[일변수 미적분학] 14. 치환적분, 부분적분, 이상적분

14. 치환적분, 부분적분, 이상적분

-정적분에서의 치환적분(substitution rule for definite integrals)

함수 $f(x)$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속이고 치역이 $u=g(t)$, $g'$가 $[\alpha,\,\beta]$에서 연속이고 $a=g(\alpha),\,b=g(\beta)$이면, 다음 식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$ 증명: $F(x)$를 $f$의 한 부정적분이라고 하자. 그러면 $$\{F(g(t))\}'=f(g(t))g'(t)$$ 이므로 미적분학의 기본정리에 의해 $$\begin{align*}\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}&=\int_{\alpha}^{\beta}{\{F(g(t))\}'dt}\\&=\left\{F(g(\beta))-F(g(\alpha))\right\}\\&=F(b)-F(a)\\&=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\end{align*}$$

이 결과를 이용하여 다음 명제가 성립함을 보일 수 있다.

함수 $f$가 구간 $[-a,\,a]$에서 연속이라고 하자.

(1) $f$가 우함수(even function)($f(-x)=f(x)$)이면, $\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=2\int_{0}^{a}{f(x)dx}$.

(2) $f$가 기함수(odd function)($f(-x)=-f(x)$)이면, $\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=0$.

증명: $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{-a}^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}$$ 이고 $\displaystyle\int_{-a}^{0}{f(x)dx}$에서 $x=-u$라고 하면, $dx=-du$이고, $x=-a$일 때, $u=a$, $x=0$일 때, $u=0$이므로 $$\int_{-a}^{0}{f(x)dx}=-\int_{a}^{0}{f(-u)du}=\int_{0}^{a}{f(-u)du}$$ 이고 $$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(-x)dx}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}$$ 이다.

(1) $f$가 우함수이면, $f(-x)=f(x)$이므로 $\displaystyle\int_{0}^{a}{f(-x)dx}=\int_{0}^{a}{f(x)dx}$이고 따라서 $\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=2\int_{0}^{a}{f(x)dx}$이다.

(2) $f$가 기함수이면, $f(-x)=-f(x)$이므로 $\displaystyle\int_{0}^{a}{f(-x)dx}=-\int_{0}^{a}{f(x)dx}$이고 따라서 $\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=0$이다.

-정적분에서의 부분적분(integration by parts for definite integrals)

$f',\,g'$이 구간 $[a,\,b]$에서 연속이라고 하자. 그러면 다음 식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}$$ 증명: 곱의 미분법으로부터 $$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$$ 이므로 여기에 미적분학의 기본정리를 적용하여 결과를 얻는다.

-이상적분(improper integral)

정적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$에서 $a$ 또는 $b$가 유한이 아니거나(양의 무한대 또는 음의 무한대), 피적분함수 $f$가 구간 $[a,\,b]$에 속한 유한개의 점에서 발산할 때, 이 정적분을 이상적분이라 하고 다음과 같이 정의한다.

(1) 적분 구간이 무한대인 경우

$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}&=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}\\ \int_{a}^{\infty}{f(x)dx}&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\lim_{a\,\rightarrow\,-\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}\right\}}\end{align*}$$ 위와 같이 정의하고, 극한값이 존재할 때 그 이상적분이 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산한다고 한다.

(2) 피적분함수가 적분구간에서 발산하는 경우

(i) 피적분함수가 적분의 상한 또는 하한에서 발산하는 경우는 다음과 같이 계산한다:

적분의 하한에서 발산하는 경우: $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}$로 계산한다.

적분의 상한에서 발산하는 경우: $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{\int_{a}^{t}{f(x)dx}}$로 계산한다.

(ii) 피적분함수가 구간 $(a,\,b)$의 한 점 $x=c$에서 발산하는 경우는 다음의 식

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}$$ 을 이용한 다음, 얻어진 두 적분을 (i)과 같이 계산한다.

극한값이 존재하면 수렴하고, 그렇지 않으면 발산한다고 한다. 

이상적분 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{2}{1+x^{2}}dx}$의 값을 구하자.

$$\begin{align*}\int_{0}^{\infty}{\frac{2}{1+x^{2}}dx}&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{b}{\frac{2}{1+x^{2}}dx}}\\&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{2\left[\tan^{-1}x\right]_{0}^{b}}\\&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{2\tan^{-1}b}\\&=\pi\end{align*}$$ 이므로 수렴하고, 그 값은 $\pi$이다.

이상적분 $\displaystyle\int_{0}^{2}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}$의 값을 구하자.

$$\begin{align*}\int_{0}^{2}{\frac{2}{(x-1)^{2}}dx}&=\int_{0}^{1}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}+\int_{1}^{2}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}\\&=\lim_{b\,\rightarrow\,1-}{\int_{0}^{b}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}}+\lim_{a\,\rightarrow\,1+}{\int_{a}^{2}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}}\\&=\lim_{b\,\rightarrow\,1-}{\left[\frac{1}{1-x}\right]_{0}^{b}}+\lim_{a\,\rightarrow\,1+}{\left[\frac{1}{1-x}\right]_{a}^{1}}\\&=\infty\end{align*}$$ 이므로 발산한다.

-비교판정법(comparison test)

함수 $f,\,g$가 구간 $[a,\,\infty)$에서 연속이고, $x\in[a,\,\infty)$에 대하여 $0\leq f(x)\leq g(x)$라고 하자.

(1) $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx}$가 수렴하면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$도 수렴한다.

(2) $\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}$가 발산하면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dx}$도 발산한다.

이 정리의 증명은 생략하고, 적분하한이 음의 무한대($-\infty$)인 경우에도 성립한다.

이상적분 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{x+e^{x}}dx}$의 피적분함수의 부정적분을 구할 수 없어서 계산이 불가능하다. $x\geq0$일 때, $$e^{x}\leq x+e^{x}$$ 이므로 $$0\leq\frac{1}{x+e^{x}}\leq\frac{1}{e^{x}}=e^{-x}$$ 이고, $$\int_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}=\left[e^{-x}\right]_{0}^{\infty}=1$$ 이므로, 비교판정법에 의해 이상적분 $\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{x+e^{x}}dx}$는 수렴한다. 

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning