[일변수 미적분학] 10. 부정적분과 기본공식

[일변수 미적분학] 10. 부정적분과 기본공식

함수 $f(x)$를 도함수로 하는 함수 $F(x)$, 곧 $F'(x)=f(x)$인 함수 $F(x)$를 함수 $f(x)$의 부정적분(indefinite integral)(또는 원시함수(primitive function))이라고 하고 $\displaystyle F(x)=\int{f(x)dx}$로 나타낸다. 이때 $f(x)$를 피적분함수(integrand)라 하며, $x$를 적분변수(integral variable)라 한다. 이처럼 원시함수를 찾는 연산을 적분법이라고 한다.

구간 $I$에서 연속인 두 함수 $F(x),\,G(x)$가 모두 $f(x)$의 원시함수라면, $F'(x)=f(x)=G'(x)$이므로 $(F(x)-G(x))'=0$이다. 따라서 $F(x)-G(x)=C$($C$는 상수)이고, $f(x)$의 원시함수중 하나가 $F(x)$이면, $f(x)$의 다른 원시함수는 모두 $F(x)+C$로 나타낼 ㅅ ㅜ있다. 따라서 $F'(x)=f(x)$이면, $\displaystyle\int{f(x)dx}=F(x)+C$이다. 여기서의 상수 $C$를 적분상수(integral constant)라고 한다.

원시함수의 정의에서 알 수 있는 바와 같이 적분법은 미분법의 역연산이다.

다음은 기본적인 함수들의 부정적분을 구한 것이다. 여기서 $C$는 적분상수이다.

(1) $\displaystyle\int{x^{k}dx}=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C\,(k\neq-1)$ (3) $\displaystyle\int{\cos xdx}=\sin x+C$ (5) $\displaystyle\int{\sec^{2}xdx}=\tan x+C$ (7) $\displaystyle\int{\sec x\tan xdx}=\sec x+C$ (9) $\displaystyle\int{e^{x}dx}=e^{x}+C$ (11) $\displaystyle\int{\frac{1}{x^{2}+k^{2}}dx}=\frac{1}{k}\tan^{-1}\left(\frac{x}{k}\right)+C\,(k\neq0)$ (13) $\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{k^{2}-x^{2}}}dx}=\sin^{-1}\left(\frac{x}{k}\right)+C\,(k\neq0)$ (15) $\displaystyle\int{\sec xdx}=\ln|\sec x+\tan x|+C$

(2) $\displaystyle\int{\frac{1}{x}dx}=\ln|x|+C$ (4) $\displaystyle\int{\sin xdx}=-\cos x+C$  (6) $\displaystyle\int{\csc^{2}xdx}=-\cot x+C$ (8) $\displaystyle\int{\csc x\cot xdx}=-\csc x+C$ (10) $\displaystyle\int{a^{x}dx}=\frac{1}{\ln a}a^{x}+C\,(a>0,\,a\neq1)$ (12) $\displaystyle\int{\frac{dx}{x^{2}-k^{2}}dx}=\frac{1}{2k}\ln\left|\frac{x-k}{x+k}\right|+C\,(k\neq0)$ (14) $\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+A}}dx}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+A}|+C\,(A\neq0)$ (16) $\displaystyle\int{\csc xdx}=-\ln|\csc x+\cot x|+C$

치환적분

함수 $F$와 $g$가 미분가능하고 $F'=f$라 하면, 다음 식이 성립한다.

$$F(g(x))=\int{f(g(x))g'(x)dx}$$ 증명: 함수 $F(g(x))$에 연쇄법칙을 적용하면 $$(F(g(x)))'=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$$ 이므로 따라서 $\displaystyle F(g(x))=\int{f(g(x))g'(x)dx}$가 성립한다.

이와 같은 적분법을 치환적분법(integration by substitution)이라고 한다.

예:

$\displaystyle\int{\sec xdx}$를 구하자.

$$\int{\sec xdx}=\int{\sec x\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}dx}=\int{\frac{\sec^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}dx}$$ 이고 $u=\sec x+\tan x$라 하면 $\displaystyle\frac{du}{dx}=\sec x\tan x+\sec^{2}x$이므로 $du=(\sec^{2}x+\sec x\tan x)dx$이고 $$\int{\frac{\sec^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}dx}=\int{\frac{1}{u}du}=\ln|u|+C$$ 이므로 따라서 $\displaystyle\int{\sec xdx}=\ln|\sec x+\tan x|+C$이다.

$\displaystyle\int{\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx}$를 구하자. $x^{2}-2x+10=(x-1)^{2}+9$이므로 $t=x-1$로 치환하면 $dx=dt$이므로

$$\int{\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx}=\int{\frac{1}{t^{2}+9}dt}$$ 이고 따라서 $$\int{\frac{1}{x^{2}-2x+10}dx}=\frac{1}{3}\tan^{-1}\left(\frac{t}{3}\right)+C=\frac{1}{3}\tan^{-1}\left(\frac{x-1}{3}\right)+C$$ $\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{ax-x^{2}}}dx}$를 구하자. $\displaystyle ax-x^{2}=\frac{a^{2}}{4}-\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}$이므로 $\displaystyle t=x-\frac{a}{2}$로 치환하면 $dx=dt$이므로 따라서 $$\int{\frac{1}{\sqrt{ax-x^{2}}}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-t^{2}}}dt}=\sin^{-1}\left(\frac{2t}{a}\right)+C=\sin^{-1}\left(\frac{2x-a}{a}\right)+C$$

두 함수 $f',\,g'$이 연속이면 다음 식이 성립한다.

$$\int{f(x)g'(x)dx}=f(x)g(x)-\int{f'(x)g(x)dx}$$ 증명: 곱의 미분법에 의해 $(fg)'=f'g+fg'$이므로 $fg'=(fg)'-f'g$이고 이 식의 양변을 적분하면 된다.

$\displaystyle\int{\sin^{-1}xdx}$를 구하자. $f'=1,\,g=\sin^{-1}x$라 하면 $\displaystyle f=x,\,g'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$이므로

$$\int{\sin^{-1}xdx}=x\sin^{-1}+\sqrt{1-x^{2}}+C$$

$\displaystyle\int{\tan^{-1}xdx}$를 구하자. $f'=1,\,g=\tan^{-1}x$라 하면 $\displaystyle f=x,\,g'=\frac{1}{1+x^{2}}$이므로

$$\begin{align*}\int{\tan^{-1}xdx}&=x\tan^{-1}x-\int{x(\tan^{-1}x)'dx}=x\tan^{-1}x-\int{\frac{x}{1+x^{2}}dx}\\&=x\tan^{-1}-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C\end{align*}$$

피적분함수가 어떤 함수냐에 따라 부분적분을 여러번 반복해서 적용해야 하는 경우가 있다.

부분적분을 다음과 같이 표로 나타낼 수 있다.

1회 시행시 $\displaystyle\int{F(x)g(x)dx}=F(x)G(x)-\int{f(x)G(x)dx}$이고($F'=f,\,G'=g$),

2회 이상 시행시

$$\begin{align*}\displaystyle\int{F(x)g(x)dx}&=F(x)G(x)-\int{f(x)G(x)dx}\\&=F(x)G(x)-f(x)\overline{G(x)}+\int{f'(x)\overline{G(x)}dx}\\(\int{f(x)G(x)dx}&=f(x)\overline{G(x)}-\int{f'(x)\overline{G(x)}dx})\end{align*}$$ 이다.

위의 방법을 이용하여 $\displaystyle\int{x^{3}e^{x}dx}$와 $\displaystyle\int{e^{x}\sin xdx}$를 쉽게 구할 수 있다.

위의 표로부터 $\displaystyle\int{x^{3}e^{x}dx}=e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+C$이고,

위의 표로부터 $\displaystyle\int{e^{x}\sin xdx}=e^{x}(\sin x-\cos x)-\int{e^{x}\sin xdx}$이고 따라서 $\displaystyle\int{e^{x}\sin xdx}=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C$이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스