[일변수 미적분학] 14. 치환적분, 부분적분, 이상적분

14. 치환적분, 부분적분, 이상적분

-정적분에서의 치환적분(substitution rule for definite integrals)

함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 치역이 \(u=g(t)\), \(g'\)가 \([\alpha,\,\beta]\)에서 연속이고 \(a=g(\alpha),\,b=g(\beta)\)이면, 다음 식이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$증명: \(F(x)\)를 \(f\)의 한 부정적분이라고 하자. 그러면$$\{F(g(t))\}'=f(g(t))g'(t)$$이므로 미적분학의 기본정리에 의해$$\begin{align*}\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}&=\int_{\alpha}^{\beta}{\{F(g(t))\}'dt}\\&=\left\{F(g(\beta))-F(g(\alpha))\right\}\\&=F(b)-F(a)\\&=\int_{a}^{b}{f(x)dx}\end{align*}$$

이 결과를 이용하여 다음 명제가 성립함을 보일 수 있다.

함수 \(f\)가 구간 \([-a,\,a]\)에서 연속이라고 하자.

(1) \(f\)가 우함수(even function)(\(f(-x)=f(x)\))이면, \(\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=2\int_{0}^{a}{f(x)dx}\).

(2) \(f\)가 기함수(odd function)(\(f(-x)=-f(x)\))이면, \(\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=0\).

증명:$$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{-a}^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}$$이고 \(\displaystyle\int_{-a}^{0}{f(x)dx}\)에서 \(x=-u\)라고 하면, \(dx=-du\)이고, \(x=-a\)일 때, \(u=a\), \(x=0\)일 때, \(u=0\)이므로$$\int_{-a}^{0}{f(x)dx}=-\int_{a}^{0}{f(-u)du}=\int_{0}^{a}{f(-u)du}$$이고$$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int_{0}^{a}{f(-x)dx}+\int_{0}^{a}{f(x)dx}$$이다.

(1) \(f\)가 우함수이면, \(f(-x)=f(x)\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{a}{f(-x)dx}=\int_{0}^{a}{f(x)dx}\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=2\int_{0}^{a}{f(x)dx}\)이다.

(2) \(f\)가 기함수이면, \(f(-x)=-f(x)\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{a}{f(-x)dx}=-\int_{0}^{a}{f(x)dx}\)이고 따라서 \(\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=0\)이다.

-정적분에서의 부분적분(integration by parts for definite integrals)

\(f',\,g'\)이 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이라고 하자. 그러면 다음 식이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}$$증명: 곱의 미분법으로부터$$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$$이므로 여기에 미적분학의 기본정리를 적용하여 결과를 얻는다.

-이상적분(improper integral)

정적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)에서 \(a\) 또는 \(b\)가 유한이 아니거나(양의 무한대 또는 음의 무한대), 피적분함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에 속한 유한개의 점에서 발산할 때, 이 정적분을 이상적분이라 하고 다음과 같이 정의한다.

(1) 적분 구간이 무한대인 경우

$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}&=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}\\ \int_{a}^{\infty}{f(x)dx}&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\lim_{a\,\rightarrow\,-\infty}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}\right\}}\end{align*}$$위와 같이 정의하고, 극한값이 존재할 때 그 이상적분이 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산한다고 한다.

(2) 피적분함수가 적분구간에서 발산하는 경우

(i) 피적분함수가 적분의 상한 또는 하한에서 발산하는 경우는 다음과 같이 계산한다:

적분의 하한에서 발산하는 경우: \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\)로 계산한다.

적분의 상한에서 발산하는 경우: \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{\int_{a}^{t}{f(x)dx}}\)로 계산한다.

(ii) 피적분함수가 구간 \((a,\,b)\)의 한 점 \(x=c\)에서 발산하는 경우는 다음의 식

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}$$을 이용한 다음, 얻어진 두 적분을 (i)과 같이 계산한다.

극한값이 존재하면 수렴하고, 그렇지 않으면 발산한다고 한다. 

이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{2}{1+x^{2}}dx}\)의 값을 구하자.

$$\begin{align*}\int_{0}^{\infty}{\frac{2}{1+x^{2}}dx}&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{\int_{0}^{b}{\frac{2}{1+x^{2}}dx}}\\&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{2\left[\tan^{-1}x\right]_{0}^{b}}\\&=\lim_{b\,\rightarrow\,\infty}{2\tan^{-1}b}\\&=\pi\end{align*}$$이므로 수렴하고, 그 값은 \(\pi\)이다.

이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{2}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}\)의 값을 구하자.

$$\begin{align*}\int_{0}^{2}{\frac{2}{(x-1)^{2}}dx}&=\int_{0}^{1}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}+\int_{1}^{2}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}\\&=\lim_{b\,\rightarrow\,1-}{\int_{0}^{b}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}}+\lim_{a\,\rightarrow\,1+}{\int_{a}^{2}{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}}\\&=\lim_{b\,\rightarrow\,1-}{\left[\frac{1}{1-x}\right]_{0}^{b}}+\lim_{a\,\rightarrow\,1+}{\left[\frac{1}{1-x}\right]_{a}^{1}}\\&=\infty\end{align*}$$이므로 발산한다.

-비교판정법(comparison test)

함수 \(f,\,g\)가 구간 \([a,\,\infty)\)에서 연속이고, \(x\in[a,\,\infty)\)에 대하여 \(0\leq f(x)\leq g(x)\)라고 하자.

(1) \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx}\)가 수렴하면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)도 수렴한다.

(2) \(\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}\)가 발산하면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)도 발산한다.

이 정리의 증명은 생략하고, 적분하한이 음의 무한대(\(-\infty\))인 경우에도 성립한다.

이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{x+e^{x}}dx}\)의 피적분함수의 부정적분을 구할 수 없어서 계산이 불가능하다. \(x\geq0\)일 때,$$e^{x}\leq x+e^{x}$$이므로$$0\leq\frac{1}{x+e^{x}}\leq\frac{1}{e^{x}}=e^{-x}$$이고,$$\int_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}=\left[e^{-x}\right]_{0}^{\infty}=1$$이므로, 비교판정법에 의해 이상적분 \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{x+e^{x}}dx}\)는 수렴한다. 

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning