5. 중첩의 원리

5. 중첩의 원리

1. 실험목적

선형회로에서 기본적으로 성립하는 중첩의 원리를 실험으로 검증한다.

2. 실험이론

저항만을 구성된 간단한 회로는 옴의 법칙, 키르히호프 법칙으로 해석했으나, 그보다 더 복잡한 회로의 경우에는 회로를 해석하는데 더 많은 시간이 든다. 여러개의 독립된 전원이 존재하는 복잡한 선형회로망을 쉽게 해석하기 위해(해석하는데 드는 시간을 단축하기 위해) 중첩의 원리를 이용한다. 여러개의 전원을 갖는 선형수동회로에서 임의의 저항에 나타나는 전압과 흐르는 전류는 개개의 독립된 전원에 의한 전압과 전류의 대수적인 합과 같다. 이때 해당 전원을 제외한 나머지 독립전원들은 전압원이면 단락회로, 전류원이면 개방회로로 대체된다.

중첩의 원리는 능동소자가 포함된 회로에서도 적용가능하나 본 실험에서는 수동소자에 대해 실험한다. 

위의 그림의 회로에서 전류 \(I_{1},\,I_{2},\,I_{3}\)을 중첩의 원리를 이용하여 구하면 \(I_{1}=I_{1}'-I_{1}''\), \(I_{2}=-I_{2}'+I_{2}''\), \(I_{3}=I_{3}'+I_{3}''\)이고,$$\begin{align*} I_{1}'&=\frac{V_{1}}{R_{1}+\frac{R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}=\frac{(R_{2}+R_{3})V_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\I_{2}'&=\frac{R_{3}}{R_{2}+R_{3}}I_{1}'=\frac{R_{3}V_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\I_{3}'&=\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{3}}I_{1}'=\frac{R_{2}V_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\I_{2}''&=\frac{V_{2}}{R_{2}+\frac{R_{1}R_{3}}{R_{1}+R_{3}}}=\frac{(R_{1}+R_{3})V_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\I_{1}''&=\frac{R_{3}}{R_{1}+R_{3}}I_{2}''=\frac{R_{3}V_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\I_{3}''&=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{3}}I_{2}''=\frac{R_{1}V_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\end{align*}$$이므로$$\begin{align*}I_{1}&=I_{1}'-I_{1}''=\frac{(R_{2}+R_{3})V_{1}-R_{3}V_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\I_{2}&=-I_{2}'+I_{2}''=\frac{(R_{1}+R_{3})V_{2}-R_{3}V_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\\ I_{3}&=I_{3}'+I_{3}''=\frac{R_{2}V_{1}+R_{1}V_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}\end{align*}$$이다.

3. 실험

1) 사용기기 및 부품

직류전원 공급기, 디지털 멀티미터, \(100\Omega,\,330\Omega,\,470\Omega,\,1\text{k}\Omega,\,3.3\text{k}\Omega,\,4.7\text{k}\Omega\)저항

2) 실험과정

(1) 위 그림대로 회로를 구성한다. 여기서 \(V_{s1}=5\text{V},\,V_{s2}=10\text{V}\), \(R_{1}=100\Omega,\,R_{2}=330\Omega,\,R_{3}=470\Omega\)이다.

(2) 각 저항에 걸리는 전압 \(V_{1},\,V_{2},\,V_{3}\)과 흐르는 전류 \(I_{1},\,I_{2},\,I_{3}\)을 측정하여 기록한다.

(3) 전원 \(V_{s1}\)을 단락시켰을 때의 회로를 구성하고 각 저항에 걸리는 전압 \(V_{1}',\,V_{2}',\,V_{3}'\)과 흐르는 전류 \(I_{1}',\,I_{2}',\,I_{3}'\)을 측정하여 기록하는데 전류의 방향은 과정 (2)와 동일하게 잡는다.

(4) 전원 \(V_{s2}\)를 단락시켰을 때의 회로를 구성하고 각 저항에 걸리는 전압 \(V_{1}'',\,V_{2}'',\,V_{3}''\)과 흐르는 전류 \(I_{1}'',\,I_{2}'',\,I_{3}''\)을 측정하여 기록하는데 전류의 방향은 과정 (2)와 동일하게 잡는다.

(5) 과정 (2)~(4)로부터 중첩의 원리가 성립하는지 확인하고 측정값, 계산값과도 비교한다.

(6) 위의 그림대로 회로를 구성한다. 여기서 \(V_{s1}=8\text{V},\,V_{s2}=12\text{V},\,R_{1}=1\text{k}\Omega,\,R_{2}=3.3\text{k}\Omega,\,R_{3}=4.7\text{k}\Omega,\,R_{4}=1\text{k}\Omega\)이다.

(7) 과정 (2)와 같이 각 저항에 걸리는 전압 \(V_{1},\,V_{2},\,V_{3},\,V_{4}\)와 흐르는 전류 \(I_{1},\,I_{2},\,I_{3},\,I_{4}\)를 측정하여 기록한다.

(8) 과정 (3)과 같이 전원 \(V_{s1}\)을 단락시켰을 때, 각 저항에 걸리는 전압과 전류를 측정해서 기록('을 붙인다)하고, 전원 \(V_{s2}\)를 단락시켰을 때, 각 저항에 걸리는 전압과 전류를 측정하여 기록(''을 붙인다)한다.

(9) 과정 (7)과 (8)로부터 중첩의 원리가 성립하는지 확인하고, 측정값, 계산값과도 비교한다.

참고자료:

최신 기초전자전기실험, 김동일 외 4인, 두양사

https://t1.daumcdn.net/cfile/blog/1918230C4AB99E2D0A

http://61.108.100.48/%EA%B0%9C%EC%9D%B8%ED%8F%B4%EB%8D%94(%EA%B8%B0%ED%83%80%EC%9A%A9%EB%8F%84%EC%82%AC%EC%9A%A9!)/[%EC%88%98%EC%97%85]%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%A0%84%EC%9E%90%EC%8B%A4%EA%B8%B0/%EA%B8%B0%EC%B4%88%EC%A0%84%EC%9E%90%EC%8B%A4%EA%B8%B0_04.%EC%A7%81%EB%A5%98%20%ED%9A%8C%EB%A1%9C%EC%97%90%20%EA%B4%80%ED%95%9C%20%EC%8B%A4%ED%97%98.pdf