[일변수 미적분학] 8. 함수의 최대, 최소, 극값, 요철, 그래프

[일변수 미적분학] 8. 함수의 최대, 최소, 극값, 요철, 그래프

최댓값과 최솟값:

함수 \(f\)의 정의역 \(D\)상의 모든 원소 \(x\)에 대하여 \(f(c)\geq f(x)\)가 성립하면 \(f(c)\)를 \(D\)에서의 \(f\)의 최댓값(maximum value)이라 하고, \(f(c)\leq f(x)\)가 성립하면 \(f(c)\)를 \(D\)에서의 \(f\)의 최솟값(minimum value)이라 한다.

위 그래프에서 \(f(d)\)는 최댓값, \(f(a)\)는 최솟값이다.

극값:

함수 \(f\)의 정의역을 \(D\)라 하자. \(f'(c)\)가 존재하지 않거나 \(f'(c)=0\)(접선의 기울기가 \(0\))인 점 \(c\in D\)를 임계점(critical point)이라 한다.

\(c\)를 포함하는 구간 \((\alpha,\,\beta)\)이 존재하고 모든 \(x\in(\alpha,\,\beta)\)에 대하여 \(f(c)\geq f(x)\)이면 \(f\)는 \(x=c\)에서 극대라 하고 \(f(c)\)를 \(f\)의 극댓값(local maximum value)이라 한다. 비슷하게 \(f(c)\leq f(x)\)이면, \(f)\)는 \(x=c\)에서 극소라 하고 \(f(c)\)를 \(f\)의 극솟값(local minimum value)이라 한다.

\(f(c)\)가 극댓값 또는 극솟값이면 \(f(c)\)를 극값(extreme value)이라 한다.

위 그래프에서 \(f(c)\)는 극댓값, \(f(d)\)는 극솟값이다.

(페르마 정리) 구간 \((a,\,b)\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 점 \(c\in(a,\,b)\)에서 극값을 갖고 \(f'(c)\)가 존재하면, \(f'(c)=0\)이다.

증명: \(f\)가 \(x=c\)에서 극댓값을 가지면 \(h\)의 부호에 관계없이 \(f(c)\geq f(c+h)\)가 성립한다.

\(h>0\)이고 \(h\)가 충분히 작으면 \(f(c+h)-f(c)\leq0\)이므로 \(\displaystyle\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0\)이고,

\(h<0\)이고 \(h\)가 충분히 작으면 \(\displaystyle\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0\)이다. 그러면$$\begin{align*}f'(c+)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}\leq\lim_{h\,\rightarrow\,0}{0}=0\\ f'(c-)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}\geq\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{0}=0\end{align*}$$이므로 \(f'(c+)=f'(c-)=0\)이고 따라서 \(f'(c)=0\)이다.

극솟값의 경우도 위와 같은 방법으로 증명할 수 있다(\(x=c\)에서 극소이면, \(h\)의 부호에 관계없이 \(f(c)\leq f(c+h)\)가 성립).

페르마 정리의 역은 성립하지 않는다.

왼쪽의 함수 \(f(x)=x^{3}\)는 \(f'(0)=0\)이나 \(x=0\)에서 극값을 갖지 않는다. 참고로 미분가능하지 않은 점에서 극값을 가질 수 있다. 오른쪽의 함수 \(f(x)=|x|\)는 \(x=0\)에서 미분가능하지 않으나 \(x=0\)에서 극소이다.

증가, 감소 판정:

함수 \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 미분가능하고 \((a,\,b)\)에서

(1) \(f'(x)>0\)이면 \(f\)는 \((a,\,b)\)에서 증가한다.

(2) \(f'(x)<0\)이면 \(f\)는 \((a,\,b)\)에서 감소한다.

증명:

\(x_{1},\,x_{2}\in(a,\,b)\,(x_{1}<x_{2})\)라 하자. \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의해 \(c\in(x_{1},\,x_{2})\)가 존재해서 \(f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1})\)이다. \(x_{2}-x_{1}>0\)이므로

(1) \(f'(c)>0\)이면 \(f(x_{2})-f(x_{1})>0\)이고 따라서 \(f\)는 \((a,\,b)\)에서 증가한다.

(2) \(f'(c)<0\)이면 \(f(x_{2})-f(x_{1})<0\)이고 따라서 \(f\)는 \((a,\,b)\)에서 감소한다.

1계도함수에 의한 극값판정:

함수 \(f(\)가 점 \(x=a\)를 포함하는 어떤 열린구간에서 연속이고, \(x=a\)이외의 점에서 미분가능하며 점 \((a,\,f(a))\)가 \(f\)의 임계점이라 하자.

(1) \(x<a\)에서 \(f'(x)>0\), \(x>a\)에서 \(f'(x)<0\)이면 \(f(a)\)는 극댓값이다.

(2) \(x<a\)에서 \(f'(x)<0\), \(x>a\)에서 \(f'(x)>0\)이면 \(f(a)\)는 극솟값이다.

(3) \(x=a\)의 좌우에서 \(f'\)의 부호변화가 없으면 \(f(a)\)는 극값이 아니다.

2계도함수에 의한 극값판정:

함수 \(f\)가 점 \(x=a\)를 포함한 어떤 열린구간에서 미분가능하고 \(f''(a)\)가 존재한다고 하자.

(1) \(f'(a)=0\), \(f''(a)>0\)이면 \(f(a)\)는 극솟값이다.

(2) \(f'(a)=0\), \(f''(a)<0\)이면 \(f(a)\)는 극댓값이다.

함수의 요철:

함수 \(f\)의 그래프가 그 위의 한 점 \(P\)의 주변에서 \(P\)점을 지나는 접선의 위쪽에 있을 때 이 그래프는 점 \(P\)에서 아래로 볼록(convex downward)이라 하고, 반대로 접선의 아래쪽에 있을 때 이 그래프는 점 \(P\)에서 위로 볼록(convex upward)이라고 한다.

그래프의 한 쪽은 접선의 위쪽에 있고, 다른 한쪽은 아래쪽에 있으면 그 점 \(P\)를 변곡점(point of inflection)이라고 한다.

위 그래프에서 점 \((-2,\,f(-2))\), \((2,\,f(2))\)는 변곡점이고, \(x<-2,\,x>2\)에서 아래로 볼록, \(-2<x<2\)에서 위로 볼록이다.

함수 \(f\)가 \(x=a\)주변에서 연속인 \(f''\)를 가질 때

(1) \(f''(a)>0\)이면 \(f\)는 \(x=a\)에서 아래로 볼록이다.

(2) \(f''(a)<0\)이면 \(f\)는 \(x=a\)에서 위로 볼록이다.

(3) \(f''(a)=0\)이고 \(x=a\)의 좌우에서 \(f''\)의 부호가 변하면 \((a,\,f(a))\)는 변곡점이다.

함수 \(y=f(x)\)의 곡선에 대하여

(1) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\pm\infty}{\frac{f(x)}{x}}=L\)이면 \(y=L\)는 \(f\)의 수평점근선(horizontal asymptote)이다.

수평점근선

(2) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m\)이고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\{f(x)-mx\}}=b\)이면, 직선 \(y=mx+b\)를 사선점근선(line asymptote)이라고 한다.

사선점근선

함수의 그래프:

함수의 그래프는 다음의 순서를 따라서 그린다.

1. 정의역

2. \(x\), \(y\)절편(\(x\)절편은 방정식 \(f(x)=0\)의 해)

3. 대칭성(우함수, 기함수, 주기함수)

4. 점근선

5. 증가 또는 감소

6. 극값(극댓값, 극솟값)

7. 오목 볼록, 변곡점

8. 1~7의 정보를 활용하여 그래프 그리기

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning