[일변수 미적분학] 19. 멱급수, 테일러급수

[일변수 미적분학] 19. 멱급수, 테일러급수

수열 $\{a_{n}\}$과 미지수 $x$에 대하여 다음과 같은 형태의 급수 $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots$$ 를 $x=c$가 중심인 멱급수(power series)라고 한다. 여기서 $a_{n}$을 멱급수의 계수라고 한다.

멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}$에 대하여 다음이 성립한다.

(1) $x=x_{0}(\neq c)$에서 주어진 멱급수가 수렴하면, $|x-c|<|x_{0}-c|$인 임의의 실수 $x$에서 절대수렴한다.

(2) $x=x_{0}$에서 발산하면, $|x-c|>|x_{0}-c|$인 모든 실수 $x$에서 발산한다.

멱급수의 수렴, 발산은 다음 세가지 경우 중 하나이다.

(i) 멱급수는 $x=c$에서만 수렴한다.

(ii) 멱급수는 모든 실수에서 절대수렴한다.

(iii) 다음 성질을 만족하는 $R\geq0$이 존재한다.

① $|x-c|<R$인 모든 $x$에서 절대수렴한다.

② $|x-c|>R$인 모든 $x$에서 발산한다.

(iii)에서의 $R$을 멱급수의 수렴반지름(radius of convergence)이라고 한다. $x=c$에서만 급수가 수렴하면, 이 급수의 수렴반지름을 $R=0$으로 정의하고, 모든 실수에서 수렴하는 경우, 수렴반지름을 $R=\infty$로 정의한다.

멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}$에서

(i) $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}$이 존재하고 $0$이 아니면, 수렴반지름은 $\displaystyle R=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}}$이다.

$\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}=0$이면, $R=\infty$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}=\infty$이면, $R=0$이다.

(ii) $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}$이 존재하고 $0$이 아니면, 수렴반지름은 $\displaystyle R=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}}$이다.

$\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=0$이면, $R=\infty$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\infty$이면, $R=0$이다.

멱급수 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}$의 수렴반지름을 $R$이라 하면, $f(x)$는 $|x-c|<R$에서 미분가능하고, $$\begin{align*}f'(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}(x-c)^{n-1}}\\ \int_{c}^{x}{f(t)dt}&=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}\int_{c}^{x}{(t-c)^{n}dt}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}(x-c)^{n+1}}\end{align*}$$ 이다. 이때 $f(x)$, $f'(x)$, $\displaystyle\int_{c}^{x}{f(t)dt}$의 수렴반지름은 같다.

테일러급수

함수 $f$에 대하여 $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}},\,x\in I$$ ($I$는 구간)을 만족하는 $c$를 포함하는 열린구간 $I$와 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}$을 찾을 수 있다면, 함수 $f$에 관한 여러가지 정보를 쉽게 알 수 있다. $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}$을 만족하면, $f$는 구간 $I$에서 모든 계의 도함수를 갖고, 또한 계수는 $\displaystyle a_{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$을 만족하므로 $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}$$ 이다.

함수 $f$가 $x=c$의 근방에서 모든 계의 도함수를 갖는다고 하자. 이때 멱급수 $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}}$$ 을 $f$의 $x=c$에 대한 테일러급수(Taylor series)라고 한다. 특히 $c=0$인 경우, $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}}$$ 을 $f$의 매클로린급수(Maclaurin series)라고 한다.

*테일러정리는 (미분에 관한) 평균값의 정리 $f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)$를 일반화한 정리이다.

테일러정리

함수 $f$와 $f$의 $n$계도함수 $f^{(n)}$이 구간 $[a,\,b]$에서 연속이면, 적당한 $x_{1}\in(a,\,b)$가 존재해서 $$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}(b-a)^{k}+\frac{f^{n}(x_{1})}{n!}(b-a)^{n}$$ 이다. 이 식을 테일러공식이라 하고, $\displaystyle r_{n-1}(x_{1})=\frac{f^{(n)}(x_{1})}{n!}(b-a)^{n}$을 테일러 급수의 나머지(remainder)라고 한다.

함수 $f$의 테일러 다항식 $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}}(x-c)^{k}$은 $f$의 테일러급수의 부분합이고, $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}$일 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r(x_{1})}=0$이다.

따라서 주어진 점 $x$에서 $f$의 테일러급수가 $f$로 수렴함을 보이려면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}(x_{1})}=0$이 됨을 보이면 된다.

다음은 함수 $\displaystyle\frac{1}{1-x},\,e^{x},\,\sin x,\,\cos x,\,\tan^{-1}x,\,\ln(1+x)$의 매클로린 급수이다. $$\begin{align*}\frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\,(|x|<1)\\e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots\\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots\\ \tan^{-1}x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots\,(-1<x\leq1)\\ \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots\,(-1<x\leq1)\end{align*}$$

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning