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[일변수 미적분학] 3. 미분



열린구간 (a,b)에서 정의된 함수 y=f(x)가 주어졌을 때, xx1에서 x2로 변하면, x의 변화량(x의 증분이라 하고 Δx로 나타낸다)은 Δx=x2x1이고, 대응되는 y의 변화량(y의 증분이라 하고 Δy로 나타낸다)은 Δy=y2y1=f(x2)f(x1)이다. 두 변화량의 비 ΔyΔx=f(x2)f(x1)x2x1xx1에서 x2로 변할 때의 함수 y=f(x)의 평균변화율(average rate of change)이라 한다.


미분계수의 기하학적 의미:


함수 f(x)a를 포함하는 어떤 구간에서 정의되어 있다고 하자. 곡선 y=f(x)위의 두 점 P(a,f(a)), Q(b,f(b))를 잡으면 f(a+h)f(a)h는 직선 PQ의 기울기를 나타낸다. h0일 때, 즉 Q를 곡선에 따라서 P에 가까이 접근시킬 때, 직선 PQ는 직선 t와 일치하게 된다. 

극한값 lim가 존재하면 f(x)x=a에서 미분가능(differentiable)이라고 하며, 이 극한값을 f(x)x=a에서의 미분계수(differential coefficient)라고 하고 f'(a)로 나타낸다.

또한, 직선 t의 기울기를 곡선 y=f(x)의 점 P에서의 접선의 기울기라 한다. 이때 점 P(a,\,f(a))에서의 접선의 방정식은 y=f'(a)(x-a)+f(a)이다.


또한, x=a에서의 두 극한값 \displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}=f'_{+}(a), \displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}=f'_{-}(a)을 각각 x=a에서의 우미분계수

(right differential coefficient), 좌미분계수(left differential coefficient)라 한다.

f'_{+}(a), f'_{-}(a)가 모두 존재하고 이 두 값들이 일치할 때, f(x)x=a에서 미분가능하고 f'(a)=f'_{+}(a)=f'_{-}(a)가 성립한다. 


y=f(x)가 어떤 구간의 각 점 x에서 미분가능일 때, f(x)는 이 구간에서 미분가능이라고 한다.(닫힌구간 [a,\,b]에서 생각하는 경우, 끝 점인 x=a, x=b에서는 각각 f'_{+}(a), f'_{-}(b)만을 생각하는 것으로 한다)

이 경우, 각 점 x에 그 점에서의 미분계수를 대응시킴으로써 정해지는 함수를 f(x)의 도함수(derivative)라 하고 다음의 기호들로 나타낸다.f'(x),\,y',\,\frac{dy}{dx},\,\frac{d}{dx}f(x),\,Dy함수 f(x)의 도함수를 구하는 것을 f(x)를 미분한다고 하며 그 도함수는 \displaystyle f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}이다.


f(x)x=a에서 미분가능하면, x=a에서 연속이다.

증명: f(x)x=a에서 미분가능하므로 f'(a)가 존재하고\begin{align*}\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(a+h)}&=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}h+f(a)\\&=f'(a)\lim_{h\,\rightarrow\,0}{h}+f'(a)\\&=f(a)\end{align*}따라서 x=a에서 연속이다.


이 명제의 역은 성립하지 않는다. 함수 f(x)=|x|x=0에서 연속이다. 그러나\begin{align*}f'_{+}(0)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{|h|}{h}}=1\\f'_{-}(0)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{|h|}{h}}=-1\end{align*}이므로 f'_{+}(0)=1\neq-1=f'_{-}(0)이고 따라서 f(x)x=0에서 미분가능하지 않다.


다음은 특정한 점에서 미분가능하지 않은 함수의 그래프이다.

왼쪽은 뾰족점(첨점), 가운데는 불연속점, 오른쪽은 수직접선(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{|f'(x)|}=\infty)이다.


연쇄법칙(합성함수의 미분): 함수 y=f(u), u=g(x)가 각각 u, x의 함수로서 미분가능하면, 합성함수 y=f(g(x))x의 함수로서 미분가능하고 \displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}, 즉 y'=f'(g(x))g'(x)이다.

증명에 앞서 y=f(x)이고 xa에서 a+\Delta x까지 변할 때 y의 증분은 \Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)이다. 미분계수의 정의로부터 \displaystyle\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f'(a)이다. 따라서 \displaystyle\epsilon=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(a)라 하면 \displaystyle\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(a)\right)}=f'(a)-f'(a)=0이고 \Delta y=f'(a)\Delta x+\epsilon\Delta x이다. \Delta x=0일 때 \epsilon=0으로 정의하면 \epsilon\Delta x의 연속함수가 된다. 따라서 미분가능한 함수 f에 대해 \displaystyle\Delta y=f'(a)\Delta x+\epsilon\Delta x\,\left(\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0\right)이다. 이를 이용하여 연쇄법칙을 증명한다.


연쇄법칙의 증명: u=g(x), u+k=g(x+h)라 하면 \displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{k}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)이다. 한편f(g(x+h))-f(g(x))=f(u+k)-f(u)=kf'(u)+\epsilon k,\,\lim_{k\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0이고, g(x)는 연속이므로 \displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{k}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\{g(x+h)-g(x)\}}=0이다. 따라서 \displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0이므로\{f(g(x))\}'=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{k}{h}\{f'(u)+\epsilon\}}=g'(x)f'(u)=f'(g(x))g'(x)\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}이다.


x^{2}+y^{3}+\sin y-1=0과 같이 yx의 함수로의 표현(y=f(x)꼴)이 아닌 F(x,\,y)=0의 형태로 표현되는 함수를 음함수(implict function)라 하고, 

(음함수의 그래프. 음함수는 하나의 x값에 두 개 이상의 y값을 가질 수 있다)


음함수의 도함수 \displaystyle\frac{dy}{dx}를 구하기 위해서는 yx의 함수로 간주하고 양변을 x로 미분하면 구할 수 있다. 즉 F(x,\,y)=F(x,\,f(x))=0의 형태로 보고 f'(x)를 구한다.


곡선위의 한 점 (x,\,y)가 두 함수 f,\,g에 의하여 x=f(t), y=g(t)로 표시될 때, 이 방정식을 곡선의 매개변수방정식(parametric equation)이라 하며 t를 매개변수(parameter) 라 한다.

   (곡선의 매개변수 방정식)


x=f(t)y=g(t)t의 미분가능함수라 하자. 연쇄법칙에 의해 \displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}이고, \displaystyle\frac{dx}{dt}\neq0이면,\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}이다.


역함수의 미분법: 일대일함수 f가 미분가능하고 f'(x)\neq0이면, 그 역함수 f^{-1}(x)도 미분가능하고 그 도함수는 \displaystyle\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(y)}, 즉 \displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}이다.

  원래의 함수와 역함수의 그래프


증명: y=f^{-1}(x)이면 x=f(y)이므로, 식 x=f(y)의 양변을 x에 대해 미분하면 연쇄법칙에 의해1=\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}f(y)=\frac{d}{dy}f(y)\frac{dy}{dx}=f'(y)\frac{dy}{dx}이고 따라서 \displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)} 또는 \displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}이다.


함수 f가 미분가능하면 그 도함수인 f'도 함수이고, f'가 미분가능하면, (f')'=f''가 존재한다. 이 함수 f''f의 2계도함수라고 한다. y=f(x)의 이계도함수를\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}로 나타낸다.


일반적으로 n계도함수f^{(n)}으로 나타내고 y=f(x)n번 미분해서 얻는다. 함수 y=f(x)n계도함수를 다음과 같이 나타낸다.f^{(n)}(x),\,y^{(n)},\,\frac{d^{n}y}{dx^{n}},\,\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x),\,D^{n}y


참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

https://ximera.osu.edu/mooculus/calculus1/master/derivativesOfInverseFunctions/digInInverseFunctionTheorem

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Posted by skywalker222