8. R-C, R-L회로의 시상수

8. R-C, R-L회로의 시상수

1. 실험목적

(1) RC회로 및 RL회로에 대한 고유응답 특성과 강제응답 특성을 이해한다.

(2) 시상수를 구한다.

2. 실험이론

위 그림의 RC회로에 KVL(키르히호프 전압법칙)을 적용하면$$v_{s}=Ri_{c}(t)+v_{c}(t)$$이고,$$i_{c}(t)=C\frac{dv_{c}}{dt}$$이므로$$\frac{dv_{c}}{dt}+\frac{1}{RC}v_{c}=\frac{1}{RC}v_{s}$$이다.

위 그림의 \(RL\)회로에 KCL(키르히호프 전류법칙)을 적용하면$$i_{s}=\frac{1}{R}v_{R}+i_{L}$$이고,$$v_{R}=v_{L}=L\frac{di_{L}}{dt}$$이므로$$\frac{di_{L}}{dt}+\frac{R}{L}i_{L}=\frac{R}{L}i_{s}$$이다.

RC회로에서의 시상수는 \(\tau=RC\)이고, RL회로에서의 시상수는 \(\displaystyle\tau=\frac{L}{R}\)이다. 그러면 RC, RL회로에서 얻어진 미분방정식의 형태는$$\frac{dx}{dt}+\frac{1}{\tau}x=\frac{1}{\tau}x_{s}$$와 동일한 형태를 갖게 되고, 이는 RC회로의 해석이 RL회로에도 그대로 적용됨을 뜻한다.

1) RC회로의 응답

(1) 고유응답

직류전압이 인가된 상태에서 일정시간 경과(정상상태)한 후, 직류전압을 제거(위 그림 회로)한 경우에 대해 회로를 해석한다. 커패시터의 초기전압을 \(V_{0}\)라고 하면, \(v_{s}=0\)이므로$$C\frac{dv_{C}}{dt}=-\frac{1}{R}v_{c}$$이고$$\frac{dv_{c}}{dt}=-\frac{1}{RC}v_{c}$$이므로$$\frac{1}{v_{c}}dv_{c}=-\frac{1}{RC}dt$$이고 이 식의 양변을 적분하면$$\int{\frac{1}{v_{c}}dv_{c}}=-\frac{1}{RC}\int{dt}$$이고$$\ln v_{c}=-\frac{1}{RC}t+A$$(\(A\)는 적분상수)가 되는데, 초기에 커패시터의 전압이 \(V_{0}\)이므로$$v_{c}=V_{0}e^{-\frac{t}{RC}}$$이고, 이 식을 고유응답이라 하며, 그 특성곡선은 다음과 같다.

고유응답 특성곡선에서 출력의 크기가 최댓값의 \(\displaystyle\frac{1}{e}\)배가 되는 지점까지 걸리는 시간을 시상수라 하며 \(\tau\)로 나타내고, RC회로에서의 시상수는 \(\tau=RC\)이다.

(2) 강제응답

강제응답은 커패시터의 초기전압이 \(0\)이며, \(t=0\)에서 직류전압 \(E\)를 인가한 상태에서 상당한 시간이 경과한 후의 응답특성을 의미하며, 이를 정상상태 응답이라고 한다. 따라서 직류전압원이 인가된 후, 상당시간이 경과하면 결국 커패시터는 개방회로가 되고, 인가한 직류전압이 그대로 커패시터에 충전된다.$$v_{f}=E$$이고, RC회로의 완전응답은$$v=v_{c}+v_{f}=E+V_{0}e^{-\frac{t}{RC}}$$이다.

2) RL회로의 응답

(1) 고유응답

직류전류원을 인가하여 일정한 시간이 경과(정상상태)한 후, 직류전원을 제거(위 그림 회로)한 경우에 대하여 회로를 해석한다. 즉 \(t=0\)일 때 직류전류원을 제거(개방)하고 인덕터의 초기전류를 \(I_{0}\)라고 하면, \(i_{s}=0\)이므로, $$R{i}_{L}+L\frac{di_{L}}{dt}=0$$이고, 이 미분방정식을 풀면$$i_{L}=I_{0}e^{-\frac{R}{L}t}$$이고, 이 식은 고유응답이며 그 특성곡선은 다음과 같다.

