[일변수 미적분학] 13. 정적분의 성질, 미적분학의 기본정리

13. 정적분의 성질, 미적분학의 기본정리

정적분의 성질:

-함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 적분가능하면 \(\displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=0\)이고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-\int_{b}^{a}{f(x)dx}\)이다.

-함수 \(f\)가 \(a,\,b,\,c\)를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}$$

-함수 \(f\)와 \(g\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 적분가능하면$$\begin{align*}&\int_{a}^{b}{kf(x)dx}=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\\&\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}dx}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\end{align*}$$이다.(\(k\)는 상수)

증명:$$\int_{a}^{b}{kf(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{kf(x_{i})}\Delta x}=k\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x}}\right)=k\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$이고

$$\begin{align*}\int_{a}^{b}{\{f(x)+g(x)\}dx}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\{f(x_{i})+g(x_{i})\}\Delta x}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i})}\Delta x+\sum_{i=1}^{n}{g(x_{i})\Delta x}\right\}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x}}+\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{g(x_{i})\Delta x}}\\&=\int_{a}^{b}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)dx}\end{align*}$$

-함수 \(f,\,g\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 적분가능하다고 하자.

(a) \([a,\,b]\)에서 \(f\geq0\)이면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq0\)

(b) \([a,\,b]\)에서 \(f\leq g\)이면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}\)

(c) \([a,\,b]\)에서 함수 \(f\)가 최댓값 \(M\), 최솟값 \(m\)을 가지면(\(m\leq f(x)\leq M\)), 다음 부등식이 성립한다.$$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq M(b-a)$$

(c)의 증명: (b)에 의해$$m(b-a)=\int_{a}^{b}{mdx}\leq\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{Mdx}=M(b-a)$$이다.

-적분에 관한 평균값 정리(Mean value theorem for integrals)

함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면, \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)\)이다.

증명: 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면, 최댓값, 최솟값 정리에 의해 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 갖는다. 즉$$m\leq f(x)\leq M$$앞 정리의 \(c\)에 의해$$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}{f(x)}\leq M(b-a)$$이고, 이 부등식의 각 변들을 각각 \(b-a\)로 나누면$$m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq M$$이 되는데 중간값의 정리에 의해 \(c\in(a,\,b)\)가 존재해서$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$이고 따라서$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=(b-a)f(c)$$이다.

-미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus) 

(a) 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면, 함수 \(\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분가능하며 \(F'(x)=f(x)\)이다.

(b) 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(F\)가 \(f\)의 부정적분, 즉 \(F'(x)=f(x)\)이면$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$이다.

증명:

(a)

\(x,\,x+h\in(a,\,b)\)이면,$$\begin{align*}F(x+h)-F(x)&=\int_{a}^{x+h}{f(t)dt}-\int_{a}^{x}{f(t)dt}\\&=\left(\int_{a}^{x}{f(t)dt}+\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}\right)-\int_{a}^{x}{f(t)dt}\\&=\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}\end{align*}$$이고, \(h\neq0\)에 대하여$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}$$이다. \(h>0\)이라 하자. \(f\)가 \([x,\,x+h]\)에서 연속이므로 최댓값, 최솟값 정리에 의해 \([x,\,x+h]\)에서 \(f\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)이 존재하고, \(u,\,v\in[x,\,x+h]\)가 존재해서 \(f(u)=m\), \(f(v)=M\)이다.$$mh\leq\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}\leq Mh$$이고,$$f(u)\leq\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}\leq f(v)$$이다. 이 부등식은 \(h<0\)인 경우에도 성립하고, \(h>0\)일때와 같은 방법을 이용하여 보일 수 있다.

\(h\,\rightarrow\,0\)일 때, \(u,\,v\)는 \(x\)와 \(x+h\)사이에 있으므로 \(u,\,v\,\rightarrow\,x\)이고$$\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(u)}=\lim_{u\,\rightarrow\,x}{f(u)}=f(x),\,\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(v)}=\lim_{v\,\rightarrow\,x}{f(v)}=f(x)$$이며, \(f\)가 \(x\)에서 연속이므로 조임정리에 의해$$F'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}=f(x)$$이다.

여기서 \(x=a\)이면, \(h\,\rightarrow\,0+\)이고, \(x=b\)이면, \(h\,\rightarrow\,0-\)이다. 

(b) \(\displaystyle G(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}\)라 하자.$$G(a)=\int_{a}^{a}{f(t)dt}=0,\,G(b)=\int_{a}^{b}{f(t)dt}$$이고, \(F\)가 \(f\)의 임의의 부정적분이면, \(F(x)=G(x)+C\)이므로$$\int_{a}^{b}{f(t)dt}=G(b)-0=G(b)-G(a)=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}=F(b)-F(a)$$이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning