한다Dk=(λk100λkn)그러면 다음의 결과를 얻는다.f(D)=(f(λ1)00f(λn))=O 

(2) A가 대각화 가능하다고 하자. 즉 Q1AQ=D.

AD의 특성다항식은 동일하므로 다음의 결과를 얻는다.f(A)=f(QDQ1)=(QDQ1)n+an1(QDQ1)n1++a1(QDQ1)+a0I=Q(Dn+an1Dn1++a1D+a0I)Q1=Qf(D)Q1=O  

(3) A를 임의의 행렬이라고 하자. 그러면 A는 다음과 같은 조르단 표준형 J와 닮음행렬이고,J=(J100Js)=Q1AQf(A)=Qf(J)Q1이다. 다음의 식에 의해Jk=(Jk100Jks),f(J)=(f(J1)00f(Js))단일 조르단 블럭 J=aI+N에 대해 f(J)=O가 성립함을 보이면 된다. 여기서 a는 고유값이고, Nn=O이다.f(λ)=det(λIA)=det(λIJ)=(λa)n이므로 다음의 결과를 얻는다.f(J)=f(aI+N)=(aI+NaI)n=Nn=O 

다음의 행렬A=(3660203126)의 특성다항식은 f(λ)=det(λIA)=λ3+λ26λ이므로 다음의 결과를 얻는다.f(A)=A3+A26A=(2778540802710254)+(9421804093018)6(3660203126)=(000000000)

케일리-해밀턴 정리를 이용하여 역행렬을 구할 수 있다. 다항식 f(λ)=λn+an1λn1++a1λ+a0가 행렬 A의 특성다항식이면O=f(A)=An+an1An1++a1A+a0I이므로aoI=(An1+an1An2++a0I)A이고a0=f(0)=det(0IA)=det(A)=(1)ndetA이므로 A가 역행렬을 가질 필요충분조건은 a0=(1)ndetA0이고, 따라서 A가 역행렬을 가지면 그 역행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다.A1=1a0(An1+an1An2++a1I)다음의 행렬A=(422532241)의 특성다항식은 f(λ)=det(λIA)=λ38λ2+17λ10이고 케일리-해밀턴 정리에 의해A38A2+17A=10I이므로 A의 역행렬을 다음과 같이 구할 수 있다.A1=110(A28A+17I)=110(106639718301213)810(422532241)+1710(100010001)=110(51010102142022)

케일리-해밀턴 정리를 이용하여 행렬다항식의 계산을 간단하게 할 수 있다. p(λ)를 임의의 다항식, f(λ)를 정방행렬 A의 특성다항식이라고 하자. 다항식에 대한 나눗셈 알고리즘에 의해 다항식 q(λ)r(λ)가 존재해서 다음이 성립한다.p(λ)=q(λ)f(λ)+r(λ)여기서 r(λ)의 차수는 f(λ)의 차수보다 낮다. 그러면p(A)=q(A)f(A)+r(A)이고 케일리-해밀턴 정리에 의해 f(A)=O이므로 p(A)=r(A)이다. 따라서 n×n행렬에 대한 다항식을 계산하는 문제를 n차 이하의 다항식을 계산하는 문제로 간단화할 수 있다. 


다음의 행렬A=(1221)의 특성다항식은 f(λ)=λ22λ3이다. 다항식 p(λ)=λ47λ33λ2+λ+4에 대해p(λ)=(λ25λ10)f(λ)34λ26이므로 케일리-해밀턴 정리에 의해p(A)=(A25A+10I)f(A)34A26I=34A26I=34(1221)26(1001)=(60686860) 

참고자료:

Linera Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser    

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Posted by skywalker222