고유응답 특성곡선에서 출력의 크기가 최댓값의 \(\displaystyle\frac{1}{e}\)배가 되는 지점까지 걸리는 시간을 시상수 \(\tau\)라 하고, RL회로에서의 시상수는 \(\displaystyle\tau=\frac{L}{R}\)이다.

(2) 강제응답

강제응답은 인덕터의 초기전류가 \(0\)이며, \(t=0\)에서 직류전류원을 인가한 상태에서 상당한 시간이 경과한 후의 응답특성을 의미하며, 이를 정상상태 응답이라고 한다. 따라서 직류전류원을 인가한 후, 정상상태에 도달하면 결국 인덕터는 단락회로가 되고, 인덕터에 흐르는 전류는 \(\displaystyle I_{f}=\frac{E}{R}\)이 되어 RL회로의 완전응답은$$i=i_{L}+i_{f}=\frac{E}{R}+I_{0}e^{-\frac{R}{L}t}$$이다.

3. 실험

1) 사용기기 및 부품

직류전원공급기, 오실로스코프, 신호발생기, \(1\text{k}\Omega\)저항,

가변 커패시터, 가변 인덕터

2) 실험과정

(1) 신호발생기의 출력을 오실로스코프에 연결하고 CRT화면을 보면서 3V의 진폭과 1kHz의 주파수를 갖는 구형파(Duty Cycle=50%)를 발생하도록 설정하라

(2)

위 그림의 RC직렬회로(\(R=1\text{k}\Omega\), \(C=0.1\mu\text{F}\))를 구성하고, 입력 구형파와 커패시터에 나타나는 출력파형을 그리고 시상수 값도 함께 구한다.

(3) 위의 RC회로에서 커패시터 값을 \(0.001\mu\text{F},\,0.01\mu\text{F},\,0.1\mu\text{F},\,0.2\mu\text{F},\,1\mu\text{F}\)으로 변화시키면서 시정수 값을 측정하고, 커패시터 값의 변화에 따른 출력파형의 변화를 확인한다.

(4) 이 RC회로에서의 저항 \(R\) 양단의 전압파형을 그린다.

(5)

위 그림의 RL직렬회로(\(R=1\text{k}\Omega\), \(L=100\text{mH}\))를 구성하고, 입력 구형파와 인덕터에 걸린 출력파형을 그리고 시상수 값도 함께 구한다.

(6) 위의 RL회로에서 인덕터 값을 \(1\text{mH},\,10\text{mH},\,100\text{mH},\,500\text{mH},\,1000\text{mH}\)로 변화시키면서 시정수 값을 측정한다.

(7) 위 RL회로에서 R과 L의 위치가 바뀌었을 때, 저항에 걸린 출력파형을 그리고, 실험과정 (4)의 출력파형과 비교한다.

(8) 실험과정 (4)과 (7)로부터 무엇을 알 수 있는가를 확인한다. 

참고자료:

기초 전자전기실험, 김동일 외 4인, 두양사

https://electronics.honam.ac.kr/PDS/download/30/173624

http://ocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/5384.pdf

http://web.yonsei.ac.kr/hgjung/Lectures/ELE258/13%20%EA%B3%BC%EB%8F%84%ED%98%84%EC%83%81.pdf

http://www.hknu.ac.kr/web/ice/con_011?p_p_id=BBS_1_INSTANCE_d58h&p_p_lifecycle=1&p_p_state=exclusive&p_p_mode=view&p_p_col_id=column-1&p_p_col_pos=1&p_p_col_count=2&_BBS_1_INSTANCE_d58h_struts_action=%2Fext%2Fnotice%2Fgeta&_BBS_1_INSTANCE_d58h_messageId=896953&_BBS_1_INSTANCE_d58h_attachment=ch08-RL%EA%B3%BC+RC%ED%9A%8C%EB%A1%9C%EC%9D%98+%EC%99%84%EC%A0%84%EC%9D%91%EB%8B%B5.pdf