[일변수 미적분학] 12. 면적과 정적분

[일변수 미적분학] 12. 면적과 정적분

아래의 그림과 같이 곡선 $y=f(x)$와 $x$축, 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 영역 $$S=\{(x,\,y)\,|\,a\leq x\leq y,\,0\leq  y\leq f(x)\}$$ 의 넓이를 구하려고 한다. 

하지만 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 공식에 대해서 배운적이 없다.

만약 $f(x)$가 상수함수라면, $S$의 넓이를 구하는 것은 쉽다(넓이는 $c(b-a)$이다). 왜냐하면 직사각형 형태가 되기 때문이다. 더 나아가서 1차함수인 경우도 $S$가 삼각형 또는 사다리꼴이 되기 때문에 넓이를 구하기가 쉽다.

위의 그림은 직사각형, 삼각형, 6각형이다. 직사각형과 삼각형의 넓이는 각각 $\displaystyle A=lw,\,A=\frac{1}{2}bh$이고, 육각형의 경우, 넓이가 각각 $A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,A_{4}$인 삼각형들의 넓이의 합이므로 $A=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}$이다.

곡선의 넓이를 직사각형들의 합으로 나타낸 다음 극한을 이용하여 구할 수 있다.

 위의 오른쪽 그림은 곡선 $y=x^{2}$와 $x$축, 직선 $x=1$로 둘러싸인 영역 $S=\{(x,\,y)\,|\,0\leq x\leq1,\,0\leq y\leq x^{2}\}$를 나타낸 것이고, 왼쪽 그림은 오른쪽 그림의 영역의 넓이 $A$를 구하기 위해 $x$축을 $n$등분하고 여러개의 직사각형들로 나타낸 것이다. 왼쪽 그림에서 $n\,\rightarrow\,\infty$이면, 오른쪽 그림이 된다.

 왼쪽 그림의 넓이를 $L_{n}$, 가운데 그림의 넓이를 $R_{n}$이라고 하면, 왼쪽, 가운데 그림의 $k\,(1\leq k\leq n)$번째 직사각형의 밑변의 길이는 $\displaystyle\frac{1}{n}$이고, 높이가 $\displaystyle\left(\frac{k}{n}\right)^{2}$이므로 $$\begin{align*}L_{n}&=\sum_{k=0}^{n-1}{\left(\frac{k}{n}\right)^{2}\frac{1}{n}}=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^{2}}\\ R_{n}&=\sum_{k=1}^{n}{\left(\frac{k}{n}\right)^{2}\frac{1}{n}}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{L_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{R_{n}}=\frac{1}{3}$이므로 따라서 $\displaystyle A=\frac{1}{3}$이다.

*이 방법을 고등학교 미적분 시간 때 구분구적법이라고 배웠을 것이다.

위의 방법을 이용하여 영역 $S=\{(x,\,y)\,|\,a\leq x\leq b,\,0\leq y\leq f(x)\}$의 넓이를 구할 수 있다. 아래의 그림처럼 구간 $[a,\,b]$를 $n$등분하여 $$a=x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{n-1},\,x_{n}=b$$ 라 하고, 구간 $[x_{i-1},\,x_{i}]\,(1\leq i\leq n)$에서 표본점(sample point) $x_{i}^{*}$를 선택하여

영역 $S$의 넓이를 구할 수 있다. 위의 그림의 넓이를 $S_{n}$이라고 하면 $$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f(x_{i}^{*})\Delta x}$$ 이고 여기서 $\displaystyle\Delta x=\frac{b-a}{n}$이다. $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $S_{n}$의 극한이 존재하면, 그 값을 함수 $f$의 $x=a$에서 $x=b$까지의 정적분(definite integral)이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{i}^{*})}\Delta x}$$ 이때 표본점 $x_{i}^{*}$의 위치에 관계없이 $S_{n}$의 극한값이 일정하면, 함수 $f$는 $[a,\,b]$에서 적분가능(integrable)하다고 한다.

*부정적분은 함수이므로 $\displaystyle\int{f(x)dx}\neq\int{f(t)dt}$이나 정적분은 값(위끝, 아래끝의 영향만을 받음)이므로 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}$이다.

주의할 점은 넓이는 항상 양의 값을 갖지만 정적분의 경우, $0$ 또는 음의 값을 가질 수 있다.

위의 그림에서 $x$축 윗부분(빨간색 영역)의 넓이를 $A_{1}$, $x$축 아랫부분(파란색 영역)의 넓이를 $A_{2}$라고 하면, $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=A_{1}-A_{2}$$ 이다.   

구간 $[a,\,b]$에서 정의된 함수 $f$가 연속이거나, 유한개의 점프 불연속점을 가지면 $f$는 $[a,\,b]$에서 적분가능하고, 

$f$가 $[a,\,b]$에서 적분가능하면, $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\sum_{k=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x}$$ 이고 여기서 $\displaystyle\Delta x=\frac{b-a}{n}$, $x_{i}=a+i\Delta x$이다.

이 정의는 고등학교 때 배운 정적분의 정의와 같다. 주의할 점은 모든 함수들이 적분가능하지 않다는 것이다.

(예: $\displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&\,x\in\mathbb{Q}\\1,&\,x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{cases}$는 구간 $[0,\,1]$에서 적분가능하지 않다.)

구간 $[a,\,b]$에서 상수값 $c$를 갖는 함수 $y=f(x)$의 $x=a$에서 $x=b$까지의 정적분은 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{nc\cdot\frac{(b-a)}{n}}=c(b-a)$$ 이다.

정적분 $\displaystyle\int_{0}^{3}{(x^{3}-6x)dx}$의 값을 구하자. $\displaystyle\Delta x=\frac{3-0}{n}=\frac{3}{n}$, $\displaystyle x_{i}=0+i\Delta x=\frac{3i}{n}$이므로 $$\begin{align*}\int_{0}^{3}{(x^{3}-6x)dx}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f\left(\frac{3i}{n}\right)}\frac{3}{n}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left\{\left(\frac{3i}{n}\right)^{3}-6\left(\frac{3i}{n}\right)\right\}}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left(\frac{27i^{3}}{n^{3}}-\frac{18i}{n}\right)}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\frac{81}{n^{4}}\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^{2}-\frac{54}{n^{2}}\frac{n(n+1)}{2}\right\}}\\&=\frac{81}{4}-27=-\frac{27}{4}\end{align*}$$ 이다.

참고자료: 

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning