[일변수 미적분학] 6. 역삼각함수, 쌍곡함수, 역쌍곡함수의 성질과 그 도함수

[일변수 미적분학] 6. 역삼각함수, 쌍곡함수, 역쌍곡함수의 성질과 그 도함수

실수 전체의 집합에서 정의된 삼각함수 \(y=\sin x\)는 일대일함수가 아니다. 그러나 정의역을 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\left[(2n-1)\frac{\pi}{2},\,(2n+1)\frac{\pi}{2}\right]\)중의 하나로 선택하면, 치역은 \([-1,\,1]\)이고 일대일함수가 되므로 \(\sin x\)의 역함수를 정의할 수 있게 된다. 이 역함수를 \(\text{arc}\sin x\) 또는 \(\sin^{-1}x\)로 나타낸다.

편의상 \(\sin^{-1}x\)의 치역을 \(\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right]\)로 택하며 이를 주치(princival value)라고 한다.

\(y=\sin^{-1}x\,(-1\leq x\leq1)\,\Leftrightarrow\,x=\sin y\)이고 주치는 \(\displaystyle-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)이다.

위와 같은 방법으로 \(\cos x\)의 역함수를 \(\text{arc}\cos x\) 또는 \(\cos^{-1}x\)로 나타낸다. \(y=\cos^{-1}x\)의 정의역을 \([-1,\,1]\), 주치를 \([0,\,\pi]\)라 하면

\(y=\cos^{-1}x\,(-1\leq x\leq1)\,\Leftrightarrow\,x=\cos y\)이고 주치는 \(0\leq y\leq\pi\)이다. 

마찬가지로 \(\tan x\)의 역함수를 \(\text{arc}\tan x\) 또는 \(\tan^{-1}x\)로 나타낸다. \(y=\tan^{-1}x\)는 \((-\infty,\,\infty)\)를 정의역으로 하면 일대일함수가 아니지만 주치로써 \(\displaystyle-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)의 범위를 취하면 된다. 즉

\(y=\tan^{-1}x\,(-\infty<x<\infty)\,\Leftrightarrow\,x=\tan y\)이고 주치는 \(\displaystyle-\frac{\pi}{2}\leq y\leq\frac{\pi}{2}\)이다.

   (역삼각함수의 그래프)

역삼각함수의 도함수는 다음과 같다:

(1) \(\displaystyle(\sin^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,(|x|<1)\), (2) \(\displaystyle(\cos^{-1}x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,(|x|<1)\), (3) \(\displaystyle(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^{2}}\)

(4) \(\displaystyle(\csc^{-1}x)'=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,(|x|>1)\), (5) \(\displaystyle(\sec^{-1}x)'=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\,(|x|>1)\), (6) \(\displaystyle(\cot^{-1}x)'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)

증명:

(1)

위 그림에서 \(x=\sin y\,(y=\sin^{-1}x)\)이므로 역함수의 미분법에 의해 \(\displaystyle1=\frac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\frac{dy}{dx}\)이고, \(\cos y=\sqrt{1-x^{2}}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\sin^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,(-1<x<1)\).

(2)

위 그림에서 \(x=\cos y\,(y=\cos^{-1}x)\)이므로 역함수의 미분법에 의해 \(\displaystyle1=\frac{d}{dx}(\cos y)=-\sin y\frac{dy}{dx}\)이고, \(\sin y=\sqrt{1-x^{2}}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\cos^{-1}x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,(-1<x<1)\).

(3) \(y=\tan^{-1}x\,\Leftrightarrow\,x=\tan y\)이므로 역함수의 미분법에 의해 \(\displaystyle1=\frac{1}{dx}(\tan y)=\sec^{2}y\frac{dy}{dx}\)이고, \(\sec^{2}y=1+\tan^{2}y=1+x^{2}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^{2}}\).

(5)

위 그림에서 \(x=\sec y\,(y=\sec^{-1}x)\)이므로 역함수의 미분법에 의해 \(\displaystyle1=\frac{d}{dx}(\sec y)=\sec y\tan y\frac{dy}{dx}\)이고, \(\sec y=x\), \(\tan y=\sqrt{\sec^{2}y-1}=\sqrt{x^{2}-1}\)이므로 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\sec^{-1}x)'=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\)이다.

쌍곡선 함수의 정의:

(1) \(\displaystyle\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\), (2) \(\displaystyle\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\), (3) \(\displaystyle\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\),

(4) \(\displaystyle\text{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}\,(x\neq0)\), (5) \(\displaystyle\text{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}\), (6) \(\displaystyle\coth x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}\,(x\neq0)\)

쌍곡선 함수의 정의에서 \(\sinh(-x)=-\sinh x\), \(\cosh(-x)=\cosh x\), \(\tanh(-x)=-\tanh x\)이고, \(y=\sinh x\), \(y=\cosh x\), \(y=\tanh x\)의 그래프는 다음과 같다.

또한 정의를 이용하여 다음의 항등식을 얻는다.  

(1) \(\cosh^{2}x-\sinh^{2}x=1\), (2) \(\tanh^{2}x+\text{sech}^{2}x=1\), (3) \(\coth^{2}x-\text{csch}^{2}x=1\)

(1)을 증명하면 다음과 같다.$$\cosh^{2}x-\sinh^{2}x=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2}=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{4}{4}=1$$

(4) \(\cosh x+\sinh x=e^{x}\), (5) \(\cosh x-\sinh x=e^{-x}\),

(6) \(\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\), (7) \(\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\)

(6)을 증명하면 다음과 같다.$$\begin{align*}\sinh(x+y)&=\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}=\frac{(\cosh x+\sinh x)(\cosh y+\sinh y)-(\cosh x-\sinh x)(\cosh y-\sinh y)}{2}\\&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\end{align*}$$

참고: 쌍곡선함수에 대하여 다음 등식이 성립한다.

\(\sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh x\pm\cosh x\sinh x\)

\(\cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm\sinh x\sinh y\)

\(\displaystyle\tanh(x\pm y)=\frac{\tanh x\pm\tanh y}{1\pm\tanh x\tanh y}\)

\(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sinh x}{x}}=1\)

\((e^{x})'=e^{x}\)라는 사실을 이용하여 쌍곡선함수의 도함수를 구할 수 있다.

(1) \((\sinh x)'=\cosh x\), (2) \((\cosh x)'=\sinh x\), (3) \((\tanh x)'=\text{sech}^{2}x\)

(4) \((\text{csch}x)'=-\text{csch}x\coth x\), (5) \((\text{sech}x)'=-\text{sech}x\tanh x\), (6) \((\coth x)'=-\text{csch}^{2}x\)

쌍곡선 함수도 역함수를 갖는데 일대일함수가 아닌 경우는 정의역을 제한해서 역함수를 갖게 할 수 있다.

(1) \(\displaystyle\sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\) (모든 \(x\)), (2) \(\cosh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})\,(x\geq1)\), 

(3) \(\displaystyle\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\,(-1<x<1)\), (4) \(\displaystyle\text{csch}^{-1}x=\ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}\right)\,(x^{2}>0)\)

(5) \(\displaystyle\text{sech}^{-1}x=\ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}\right)\,(0<x\leq1)\), (6) \(\displaystyle\coth^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}\,(x^{2}>1)\)

(1)의 증명: \(\displaystyle y=\sinh^{-1}x\,\Leftrightarrow\,x=\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\)이므로 이 식을 변형해 \(e^{y}\)에 대한 이차방정식 \(e^{2y}-2xe^{y}-1=0\)을 얻는다. 근의 공식에 의해 \(e^{y}=x\pm\sqrt{x^{2}+1}\)이고 \(e^{y}>0\)이어야 하므로 \(e^{y}=x+\sqrt{x^{2}+1}\)이고 따라서 \(y=\sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\)이다. 

(역쌍곡선 함수의 그래프)

역쌍곡선 함수의 도함수는 다음과 같고, 이에 대한 증명은 하지 않겠다.

(1) \(\displaystyle(\sinh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\) (모든 \(x\)), (2) \(\displaystyle(\cosh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,(x>1)\), (3) \(\displaystyle(\tanh^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^{2}}\,(-1<x<1)\),

(4) \(\displaystyle(\text{csch}^{-1}x)'=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+1}}\,(x^{2}>0)\), (5) \(\displaystyle(\text{sech}^{-1}x)'=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}\,(0<x\leq1)\), (6) \(\displaystyle(\coth^{-1}x)=-\frac{1}{1-x^{2}}\,(x^{2}>1)\)

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning