[일변수 미적분학] 19. 멱급수, 테일러급수

[일변수 미적분학] 19. 멱급수, 테일러급수

수열 \(\{a_{n}\}\)과 미지수 \(x\)에 대하여 다음과 같은 형태의 급수$$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots$$를 \(x=c\)가 중심인 멱급수(power series)라고 한다. 여기서 \(a_{n}\)을 멱급수의 계수라고 한다.

멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \(x=x_{0}(\neq c)\)에서 주어진 멱급수가 수렴하면, \(|x-c|<|x_{0}-c|\)인 임의의 실수 \(x\)에서 절대수렴한다.

(2) \(x=x_{0}\)에서 발산하면, \(|x-c|>|x_{0}-c|\)인 모든 실수 \(x\)에서 발산한다.

멱급수의 수렴, 발산은 다음 세가지 경우 중 하나이다.

(i) 멱급수는 \(x=c\)에서만 수렴한다.

(ii) 멱급수는 모든 실수에서 절대수렴한다.

(iii) 다음 성질을 만족하는 \(R\geq0\)이 존재한다.

① \(|x-c|<R\)인 모든 \(x\)에서 절대수렴한다.

② \(|x-c|>R\)인 모든 \(x\)에서 발산한다.

(iii)에서의 \(R\)을 멱급수의 수렴반지름(radius of convergence)이라고 한다. \(x=c\)에서만 급수가 수렴하면, 이 급수의 수렴반지름을 \(R=0\)으로 정의하고, 모든 실수에서 수렴하는 경우, 수렴반지름을 \(R=\infty\)로 정의한다.

멱급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}\)에서

(i) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}\)이 존재하고 \(0\)이 아니면, 수렴반지름은 \(\displaystyle R=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}}\)이다.

\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}=0\)이면, \(R=\infty\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|a_{n}|^{\frac{1}{n}}}=\infty\)이면, \(R=0\)이다.

(ii) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}\)이 존재하고 \(0\)이 아니면, 수렴반지름은 \(\displaystyle R=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}}\)이다.

\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=0\)이면, \(R=\infty\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\infty\)이면, \(R=0\)이다.

멱급수 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}\)의 수렴반지름을 \(R\)이라 하면, \(f(x)\)는 \(|x-c|<R\)에서 미분가능하고,$$\begin{align*}f'(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}(x-c)^{n-1}}\\ \int_{c}^{x}{f(t)dt}&=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}\int_{c}^{x}{(t-c)^{n}dt}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}(x-c)^{n+1}}\end{align*}$$이다. 이때 \(f(x)\), \(f'(x)\), \(\displaystyle\int_{c}^{x}{f(t)dt}\)의 수렴반지름은 같다.

테일러급수

함수 \(f\)에 대하여$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}},\,x\in I$$(\(I\)는 구간)을 만족하는 \(c\)를 포함하는 열린구간 \(I\)와 급수 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}\)을 찾을 수 있다면, 함수 \(f\)에 관한 여러가지 정보를 쉽게 알 수 있다. \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-c)^{n}}\)을 만족하면, \(f\)는 구간 \(I\)에서 모든 계의 도함수를 갖고, 또한 계수는 \(\displaystyle a_{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}\)을 만족하므로$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}$$이다.

함수 \(f\)가 \(x=c\)의 근방에서 모든 계의 도함수를 갖는다고 하자. 이때 멱급수$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}}$$을 \(f\)의 \(x=c\)에 대한 테일러급수(Taylor series)라고 한다. 특히 \(c=0\)인 경우,$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}}$$을 \(f\)의 매클로린급수(Maclaurin series)라고 한다.

*테일러정리는 (미분에 관한) 평균값의 정리 \(f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)\)를 일반화한 정리이다.

테일러정리

함수 \(f\)와 \(f\)의 \(n\)계도함수 \(f^{(n)}\)이 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면, 적당한 \(x_{1}\in(a,\,b)\)가 존재해서$$f(b)=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}(b-a)^{k}+\frac{f^{n}(x_{1})}{n!}(b-a)^{n}$$이다. 이 식을 테일러공식이라 하고, \(\displaystyle r_{n-1}(x_{1})=\frac{f^{(n)}(x_{1})}{n!}(b-a)^{n}\)을 테일러 급수의 나머지(remainder)라고 한다.

함수 \(f\)의 테일러 다항식 \(\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{(k)}(c)}{k!}}(x-c)^{k}\)은 \(f\)의 테일러급수의 부분합이고, \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r(x_{1})}=0\)이다.

따라서 주어진 점 \(x\)에서 \(f\)의 테일러급수가 \(f\)로 수렴함을 보이려면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{r_{n}(x_{1})}=0\)이 됨을 보이면 된다.

다음은 함수 \(\displaystyle\frac{1}{1-x},\,e^{x},\,\sin x,\,\cos x,\,\tan^{-1}x,\,\ln(1+x)\)의 매클로린 급수이다.$$\begin{align*}\frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\,(|x|<1)\\e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots\\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots\\ \tan^{-1}x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots\,(-1<x\leq1)\\ \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots\,(-1<x\leq1)\end{align*}$$

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning