[일변수 미적분학] 13. 정적분의 성질, 미적분학의 기본정리

13. 정적분의 성질, 미적분학의 기본정리

정적분의 성질:

-함수 $f$가 구간 $[a,\,b]$에서 적분가능하면 $\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=0$이고 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int_{b}^{a}{f(x)dx}$이다.

-함수 $f$가 $a,\,b,\,c$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}$$

-함수 $f$와 $g$가 구간 $[a,\,b]$에서 적분가능하면 $$\begin{align*}&\int_{a}^{b}{kf(x)dx}=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\\&\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\end{align*}$$ 이다.($k$는 상수)

증명: $$\int_{a}^{b}{kf(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{kf(x_{i})}\Delta x}=k\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x}}\right)=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이고

$$\begin{align*}\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}dx}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\{f(x_{i})+g(x_{i})\}\Delta x}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i})}\Delta x+\sum_{i=1}^{n}{g(x_{i})\Delta x}\right\}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x}}+\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{g(x_{i})\Delta x}}\\&=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\end{align*}$$

-함수 $f,\,g$가 구간 $[a,\,b]$에서 적분가능하다고 하자.

(a) $[a,\,b]$에서 $f\geq0$이면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq0$

(b) $[a,\,b]$에서 $f\leq g$이면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}$

(c) $[a,\,b]$에서 함수 $f$가 최댓값 $M$, 최솟값 $m$을 가지면($m\leq f(x)\leq M$), 다음 부등식이 성립한다. $$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq M(b-a)$$

(c)의 증명: (b)에 의해 $$m(b-a)=\int_{a}^{b}{mdx}\leq\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{Mdx}=M(b-a)$$ 이다.

-적분에 관한 평균값 정리(Mean value theorem for integrals)

함수 $f$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속이면, $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)$이다.

증명: 함수 $f$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속이면, 최댓값, 최솟값 정리에 의해 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 갖는다. 즉 $$m\leq f(x)\leq M$$ 앞 정리의 $c$에 의해 $$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}{f(x)}\leq M(b-a)$$ 이고, 이 부등식의 각 변들을 각각 $b-a$로 나누면 $$m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq M$$ 이 되는데 중간값의 정리에 의해 $c\in(a,\,b)$가 존재해서 $$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이고 따라서 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)$$ 이다.

-미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus) 

(a) 함수 $f$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속이면, 함수 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$는 $[a,\,b]$에서 연속이고 $(a,\,b)$에서 미분가능하며 $F'(x)=f(x)$이다.

(b) 함수 $f$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속이고 $F$가 $f$의 부정적분, 즉 $F'(x)=f(x)$이면 $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$ 이다.

증명:

(a)

$x,\,x+h\in(a,\,b)$이면, $$\begin{align*}F(x+h)-F(x)&=\int_{a}^{x+h}{f(t)dt}-\int_{a}^{x}{f(t)dt}\\&=\left(\int_{a}^{x}{f(t)dt}+\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}\right)-\int_{a}^{x}{f(t)dt}\\&=\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}\end{align*}$$ 이고, $h\neq0$에 대하여 $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}$$ 이다. $h>0$이라 하자. $f$가 $[x,\,x+h]$에서 연속이므로 최댓값, 최솟값 정리에 의해 $[x,\,x+h]$에서 $f$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$이 존재하고, $u,\,v\in[x,\,x+h]$가 존재해서 $f(u)=m$, $f(v)=M$이다. $$mh\leq\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}\leq Mh$$ 이고, $$f(u)\leq\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}\leq f(v)$$ 이다. 이 부등식은 $h<0$인 경우에도 성립하고, $h>0$일때와 같은 방법을 이용하여 보일 수 있다.

$h\,\rightarrow\,0$일 때, $u,\,v$는 $x$와 $x+h$사이에 있으므로 $u,\,v\,\rightarrow\,x$이고 $$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(u)}=\lim_{u\,\rightarrow\,x}{f(u)}=f(x),\,\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(v)}=\lim_{v\,\rightarrow\,x}{f(v)}=f(x)$$ 이며, $f$가 $x$에서 연속이므로 조임정리에 의해 $$F'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}=f(x)$$ 이다.

여기서 $x=a$이면, $h\,\rightarrow\,0+$이고, $x=b$이면, $h\,\rightarrow\,0-$이다. 

(b) $\displaystyle G(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$라 하자. $$G(a)=\int_{a}^{a}{f(t)dt}=0,\,G(b)=\int_{a}^{b}{f(t)dt}$$ 이고, $F$가 $f$의 임의의 부정적분이면, $F(x)=G(x)+C$이므로 $$\int_{a}^{b}{f(t)dt}=G(b)-0=G(b)-G(a)=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}=F(b)-F(a)$$ 이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning