[선형대수학] 22. 케일리-해밀턴 정리
f(x)=amxm+am−1xm−1+⋯+a1x+a0를 다항식, A를 n×n행렬이라고 하자. 다음과 같이 정의된 행렬을 A의 행렬다항식(matrix polynomial)이라고 한다.f(A)=amAm+am−1Am−1+⋯+a1A+a0In예를들어 다항식 f(x)와 2×2행렬 A가 다음과 같다고 하자.f(x)=x2−2x+2,A=(1221)그러면 f(A)는 다음과 같다.f(A)=A2−2A+2I2=(5445)−2(1221)+2(1001)=(5005)케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton Theorem)
임의의 n×n행렬 A에 대하여 f(λ)=det(λI−A)가 A의 특성다항식이면, f(A)=O이다.
증명:
(1) A가 다음과 같은 대각행렬이라고 하자.D=(λ10⋮⋱⋮0λn)
모든 k≥0에 대하여 다음 식이 성립한다Dk=(λk10⋮⋱⋮0λkn)그러면 다음의 결과를 얻는다.f(D)=(f(λ1)0⋮⋱⋮0f(λn))=O
(2) A가 대각화 가능하다고 하자. 즉 Q−1AQ=D.
A와 D의 특성다항식은 동일하므로 다음의 결과를 얻는다.f(A)=f(QDQ−1)=(QDQ−1)n+an−1(QDQ−1)n−1+⋯+a1(QDQ−1)+a0I=Q(Dn+an−1Dn−1+⋯+a1D+a0I)Q−1=Qf(D)Q−1=O
(3) A를 임의의 행렬이라고 하자. 그러면 A는 다음과 같은 조르단 표준형 J와 닮음행렬이고,J=(J10⋮⋱⋮0Js)=Q−1AQf(A)=Qf(J)Q−1이다. 다음의 식에 의해Jk=(Jk10⋮⋱⋮0Jks),f(J)=(f(J1)0⋮⋱⋮0f(Js))단일 조르단 블럭 J=aI+N에 대해 f(J)=O가 성립함을 보이면 된다. 여기서 a는 고유값이고, Nn=O이다.f(λ)=det(λI−A)=det(λI−J)=(λ−a)n이므로 다음의 결과를 얻는다.f(J)=f(aI+N)=(aI+N−aI)n=Nn=O
다음의 행렬A=(366020−3−12−6)의 특성다항식은 f(λ)=det(λI−A)=λ3+λ2−6λ이므로 다음의 결과를 얻는다.f(A)=A3+A2−6A=(277854080−27−102−54)+(−9−42−1804093018)−6(366020−3−12−6)=(000000000)
케일리-해밀턴 정리를 이용하여 역행렬을 구할 수 있다. 다항식 f(λ)=λn+an−1λn−1+⋯+a1λ+a0가 행렬 A의 특성다항식이면O=f(A)=An+an−1An−1+⋯+a1A+a0I이므로−aoI=(An−1+an−1An−2+⋯+a0I)A이고a0=f(0)=det(0I−A)=det(−A)=(−1)ndetA이므로 A가 역행렬을 가질 필요충분조건은 a0=(−1)ndetA≠0이고, 따라서 A가 역행렬을 가지면 그 역행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다.A−1=−1a0(An−1+an−1An−2+⋯+a1I)다음의 행렬A=(42−2−532−241)의 특성다항식은 f(λ)=det(λI−A)=λ3−8λ2+17λ−10이고 케일리-해밀턴 정리에 의해A3−8A2+17A=10I이므로 A의 역행렬을 다음과 같이 구할 수 있다.A−1=110(A2−8A+17I)=110(106−6−39718−301213)−810(42−2−532−241)+1710(100010001)=110(−5−1010102−14−2022)
케일리-해밀턴 정리를 이용하여 행렬다항식의 계산을 간단하게 할 수 있다. p(λ)를 임의의 다항식, f(λ)를 정방행렬 A의 특성다항식이라고 하자. 다항식에 대한 나눗셈 알고리즘에 의해 다항식 q(λ)와 r(λ)가 존재해서 다음이 성립한다.p(λ)=q(λ)f(λ)+r(λ)여기서 r(λ)의 차수는 f(λ)의 차수보다 낮다. 그러면p(A)=q(A)f(A)+r(A)이고 케일리-해밀턴 정리에 의해 f(A)=O이므로 p(A)=r(A)이다. 따라서 n×n행렬에 대한 다항식을 계산하는 문제를 n차 이하의 다항식을 계산하는 문제로 간단화할 수 있다.
다음의 행렬A=(1221)의 특성다항식은 f(λ)=λ2−2λ−3이다. 다항식 p(λ)=λ4−7λ3−3λ2+λ+4에 대해p(λ)=(λ2−5λ−10)f(λ)−34λ−26이므로 케일리-해밀턴 정리에 의해p(A)=(A2−5A+10I)f(A)−34A−26I=−34A−26I=−34(1221)−26(1001)=(−60−68−68−60)
참고자료:
Linera Algebra, jinho Kwak, sungpyo Hong, Birkhauser
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