[일변수 미적분학] 11. 유리함수, 삼각함수, 무리함수의 적분법

[일변수 미적분학] 11. 유리함수, 삼각함수, 무리함수의 적분법

유리함수의 적분

 

\(f(x),\,g(x)\)가 \(x\)에 대한 다항식일 때, \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\,(g(x)\neq0)\)를 유리함수(rational function)라고 한다.

유리함수의 부정적분은 다음의 과정대로 구한다.

1단계: \(f(x)\)의 차수가 \(g(x)\)의 차수보다 큰 경우, \(f(x)\)를 \(g(x)\)로 나누어서 몫 \(q(x)\), 나머지 \(r(x)\)를 얻는다고 하면$$\frac{f(x)}{g(x)}=q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}$$로 나타낼 수 있다.

2단계: \(g(x)\)를 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해한다.

3단계: \(\displaystyle\frac{r(x)}{g(x)}\)를 부분분수로 분해한다.

(또는 로그미분법을 이용하여 구할 수 있다.)

\(\displaystyle\int{\frac{x^{3}+x+2}{x(x^{2}+1)^{2}}dx}\)를 구하자.$$\frac{x^{3}+x+2}{x(x^{2}+1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}$$라 하자. 분자만 보면$$x^{3}+x+2=(A+B)x^{4}+Cx^{3}+(2A+B+D)x^{2}+(C+E)x+A$$이므로 $$A+B=0,\,C=1,\,2A+B+D=0,\,C+E=1,\,A=2$$이어야 하고 이 연립방정식을 풀면 \(A=2,\,B=-2,\,C=1,\,D=-2,\,E=0\)이다. 그러면$$\begin{align*}\int{\frac{x^{3}+x+2}{x(x^{2}+1)^{2}}dx}&=2\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{2x}{x^{2}+1}dx}+\int{\frac{1}{x^{2}+1}dx}-2\int{\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}dx}\\&=2\ln|x|-\ln(x^{2}+1)+\tan^{-1}x+\frac{1}{x^{2}+1}+C\end{align*}$$이다.

\(\displaystyle\int{\frac{x^{5}-x^{4}-3x+5}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}dx}\)를 구하자.$$\frac{x^{5}-x^{4}-3x+5}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}=x+1+\frac{-2x+4}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}$$이고 분수부분만 본다면$$\frac{-2x+4}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}=\frac{-2x+4}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}$$이다. 이 식의 분자만 보면$$-2x+4=A(x-1)(x^{2}+1)+B(x^{2}+1)+(Cx+D)(x-1)^{2}$$이고,$$\begin{align*}6&=-4A+2B-4C+4D\,(x=-1)\\4&=-A+B+D\,(x=0)\\2&=2B\,(x=1)\\0&=5A+5B+2C+D\,(x=2)\end{align*}$$이므로 이 연립방정식을 풀면 \(A=-2,\,B=1,\,C=2,\,D=1\)이고$$\begin{align*}\int{\frac{x^{5}-x^{4}-3x+5}{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-2x+1}dx}&=\int{(x+1)dx}-2\int{\frac{1}{x-1}dx}+\int{\frac{1}{(x-1)^{2}}dx}+\int{\frac{2x+1}{x^{2}+1}dx}\\&=\frac{1}{2}x^{2}+x-2\ln|x-1|+\ln(x^{2}+1)+\tan^{-1}x+C\end{align*}$$이다.

삼각함수의 적분

다음은 삼각함수 항등식이다.$$\begin{align}&(1)\,\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,\,\tan^{2}x+1=\sec^{2}x,\,1+\cot^{2}x=\csc^{2}x\\&(2)\\&\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\ &\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\ &\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\\&(3)\,\sin2x=2\sin x\cos x,\,\cos2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x,\,\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}\\&(4)\,\sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2},\,\cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}\end{align}$$이 삼각함수의 항등식들을 이용하여 삼각함수의 적분을 구한다.

\(\displaystyle\int{\sin^{m}x\cos^{n}xdx}\)의 적분법:

(1) \(m=2k+1\)(홀수)인 경우$$\begin{align*}\sin^{m}x\cos^{n}x&=(\sin^{2}x)^{k}\cos^{n}x\sin x\\&=(1-\cos^{2}x)^{k}\cos^{n}x\sin x\end{align*}$$이므로 \(t=\cos x\)라 하면 \(dt=-\sin xdx\)이므로$$\int{\sin^{m}x\cos^{n}xdx}=-\int{(1-t^{2})^{k}t^{n}dt}$$이다.

(2) \(n=2k+1\)(홀수)인 경우$$\begin{align*}\sin^{m}x\cos^{n}x&=\sin^{m}x(\cos^{2}x)^{k}\cos x\\&=(1-\sin^{2}x)^{k}\sin^{m}x\cos x\end{align*}$$이므로 \(t=\sin x\)라 하면 \(dt=\cos xdx\)이므로$$\int{\sin^{m}x\cos^{n}xdx}=\int{(1-t^{2})^{k}t^{m}dt}$$이다.

(3) \(m,\,n\)이 모두 짝수인 경우$$\sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2},\,\cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2},\,\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin2x$$를 이용하여 \(\sin^{m'}2x\cos^{m'}2x\)의 형태로 바꾸어 다시 (1)또는 (2)의 과정을 반복한다.

\(\displaystyle\int{\sec^{m}x\tan^{n}xdx}\)의 적분법:

(1) \(m=2k\)(짝수)인 경우$$\begin{align*}\sec^{m}x\tan^{n}x&=(\sec^{2}x)^{k-1}\tan^{n}x\sec^{2}x\\&=(1+\tan^{2}x)^{k}\tan^{n}x\sec^{2}x\end{align*}$$이므로 \(t=\tan x\)라 하면 \(dt=\sec^{2}xdx\)이므로$$\int{\sec^{m}x\tan^{n}xdx}=\int{(1+t^{2})^{k-1}t^{n}dt}$$이다.

(2) \(n=2k+1\)(홀수)인 경우$$\begin{align*}\sec^{m}x\tan^{n}x&=\sec^{m-1}x(\tan^{2}x)^{k}\sec x\tan x\\&=\sec^{m-1}x(\sec^{2}x-1)^{k}\sec x\tan x\end{align*}$$이므로 \(t=\sec x\)라 하면 \(dt=\sec x\tan xdx\)이므로$$\int{\sec^{m}x\tan^{n}xdx}=\int{(t^{2}-1)^{k}t^{m-1}dt}$$이다.

(3) \(n\)이 짝수인 경우$$\begin{align*}\sec^{m}x\tan^{n}x&=\sec^{m}x(\tan^{2}x)^{k}\\&=\sec^{m}x(\sec^{2}x-1)^{k}\end{align*}$$식을 이용하여 구한다.

무리함수의 적분

-삼각치환

\(\sqrt{u^{2}+a^{2}},\,\sqrt{a^{2}-u^{2}},\,\sqrt{u^{2}-a^{2}}\,(a>0)\)의 형태를 포함하고 있는 적분은 삼각함수를 이용한 치환으로 적분을 구할 수 있다.

(1) \(\sqrt{u^{2}+a^{2}}\)인 경우: \(\displaystyle u=a\tan\theta\,\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\)라 놓으면, \(\sqrt{u^{2}+a^{2}}=a\sec\theta\,(\sec\theta\geq0)\)이고, \(du=a\sec^{2}\theta d\theta\)

(2) \(\sqrt{a^{2}-u^{2}}\)인 경우: \(\displaystyle u=a\sin\theta\,\left(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right)\)라 놓으면, \(\sqrt{a^{2}-u^{2}}=a\cos\theta\,(\cos\theta\geq0)\)이고, \(du=a\cos\theta d\theta\)

(3) \(\sqrt{u^{2}-a^{2}}\)인 경우: \(\displaystyle u=a\sec\theta\,\left(-\pi\leq\theta<-\frac{\pi}{2},\,0\leq\theta<\frac{\pi}{2}\right)\)라 놓으면, \(\sqrt{u^{2}-a^{2}}=a\tan\theta\,(\tan\theta\geq0)\)이고, \(du=a\sec\theta\tan\theta d\theta\)

\(\displaystyle\int{\frac{x}{(4-x^{2})^{\frac{3}{2}}}dx}\)를 구하자. \(x=2\sin\theta\)라 하면$$\sqrt{4-x^{2}}=2\cos\theta,\,dx=2\cos\theta d\theta$$이므로$$\begin{align*}\int{\frac{x}{(4-x^{2})^{\frac{3}{2}}}dx}&=\int{\frac{2\sin\theta\cdot2\cos\theta}{(2\cos\theta)^{3}}d\theta}\\&=\frac{1}{2}\int{\sec\theta\tan\theta d\theta}\\&=\frac{1}{2}\sec\theta+C\end{align*}$$이다. \(\displaystyle\sin\theta=frac{x}{2}\)이므로$$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2},\,\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}$$이고 따라서$$\int{\frac{x}{(4-x^{2})^{\frac{3}{2}}}dx}=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}+C$$이다.

\(\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}du}\)를 구하자. \(u=a\tan\theta\)라 하면$$\sqrt{a^{2}+u^{2}}=a\sec\theta,\,du=a\sec^{2}\theta$$이므로$$\begin{align*}\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}du}&=\int{\sec\theta d\theta}=\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C\\&=\ln\left|\frac{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}{a}+\frac{u}{a}\right|\,\left(\because\,\tan\theta=\frac{u}{a},\,\sec\theta=\frac{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}{a}\right)\end{align*}$$이므로$$\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}du}=\ln|u+\sqrt{a^{2}+u^{2}}|+C$$이다.

\(\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx}\)를 구하자.$$x=\sec\theta\,\left(0\leq\theta<\frac{\pi}{2},\,\pi\leq\theta<\frac{3}{2}\pi\right)$$라 하면,$$\sqrt{x^{2}-1}=|\tan\theta|=\tan\theta,\,dx=\sec\theta\tan\theta d\theta$$이므로$$\begin{align*}\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx}&=\int{\frac{\sec\theta\tan\theta}{\tan\theta}d\theta}=\int{\sec\theta d\theta}\\&=\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C\end{align*}$$이고, \(\displaystyle\sec\theta=x,\,\tan\theta=\sqrt{x^{2}-1}\)이므로$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx}=\ln|x+\sqrt{x^{2}-1}|+C$$이다.

다른 무리함수의 적분법

(1) \(\displaystyle\int{R(x,\,\sqrt[l]{x},\,\sqrt[m]{x},\,\sqrt[n]{x})dx}\) (\(l,\,m,\,n\in\mathbb{N}\), \(R\)은 유리함수)

\(p\)를 \(l,\,m,\,n\)의 최소공배수라고 하고 \(t=\sqrt[p]{x}\)로 치환한다. 그러면$$dx=pt^{p-1},\,\sqrt[l]{x}=t^{\frac{p}{l}},\,\sqrt[m]{x}=t^{\frac{p}{m}},\,\sqrt[n]{x}=t^{\frac{p}{n}}$$이므로 모든 변수를 \(t\)로 바꾸어 \(t\)에 대한 유리함수의 적분으로 바꾼 다음, 유리함수의 적분법을 이용하여 적분한다.

(2) \(\displaystyle\int{R\left(x,\,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx}\) (\(ad-bc\neq0\), \(n\in\mathbb{N}\), \(R\)은 유리함수)  \(\displaystyle t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)로 치환하면 \(\displaystyle x=\frac{dt^{n}-b}{a-ct^{n}}\)이므로, 이를 이용해 모든 변수를 \(t\)로 변형하여 \(t\)에 관한 유리함수의 적분으로 바꾼 다음 적분한다.

(3) \(\displaystyle\int{R(x,\,\sqrt{ax^{2}+bx+c})dx}\) (\(a\neq0\), \(R\)은 유리함수)

(i) \(a>0\)일 때 \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}+\sqrt{a}x=t\)로 치환

(ii) \(a<0\)일 때 \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta-t}}\) (\(ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta),\,\alpha<\beta\))로 치환

모든 변수를 \(t\)로 변형하여 \(t\)에 관한 유리함수의 적분으로 바꾼 다음 적분한다.

\(\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x}+x^{\frac{3}{4}}}dx}\)를 구하자. \(\displaystyle t=x^{\frac{1}{4}}\)라 하면 \(x=t^{4},\,\sqrt{x}=t^{2},\,x^{\frac{3}{4}}=t^{3}\)이고 \(dx=4t^{3}dt\)이므로$$\begin{align*}\int{\frac{1}{\sqrt{x}+x^{\frac{3}{4}}}dx}&=\int{\frac{4t^{3}}{t^{2}+t^{3}}dt}=4\int{\frac{t}{t+1}dt}\\&=4\int{\left(1-\frac{1}{t+1}\right)dt}=4t-4\ln|t+1|+C\end{align*}$$이고 따라서$$\int{\frac{1}{\sqrt{x}+x^{\frac{3}{4}}}dx}=4x^{\frac{1}{4}}-4\ln|1+x^{\frac{1}{4}}|+C$$이다.

\(\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x}+1}dx}\)를 구하자. \(\sqrt{x}=t\)라 하면 \(x=t^{2}\)이고 \(dx=2tdt\)이므로$$\begin{align*}\int{\frac{1}{\sqrt{x}+1}dx}&=\int{\frac{2t}{t+1}dt}=2\int{\left(1-\frac{1}{t+1}\right)dt}\\&=2t-2\ln|1+t|+C\end{align*}$$이고 따라서$$\int{\frac{1}{\sqrt{x}+1}dx}=2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C$$이다.

기타의 적분법

만일 피적분함수가 삼각함수의 유리함수 형태이면 \(\displaystyle z=\tan\left(\frac{u}{2}\right)\)라 하면

$$\tan u=\frac{2\tan\left(\frac{u}{2}\right)}{1-\tan^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}=\frac{2z}{1-z^{2}}$$이고$$\sin u=\frac{2z}{1+z^{2}},\,\cos u=\frac{1-z^{2}}{1+z^{2}},\,du=\frac{2}{1+z^{2}}dz$$이다.

\(\displaystyle\int{\frac{1}{2+\sin x}dx}\)를 구하자. \(\displaystyle z=\tan\frac{x}{2}\)라 하면$$\begin{align*}\int{\frac{1}{2+\sin x}dx}&=\int{\frac{\frac{2}{1+z^{2}}}{2+\frac{2z}{1+z^{2}}}dz}=\int{\frac{1}{z^{2}+z+1}dz}=\int{\frac{1}{\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}dz}\\&=\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2z+1}{\sqrt{3}}\right)+C=\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{1+2\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}\right)+C\end{align*}$$이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스