[일변수 미적분학] 9. 미분, 뉴턴의 방법, 수학적모델링 및 최적화

[일변수 미적분학] 9. 미분, 뉴턴의 방법, 수학적모델링 및 최적화

미분가능한 함수 $y=f(x)$의 도함수는 $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$로 나타낼 수 있는데, 여기서 $\Delta x=h$($x$의 증분)이고, $\Delta y=f(x+h)-f(x)$($y$의 증분)이다.

여기서 $\Delta x$가 아주 작은 수이므로 $\Delta y$의 근삿값으로서 $f'(x)\Delta x$를 취할 수 있다. 즉 $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x$$ 이다.

곱 $f'(x)\Delta x$를 $f(x)$의 미분이라 부르고 $dy$ 또는 $df(x)$로 나타낸다. 즉 $dy=df(x)=f'(x)\Delta x$이고, $$f(x+\Delta x)\approx f(x)+df(x)=f(x)+f'(x)\Delta x$$ 이다.

$f(x)=x$이면 $f'(x)=1$이므로 $dx=\Delta x$를 얻는다. 이와같은 이유로 독립변수의 미분은 그 증분 $\Delta x$라 정의하고, 함수의 미분을 $dy=f'(x)dx$로 나타낸다.

어떤 점에서 함수의 값과 그 점에서의 미분을 알면 그 점 바로 근처에 있는 함수의 값을 근사적으로 계산할 수 있음을 뜻한다.

위의 방법을 이용하여 $\sqrt{99}$의 근삿값을 구하자. $9^{2}=81<99<100=10^{2}$이므로 $x=100$, $y=\sqrt{x}=\sqrt{100}=10$이라 할 수 있고, $\Delta x=99-100=-1$, $\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$이므로 $\displaystyle dy=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$이고 $\displaystyle dy=\frac{1}{2\sqrt{100}}(-1)=-0.05$이다. 따라서 $$\sqrt{99}\approx\sqrt{100}-0.05=9.95$$ 이다.(공학용 계산기를 이용하면 $\sqrt{99}=9.949874371$)

뉴턴의 방법:

먼저 중간값 정리를 이용하여 적당한 구간에서의 해의 존재성을 알아낸다. 그 구간의 경계값 중 하나를 $x_{1}$으로 선택한다. 그리고 $(x_{1},\,f(x_{1}))$에서 곡선 $y=f'(x)$의 접선 $L_{1}$을 구한다.

$L_{1}$의 $x$절편은 $x_{2}$라 하자. 이때, $x_{1}$이 해에 충분히 가까우면, $x_{2}$는 $x_{1}$보다 해에 더 근접한다는 사실을 이용하여, 이 방법을 $x_{n}-x_{n-1}$의 차가 원하는 만큼 작아질 때까지 계속 반복한다.

$x_{2}$를 구하기 위해 $L_{1}$의 방정식 $y-f(x_{1})=f'(x_{1})(x-x_{1})$을 이용하면 $\displaystyle x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}$이다.

다시 이를 $x_{2}$부터 다시 반복하면 $\displaystyle x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}$이고,

다시 이를 $x_{n}$부터 다시 반복하면 $\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$을 얻는다.

$x_{1}=2$ 주변에 위치한 방정식 $x^{3}-2x-5=0$의 해를 소수점 이하 세 번째까지 정확한 근삿값을 구하자.

먼저 $f(x)=x^{3}-2x-5$라 하면 $f(2)=2^{3}-2\cdot2-5=8-9=-1<0$, $f(3)=3^{3}-2\cdot3-5=27-11=16>0$이므로 

중간값의 정리에 의해 구간 $(2,\,3)$에서 방정식 $f(x)=0$의 해가 존재한다. $f'(x)=3x^{2}-2$이므로 뉴턴의 방법을 적용하면 $$\begin{align*}x_{2}&=x_{1}-\frac{x_{1}^{3}-2x_{1}-5}{3x_{1}^{2}-2}=2-\frac{2^{3}-2\cdot2-5}{3\cdot2^{2}-2}=2.1000\\x_{3}&=x_{2}-\frac{x_{2}^{3}-2x_{2}-5}{3x_{2}^{2}-2}=2.1-\frac{2.1^{3}-2\cdot2.1-5}{3\cdot2.1^{2}-2}\approx2.0946\\x_{4}&=x_{3}-\frac{x_{3}^{3}-2x_{3}-5}{3x_{3}^{2}-2}=2.0946-\frac{2.0946^{3}-2\cdot2.0946-5}{3\cdot2.0946^{2}-2}\approx2.0946\end{align*}$$ 이므로 $2.0946$이 해의 소수점 이하 세 번째까지 정확한 근삿값이다.

*$\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}\,\left(x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\right)$이 존재하고, 해로 다가가는 경우가 원하는 해의 근삿값을 구하는 원리이나 항상 이 극한값이 수렴한다고 할 수 없다. 수렴하지 않는 경우는 해의 근처에서 기울기가 작거나 여러개의 해가 근접해 있는 경우로 이 때는 수렴하는 근삿값이 생기지 않을 수 있다. 이를 방지하기 위해서는 처음부터 $x_{1}$을 충분히 해에 가깝게 잡는 방법이 필요하다.

수학적 모델링:

1. 모든 변수를 찾아서 정의하고 이름을 붙인다.

2. 최적화 하고자 하는 변수를 찾고 이를 다른 변수들로 나타낸다.

3. 변수 사이의 관계식을 찾는다.

4. 최적화하려는 변수를 단 하나의 변수의 함수로 나타낸다.

5. 문제의 뜻에 맞는 함수의 정의역을 구한다.

6. (미분을 해서) 주어진 함수의 최대, 최소를 주어진 정의역에서 찾는다.

공기 중에서의 빛의 속력을 $v_{1}$, 물 속에서의 빛의 속력을 $v_{2}$라 하자. 페르마의 원리에 의하면 빛은 공기 중의 점 $A$에서 물 속의 점 $B$까지의 경로 $ACB$를 따라 최소의 시간으로 이동한다. 입사각이 $\theta_{1}$, 굴절각이 $\theta_{2}$일 때, 다음의 등식이 성립한다. $$\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}$$ 이 방정식은 스넬의 법칙으로 알려져 있다.

점 $A$에서 $C$로 가는데 걸리는 시간을 $t_{1}$, 점 $C$에서 $B$로 가는데 걸리는 시간을 $t_{2}$라 하자. 그러면 점 $A$에서 $C$를 거쳐, $B$로 가는데 걸리는 시간은 $t=t_{1}+t_{2}$이고, 이때 $\displaystyle t_{1}=\frac{\overline{AC}}{v_{1}}$, $\displaystyle t_{2}=\frac{\overline{BC}}{v_{2}}$이다. 

$\overline{AA'}=h$, $\overline{A'C}=x$, $\overline{B'B}=b$, $\overline{A'B'}=a$라 하자. 그러면 $$\begin{align*}\overline{AC}&=\sqrt{x^{2}+h^{2}}\\ \overline{BC}&=\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle t=\frac{\sqrt{x^{2}+h^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}}{v_{2}}$이고, $$\begin{align*}\frac{dt}{dx}&=\frac{2x}{2v_{1}\sqrt{x^{2}+h^{2}}}-\frac{2(a-x)}{2v_{2}\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}}\\&=\frac{x}{v_{1}\sqrt{x^{2}+h^{2}}}-\frac{a-x}{v_{2}\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}}\end{align*}$$ 이다. 최소의 시간으로 이동할 때 $\displaystyle\frac{dt}{dx}=0$, 즉 $\displaystyle\frac{x}{v_{1}\sqrt{x^{2}+h^{2}}}=\frac{a-x}{v_{2}\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}}$이고 

이때 $x=\overline{A'C}$, $\sqrt{x^{2}+h^{2}}=\overline{AC}$, $a-x=\overline{B'C}$, $\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}=\overline{BC}$, $$\begin{align*}\sin\theta_{1}&=\frac{\overline{A'C}}{\overline{AC}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}}\\ \sin\theta_{2}&=\frac{\overline{B'C}}{\overline{BC}}=\frac{a-x}{\sqrt{(a-x)^{2}+b^{2}}}\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle\frac{\sin\theta_{1}}{v_{1}}=\frac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}$이고 따라서 스넬의 법칙 $\displaystyle\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}$가 성립한다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning