[일변수 미적분학] 15. 넓이와 부피

[일변수 미적분학] 15. 넓이와 부피

넓이(Area)

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속이고 $f(x)\geq g(x)$라 하자.

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 그래프와 두 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 도형 $S$의 넓이는 $\{f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*})\}\Delta x$의 합으로 이루어진 합의 극한이므로, $S$의 넓이를 $A$라고 하면 $$A=\int_{a}^{b}{\{f(x)-g(x)\}dx}$$ 이다.

일반적으로 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$, 두 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 도형 $S$의 넓이 $A$는 $$A=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx}$$ 이다.

도형 $S$의 경계가 $y$의 함수로 표현된 경우는

$\displaystyle\int_{c}^{d}{\{f(y)-g(y)\}dy}$로 구할 수 있고, 일반적으로 두 곡선 $x=f(y),\,x=g(y)$와 두 직선 $y=c,\,y=d$로 둘러싸인 영역의 넓이는 $$A=\int_{c}^{d}{|f(y)-g(y)|dy}$$ 이다.

매개변수 $x=x(t),\,y=y(t)\,(\alpha\leq t\leq\beta),\,(a=x(\alpha),\,b=x(\beta))$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $$A=\int_{a}^{b}{ydx}=\int_{\alpha}^{\beta}{g(t)f'(t)dt}$$ 이다.

 

극좌표로 표현되는 $\theta$의 함수 $r=f(\theta)$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속일 때, $r=f(\theta)$와 두 직선 $\theta=a$, $\theta=b$로 둘러싸인 부분의 넓이 $A$를 구하자.

구간 $[\alpha,\,\beta]$를 $a=\theta_{0}<\theta_{1}<\cdots<\theta_{n}=b$로 분할하고, $A_{i}$를 $r=f(\theta)$와 $\theta=\theta_{i-1}$, $\theta=\theta_{i}$로 둘러싸인 부분의 넓이라고 하자. $\theta=\theta_{i-1}$과 $\theta=\theta_{i}$, $r=f(\theta)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\Delta A_{i}$라고 하면 $$\Delta A_{i}\approx\frac{1}{2}\{f(\theta_{i}^{*})\Delta\theta\}\,(\Delta\theta=\theta_{i}-\theta_{i-1})$$ 이고, $$A\approx\sum_{i=1}^{n}{\Delta A_{i}}\approx\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}\{f(\theta_{i}^{*})\}\Delta\theta}$$ 이므로 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때, $$A=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}\{f(\theta_{i}^{*})\}\Delta\theta}}=\int_{a}^{b}{\frac{1}{2}\{f(\theta)\}^{2}d\theta}$$ 이다.

부피(Volume)

공간에서 평면 $x=a$와 $x=b$를 두 밑면으로 하고 또 다른 경계면으로 둘러싸인 입체의 부피 $V$를 구하기 위해 입체의 $x$축에 수직인 단면의 넓이 $A(x)$가 원점에서 그 단면까지의 거리 $x$에 관한 연속함수라고 하자.

입체를 $x$축에 수직인 평면으로 두께가 $\Delta x$인 $n$개의 얇은 평판으로 나눈다.

그러면 입체의 부피 $V$는 그 $n$개의 평판의 부피의 합이다.

$x_{i}$와 $x_{i}=x_{i-1}+\Delta x\,(\Delta x=x_{i}-x_{i-1})$사이에 있는 평판의 부피를 $\Delta V_{k}$라 하면, $$\Delta V_{k}\approx A(x_{k}^{*})\Delta x$$ 이므로 $$V\approx\sum_{i=1}^{n}{\Delta V_{i}}\approx\sum_{i=1}^{n}{A(x_{i}^{*})\Delta x}$$ 이고, $n\,\rightarrow\,\infty$일 때, $$V=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{A(x_{i})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{A(x)dx}$$ 이다.

함수 $f$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속일 때, $f$의 그래프와 두 직선 $x=a$, $x=b$및 $x$축으로 둘러싸인 도형을 $x$축을 중심으로 회전하여 생기는 회전체의 부피 $V$는 다음과 같다. $$V=\pi\int_{a}^{b}{\{f(x)\}^{2}dx}$$ 같은 방법으로 곡선 $x=g(y)$의 그래프와 두 직선 $y=c$, $y=d$및 $y$축으로 둘러싸인 도형을 $y$축을 중심으로 회전하여 생기는 회전체의 부피 $V$는 다음과 같다. $$V=\pi\int_{c}^{d}{\{g(y)\}^{2}dy}$$

탄피방법(Cylindrical method)

아래 그림과 같이 구간 $[a,\,b]$에서 연속이고 $f(x)\geq0$인 함수 $y=f(x)$와 $x=a$, $x=b$, 그리고 $x$축에 의해 둘러싸인 부분의 도형을 $y$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피를 구하자.

구간 $[a,\,b]$의 분할을 $a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b$라 하고 $\displaystyle\overline{x}_{i}=\frac{x_{i-1}+x_{i}}{2}$로 택하면, 밑면의 반지름이 $x_{i}$이고 높이가 $f(\overline{x}_{i})$인 원기둥에서 밑면의 반지름이 $x_{i-1}$이고 높이가 $f(\overline{x}_{i})$인 원기둥을 제거하여 만든 탄피의 부피는 $$\pi x_{i}^{2}f(\overline{x}_{i})-\pi x_{i-1}^{2}f(\overline{x}_{i})=\pi f(\overline{x}_{i})(x_{i}+x_{i-1})(x_{i}-x_{i-1})=2\pi f(\overline{x}_{i})\left(\frac{x_{i}+x_{i-1}}{2}\right)(x_{i}-x_{i-1})=2\pi f(\overline{x}_{i})\overline{x}_{i}\Delta x$$ 이다. 그러면 탄피들의 부피의 합 $V$는 $$V\approx\sum_{i=1}^{n}{2\pi \overline{x}_{i}f(\overline{x}_{i})\Delta x}$$ 이고 $$V=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{2\pi\overline{x}_{i}f(\overline{x}_{i})\Delta x}}=\int_{a}^{b}{2\pi xf(x)dx}$$ 이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning