[일변수 미적분학] 15. 넓이와 부피

[일변수 미적분학] 15. 넓이와 부피

넓이(Area)

두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(f(x)\geq g(x)\)라 하자.

두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 그래프와 두 직선 \(x=a\), \(x=b\)로 둘러싸인 도형 \(S\)의 넓이는 \(\{f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*})\}\Delta x\)의 합으로 이루어진 합의 극한이므로, \(S\)의 넓이를 \(A\)라고 하면$$A=\int_{a}^{b}{\{f(x)-g(x)\}dx}$$이다.

일반적으로 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\), 두 직선 \(x=a\), \(x=b\)로 둘러싸인 도형 \(S\)의 넓이 \(A\)는$$A=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx}$$이다.

도형 \(S\)의 경계가 \(y\)의 함수로 표현된 경우는

\(\displaystyle\int_{c}^{d}{\{f(y)-g(y)\}dy}\)로 구할 수 있고, 일반적으로 두 곡선 \(x=f(y),\,x=g(y)\)와 두 직선 \(y=c,\,y=d\)로 둘러싸인 영역의 넓이는$$A=\int_{c}^{d}{|f(y)-g(y)|dy}$$이다.

매개변수 \(x=x(t),\,y=y(t)\,(\alpha\leq t\leq\beta),\,(a=x(\alpha),\,b=x(\beta))\)로 둘러싸인 도형의 넓이는$$A=\int_{a}^{b}{ydx}=\int_{\alpha}^{\beta}{g(t)f'(t)dt}$$이다.

 

극좌표로 표현되는 \(\theta\)의 함수 \(r=f(\theta)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속일 때, \(r=f(\theta)\)와 두 직선 \(\theta=a\), \(\theta=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이 \(A\)를 구하자.

구간 \([\alpha,\,\beta]\)를 \(a=\theta_{0}<\theta_{1}<\cdots<\theta_{n}=b\)로 분할하고, \(A_{i}\)를 \(r=f(\theta)\)와 \(\theta=\theta_{i-1}\), \(\theta=\theta_{i}\)로 둘러싸인 부분의 넓이라고 하자. \(\theta=\theta_{i-1}\)과 \(\theta=\theta_{i}\), \(r=f(\theta)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(\Delta A_{i}\)라고 하면$$\Delta A_{i}\approx\frac{1}{2}\{f(\theta_{i}^{*})\Delta\theta\}\,(\Delta\theta=\theta_{i}-\theta_{i-1})$$이고,$$A\approx\sum_{i=1}^{n}{\Delta A_{i}}\approx\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}\{f(\theta_{i}^{*})\}\Delta\theta}$$이므로 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때,$$A=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}\{f(\theta_{i}^{*})\}\Delta\theta}}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{2}\{f(\theta)\}^{2}d\theta}$$이다.

부피(Volume)

공간에서 평면 \(x=a\)와 \(x=b\)를 두 밑면으로 하고 또 다른 경계면으로 둘러싸인 입체의 부피 \(V\)를 구하기 위해 입체의 \(x\)축에 수직인 단면의 넓이 \(A(x)\)가 원점에서 그 단면까지의 거리 \(x\)에 관한 연속함수라고 하자.

입체를 \(x\)축에 수직인 평면으로 두께가 \(\Delta x\)인 \(n\)개의 얇은 평판으로 나눈다.

그러면 입체의 부피 \(V\)는 그 \(n\)개의 평판의 부피의 합이다.

\(x_{i}\)와 \(x_{i}=x_{i-1}+\Delta x\,(\Delta x=x_{i}-x_{i-1})\)사이에 있는 평판의 부피를 \(\Delta V_{k}\)라 하면,$$\Delta V_{k}\approx A(x_{k}^{*})\Delta x$$이므로$$V\approx\sum_{i=1}^{n}{\Delta V_{i}}\approx\sum_{i=1}^{n}{A(x_{i}^{*})\Delta x}$$이고, \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때,$$V=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{A(x_{i})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{A(x)dx}$$이다.

함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속일 때, \(f\)의 그래프와 두 직선 \(x=a\), \(x=b\)및 \(x\)축으로 둘러싸인 도형을 \(x\)축을 중심으로 회전하여 생기는 회전체의 부피 \(V\)는 다음과 같다.$$V=\pi\int_{a}^{b}{\{f(x)\}^{2}dx}$$같은 방법으로 곡선 \(x=g(y)\)의 그래프와 두 직선 \(y=c\), \(y=d\)및 \(y\)축으로 둘러싸인 도형을 \(y\)축을 중심으로 회전하여 생기는 회전체의 부피 \(V\)는 다음과 같다.$$V=\pi\int_{c}^{d}{\{g(y)\}^{2}dy}$$

탄피방법(Cylindrical method)

아래 그림과 같이 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(f(x)\geq0\)인 함수 \(y=f(x)\)와 \(x=a\), \(x=b\), 그리고 \(x\)축에 의해 둘러싸인 부분의 도형을 \(y\)축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피를 구하자.

구간 \([a,\,b]\)의 분할을 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b\)라 하고 \(\displaystyle\overline{x}_{i}=\frac{x_{i-1}+x_{i}}{2}\)로 택하면, 밑면의 반지름이 \(x_{i}\)이고 높이가 \(f(\overline{x}_{i})\)인 원기둥에서 밑면의 반지름이 \(x_{i-1}\)이고 높이가 \(f(\overline{x}_{i})\)인 원기둥을 제거하여 만든 탄피의 부피는$$\pi x_{i}^{2}f(\overline{x}_{i})-\pi x_{i-1}^{2}f(\overline{x}_{i})=\pi f(\overline{x}_{i})(x_{i}+x_{i-1})(x_{i}-x_{i-1})=2\pi f(\overline{x}_{i})\left(\frac{x_{i}+x_{i-1}}{2}\right)(x_{i}-x_{i-1})=2\pi f(\overline{x}_{i})\overline{x}_{i}\Delta x$$이다. 그러면 탄피들의 부피의 합 \(V\)는$$V\approx\sum_{i=1}^{n}{2\pi \overline{x}_{i}f(\overline{x}_{i})\Delta x}$$이고$$V=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{2\pi\overline{x}_{i}f(\overline{x}_{i})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{2\pi xf(x)dx}$$이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning