[일변수 미적분학] 6. 역삼각함수, 쌍곡함수, 역쌍곡함수의 성질과 그 도함수

[일변수 미적분학] 6. 역삼각함수, 쌍곡함수, 역쌍곡함수의 성질과 그 도함수

실수 전체의 집합에서 정의된 삼각함수 $y=\sin x$는 일대일함수가 아니다. 그러나 정의역을 임의의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle\left[(2n-1)\frac{\pi}{2},\,(2n+1)\frac{\pi}{2}\right]$중의 하나로 선택하면, 치역은 $[-1,\,1]$이고 일대일함수가 되므로 $\sin x$의 역함수를 정의할 수 있게 된다. 이 역함수를 $\text{arc}\sin x$ 또는 $\sin^{-1}x$로 나타낸다.

편의상 $\sin^{-1}x$의 치역을 $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right]$로 택하며 이를 주치(princival value)라고 한다.

$y=\sin^{-1}x\,(-1\leq x\leq1)\,\Leftrightarrow\,x=\sin y$이고 주치는 $\displaystyle-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}$이다.

위와 같은 방법으로 $\cos x$의 역함수를 $\text{arc}\cos x$ 또는 $\cos^{-1}x$로 나타낸다. $y=\cos^{-1}x$의 정의역을 $[-1,\,1]$, 주치를 $[0,\,\pi]$라 하면

$y=\cos^{-1}x\,(-1\leq x\leq1)\,\Leftrightarrow\,x=\cos y$이고 주치는 $0\leq y\leq\pi$이다. 

마찬가지로 $\tan x$의 역함수를 $\text{arc}\tan x$ 또는 $\tan^{-1}x$로 나타낸다. $y=\tan^{-1}x$는 $(-\infty,\,\infty)$를 정의역으로 하면 일대일함수가 아니지만 주치로써 $\displaystyle-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}$의 범위를 취하면 된다. 즉

$y=\tan^{-1}x\,(-\infty<x<\infty)\,\Leftrightarrow\,x=\tan y$이고 주치는 $\displaystyle-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}$이다.

   (역삼각함수의 그래프)

역삼각함수의 도함수는 다음과 같다:

(1) $\displaystyle(\sin^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,(|x|<1)$, (2) $\displaystyle(\cos^{-1}x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,(|x|<1)$, (3) $\displaystyle(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^{2}}$

(4) $\displaystyle(\csc^{-1}x)'=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,(|x|>1)$, (5) $\displaystyle(\sec^{-1}x)'=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,(|x|>1)$, (6) $\displaystyle(\cot^{-1}x)'=-\frac{1}{1+x^{2}}$

증명:

(1)

위 그림에서 $x=\sin y\,(y=\sin^{-1}x)$이므로 역함수의 미분법에 의해 $\displaystyle1=\frac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\frac{dy}{dx}$이고, $\cos y=\sqrt{1-x^{2}}$이므로 따라서 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\sin^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,(-1<x<1)$.

(2)

위 그림에서 $x=\cos y\,(y=\cos^{-1}x)$이므로 역함수의 미분법에 의해 $\displaystyle1=\frac{d}{dx}(\cos y)=-\sin y\frac{dy}{dx}$이고, $\sin y=\sqrt{1-x^{2}}$이므로 따라서 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\cos^{-1}x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,(-1<x<1)$.

(3) $y=\tan^{-1}x\,\Leftrightarrow\,x=\tan y$이므로 역함수의 미분법에 의해 $\displaystyle1=\frac{1}{dx}(\tan y)=\sec^{2}y\frac{dy}{dx}$이고, $\sec^{2}y=1+\tan^{2}y=1+x^{2}$이므로 따라서 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^{2}}$.

(5)

위 그림에서 $x=\sec y\,(y=\sec^{-1}x)$이므로 역함수의 미분법에 의해 $\displaystyle1=\frac{d}{dx}(\sec y)=\sec y\tan y\frac{dy}{dx}$이고, $\sec y=x$, $\tan y=\sqrt{\sec^{2}y-1}=\sqrt{x^{2}-1}$이므로 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\sec^{-1}x)'=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}$이다.

쌍곡선 함수의 정의:

(1) $\displaystyle\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$, (2) $\displaystyle\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$, (3) $\displaystyle\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$,

(4) $\displaystyle\text{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}\,(x\neq0)$, (5) $\displaystyle\text{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}$, (6) $\displaystyle\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}\,(x\neq0)$

쌍곡선 함수의 정의에서 $\sinh(-x)=-\sinh x$, $\cosh(-x)=\cosh x$, $\tanh(-x)=-\tanh x$이고, $y=\sinh x$, $y=\cosh x$, $y=\tanh x$의 그래프는 다음과 같다.

또한 정의를 이용하여 다음의 항등식을 얻는다.  

(1) $\cosh^{2}x-\sinh^{2}x=1$, (2) $\tanh^{2}x+\text{sech}^{2}x=1$, (3) $\coth^{2}x-\text{csch}^{2}x=1$

(1)을 증명하면 다음과 같다. $$\cosh^{2}x-\sinh^{2}x=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2}=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{4}{4}=1$$

(4) $\cosh x+\sinh x=e^{x}$, (5) $\cosh x-\sinh x=e^{-x}$,

(6) $\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$, (7) $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

(6)을 증명하면 다음과 같다. $$\begin{align*}\sinh(x+y)&=\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}=\frac{(\cosh x+\sinh x)(\cosh y+\sinh y)-(\cosh x-\sinh x)(\cosh y-\sinh y)}{2}\\&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\end{align*}$$

참고: 쌍곡선함수에 대하여 다음 등식이 성립한다.

$\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh x\pm\cosh x\sinh x$

$\cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm\sinh x\sinh y$

$\displaystyle\tanh(x\pm y)=\frac{\tanh x\pm\tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}$

$\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sinh x}{x}}=1$

$(e^{x})'=e^{x}$라는 사실을 이용하여 쌍곡선함수의 도함수를 구할 수 있다.

(1) $(\sinh x)'=\cosh x$, (2) $(\cosh x)'=\sinh x$, (3) $(\tanh x)'=\text{sech}^{2}x$

(4) $(\text{csch}x)'=-\text{csch}x\coth x$, (5) $(\text{sech}x)'=-\text{sech}x\tanh x$, (6) $(\coth x)'=-\text{csch}^{2}x$

쌍곡선 함수도 역함수를 갖는데 일대일함수가 아닌 경우는 정의역을 제한해서 역함수를 갖게 할 수 있다.

(1) $\displaystyle\sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ (모든 $x$), (2) $\cosh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})\,(x\geq1)$, 

(3) $\displaystyle\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\,(-1<x<1)$, (4) $\displaystyle\text{csch}^{-1}x=\ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}\right)\,(x^{2}>0)$

(5) $\displaystyle\text{sech}^{-1}x=\ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}\right)\,(0<x\leq1)$, (6) $\displaystyle\coth^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}\,(x^{2}>1)$

(1)의 증명: $\displaystyle y=\sinh^{-1}x\,\Leftrightarrow\,x=\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$이므로 이 식을 변형해 $e^{y}$에 대한 이차방정식 $e^{2y}-2xe^{y}-1=0$을 얻는다. 근의 공식에 의해 $e^{y}=x\pm\sqrt{x^{2}+1}$이고 $e^{y}>0$이어야 하므로 $e^{y}=x+\sqrt{x^{2}+1}$이고 따라서 $y=\sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$이다. 

(역쌍곡선 함수의 그래프)

역쌍곡선 함수의 도함수는 다음과 같고, 이에 대한 증명은 하지 않겠다.

(1) $\displaystyle(\sinh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ (모든 $x$), (2) $\displaystyle(\cosh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,(x>1)$, (3) $\displaystyle(\tanh^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^{2}}\,(-1<x<1)$,

(4) $\displaystyle(\text{csch}^{-1}x)'=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}}\,(x^{2}>0)$, (5) $\displaystyle(\text{sech}^{-1}x)'=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}\,(0<x\leq1)$, (6) $\displaystyle(\coth^{-1}x)=-\frac{1}{1-x^{2}}\,(x^{2}>1)$

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning