[일변수 미적분학] 10. 부정적분과 기본공식

[일변수 미적분학] 10. 부정적분과 기본공식

함수 \(f(x)\)를 도함수로 하는 함수 \(F(x)\), 곧 \(F'(x)=f(x)\)인 함수 \(F(x)\)를 함수 \(f(x)\)의 부정적분(indefinite integral)(또는 원시함수(primitive function))이라고 하고 \(\displaystyle F(x)=\int{f(x)dx}\)로 나타낸다. 이때 \(f(x)\)를 피적분함수(integrand)라 하며, \(x\)를 적분변수(integral variable)라 한다. 이처럼 원시함수를 찾는 연산을 적분법이라고 한다.

구간 \(I\)에서 연속인 두 함수 \(F(x),\,G(x)\)가 모두 \(f(x)\)의 원시함수라면, \(F'(x)=f(x)=G'(x)\)이므로 \((F(x)-G(x))'=0\)이다. 따라서 \(F(x)-G(x)=C\)(\(C\)는 상수)이고, \(f(x)\)의 원시함수중 하나가 \(F(x)\)이면, \(f(x)\)의 다른 원시함수는 모두 \(F(x)+C\)로 나타낼 ㅅ ㅜ있다. 따라서 \(F'(x)=f(x)\)이면, \(\displaystyle\int{f(x)dx}=F(x)+C\)이다. 여기서의 상수 \(C\)를 적분상수(integral constant)라고 한다.

원시함수의 정의에서 알 수 있는 바와 같이 적분법은 미분법의 역연산이다.

다음은 기본적인 함수들의 부정적분을 구한 것이다. 여기서 \(C\)는 적분상수이다.

(1) \(\displaystyle\int{x^{k}dx}=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C\,(k\neq-1)\) (3) \(\displaystyle\int{\cos xdx}=\sin x+C\) (5) \(\displaystyle\int{\sec^{2}xdx}=\tan x+C\) (7) \(\displaystyle\int{\sec x\tan xdx}=\sec x+C\) (9) \(\displaystyle\int{e^{x}dx}=e^{x}+C\) (11) \(\displaystyle\int{\frac{1}{x^{2}+k^{2}}dx}=\frac{1}{k}\tan^{-1}\left(\frac{x}{k}\right)+C\,(k\neq0)\) (13) \(\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{k^{2}-x^{2}}}dx}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{k}\right)+C\,(k\neq0)\) (15) \(\displaystyle\int{\sec xdx}=\ln|\sec x+\tan x|+C\)

(2) \(\displaystyle\int{\frac{1}{x}dx}=\ln|x|+C\) (4) \(\displaystyle\int{\sin xdx}=-\cos x+C\)  (6) \(\displaystyle\int{\csc^{2}xdx}=-\cot x+C\) (8) \(\displaystyle\int{\csc x\cot xdx}=-\csc x+C\) (10) \(\displaystyle\int{a^{x}dx}=\frac{1}{\ln a}a^{x}+C\,(a>0,\,a\neq1)\) (12) \(\displaystyle\int{\frac{dx}{x^{2}-k^{2}}dx}=\frac{1}{2k}\ln\left|\frac{x-k}{x+k}\right|+C\,(k\neq0)\) (14) \(\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+A}}dx}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+A}|+C\,(A\neq0)\) (16) \(\displaystyle\int{\csc xdx}=-\ln|\csc x+\cot x|+C\)

치환적분

함수 \(F\)와 \(g\)가 미분가능하고 \(F'=f\)라 하면, 다음 식이 성립한다.$$F(g(x))=\int{f(g(x))g'(x)dx}$$증명: 함수 \(F(g(x))\)에 연쇄법칙을 적용하면$$(F(g(x)))'=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$$이므로 따라서 \(\displaystyle F(g(x))=\int{f(g(x))g'(x)dx}\)가 성립한다.

이와 같은 적분법을 치환적분법(integration by substitution)이라고 한다.

예:

\(\displaystyle\int{\sec xdx}\)를 구하자.$$\int{\sec xdx}=\int{\sec x\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}dx}=\int{\frac{\sec^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}dx}$$이고 \(u=\sec x+\tan x\)라 하면 \(\displaystyle\frac{du}{dx}=\sec x\tan x+\sec^{2}x\)이므로 \(du=(\sec^{2}x+\sec x\tan x)dx\)이고$$\int{\frac{\sec^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}dx}=\int{\frac{1}{u}du}=\ln|u|+C$$이므로 따라서 \(\displaystyle\int{\sec xdx}=\ln|\sec x+\tan x|+C\)이다.

\(\displaystyle\int{\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx}\)를 구하자. \(x^{2}-2x+10=(x-1)^{2}+9\)이므로 \(t=x-1\)로 치환하면 \(dx=dt\)이므로$$\int{\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx}=\int{\frac{1}{t^{2}+9}dt}$$이고 따라서$$\int{\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx}=\frac{1}{3}\tan^{-1}\left(\frac{t}{3}\right)+C=\frac{1}{3}\tan^{-1}\left(\frac{x-1}{3}\right)+C$$\(\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{ax-x^{2}}}dx}\)를 구하자. \(\displaystyle ax-x^{2}=\frac{a^{2}}{4}-\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}\)이므로 \(\displaystyle t=x-\frac{a}{2}\)로 치환하면 \(dx=dt\)이므로 따라서$$\int{\frac{1}{\sqrt{ax-x^{2}}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-t^{2}}}dt}=\sin^{-1}\left(\frac{2t}{a}\right)+C=\sin^{-1}\left(\frac{2x-a}{a}\right)+C$$

두 함수 \(f',\,g'\)이 연속이면 다음 식이 성립한다.$$\int{f(x)g'(x)dx}=f(x)g(x)-\int{f'(x)g(x)dx}$$증명: 곱의 미분법에 의해 \((fg)'=f'g+fg'\)이므로 \(fg'=(fg)'-f'g\)이고 이 식의 양변을 적분하면 된다.

\(\displaystyle\int{\sin^{-1}xdx}\)를 구하자. \(f'=1,\,g=\sin^{-1}x\)라 하면 \(\displaystyle f=x,\,g'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)이므로$$\int{\sin^{-1}xdx}=x\sin^{-1}+\sqrt{1-x^{2}}+C$$

\(\displaystyle\int{\tan^{-1}xdx}\)를 구하자. \(f'=1,\,g=\tan^{-1}x\)라 하면 \(\displaystyle f=x,\,g'=\frac{1}{1+x^{2}}\)이므로$$\begin{align*}\int{\tan^{-1}xdx}&=x\tan^{-1}x-\int{x(\tan^{-1}x)'dx}=x\tan^{-1}x-\int{\frac{x}{1+x^{2}}dx}\\&=x\tan^{-1}-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C\end{align*}$$

피적분함수가 어떤 함수냐에 따라 부분적분을 여러번 반복해서 적용해야 하는 경우가 있다.

부분적분을 다음과 같이 표로 나타낼 수 있다.

1회 시행시 \(\displaystyle\int{F(x)g(x)dx}=F(x)G(x)-\int{f(x)G(x)dx}\)이고(\(F'=f,\,G'=g\)),

2회 이상 시행시$$\begin{align*}\displaystyle\int{F(x)g(x)dx}&=F(x)G(x)-\int{f(x)G(x)dx}\\&=F(x)G(x)-f(x)\overline{G(x)}+\int{f'(x)\overline{G(x)}dx}\\(\int{f(x)G(x)dx}&=f(x)\overline{G(x)}-\int{f'(x)\overline{G(x)}dx})\end{align*}$$이다.

위의 방법을 이용하여 \(\displaystyle\int{x^{3}e^{x}dx}\)와 \(\displaystyle\int{e^{x}\sin xdx}\)를 쉽게 구할 수 있다.

위의 표로부터 \(\displaystyle\int{x^{3}e^{x}dx}=e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+C\)이고,

위의 표로부터 \(\displaystyle\int{e^{x}\sin xdx}=e^{x}(\sin x-\cos x)-\int{e^{x}\sin xdx}\)이고 따라서 \(\displaystyle\int{e^{x}\sin xdx}=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C\)이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스