[일변수 미적분학] 3. 미분

[일변수 미적분학] 3. 미분

열린구간 \((a,\,b)\)에서 정의된 함수 \(y=f(x)\)가 주어졌을 때, \(x\)가 \(x_{1}\)에서 \(x_{2}\)로 변하면, \(x\)의 변화량(\(x\)의 증분이라 하고 \(\Delta x\)로 나타낸다)은 \(\Delta x=x_{2}-x_{1}\)이고, 대응되는 \(y\)의 변화량(\(y\)의 증분이라 하고 \(\Delta y\)로 나타낸다)은 \(\Delta y=y_{2}-y_{1}=f(x_{2})-f(x_{1})\)이다. 두 변화량의 비 \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\)을 \(x\)가 \(x_{1}\)에서 \(x_{2}\)로 변할 때의 함수 \(y=f(x)\)의 평균변화율(average rate of change)이라 한다.

미분계수의 기하학적 의미:

함수 \(f(x)\)가 \(a\)를 포함하는 어떤 구간에서 정의되어 있다고 하자. 곡선 \(y=f(x)\)위의 두 점 \(P(a,\,f(a))\), \(Q(b,\,f(b))\)를 잡으면 \(\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)는 직선 \(PQ\)의 기울기를 나타낸다. \(h\,\rightarrow\,0\)일 때, 즉 \(Q\)를 곡선에 따라서 \(P\)에 가까이 접근시킬 때, 직선 \(PQ\)는 직선 \(t\)와 일치하게 된다. 

극한값 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}\)가 존재하면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 미분가능(differentiable)이라고 하며, 이 극한값을 \(f(x)\)의 \(x=a\)에서의 미분계수(differential coefficient)라고 하고 \(f'(a)\)로 나타낸다.

또한, 직선 \(t\)의 기울기를 곡선 \(y=f(x)\)의 점 \(P\)에서의 접선의 기울기라 한다. 이때 점 \(P(a,\,f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)이다.

또한, \(x=a\)에서의 두 극한값 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}=f'_{+}(a)\), \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}=f'_{-}(a)\)을 각각 \(x=a\)에서의 우미분계수

(right differential coefficient), 좌미분계수(left differential coefficient)라 한다.

\(f'_{+}(a)\), \(f'_{-}(a)\)가 모두 존재하고 이 두 값들이 일치할 때, \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 미분가능하고 \(f'(a)=f'_{+}(a)=f'_{-}(a)\)가 성립한다. 

\(y=f(x)\)가 어떤 구간의 각 점 \(x\)에서 미분가능일 때, \(f(x)\)는 이 구간에서 미분가능이라고 한다.(닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 생각하는 경우, 끝 점인 \(x=a\), \(x=b\)에서는 각각 \(f'_{+}(a)\), \(f'_{-}(b)\)만을 생각하는 것으로 한다)

이 경우, 각 점 \(x\)에 그 점에서의 미분계수를 대응시킴으로써 정해지는 함수를 \(f(x)\)의 도함수(derivative)라 하고 다음의 기호들로 나타낸다.$$f'(x),\,y',\,\frac{dy}{dx},\,\frac{d}{dx}f(x),\,Dy$$함수 \(f(x)\)의 도함수를 구하는 것을 \(f(x)\)를 미분한다고 하며 그 도함수는 \(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\)이다.

\(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하면, \(x=a\)에서 연속이다.

증명: \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하므로 \(f'(a)\)가 존재하고$$\begin{align*}\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(a+h)}&=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}h+f(a)\\&=f'(a)\lim_{h\,\rightarrow\,0}{h}+f'(a)\\&=f(a)\end{align*}$$따라서 \(x=a\)에서 연속이다.

이 명제의 역은 성립하지 않는다. 함수 \(f(x)=|x|\)는 \(x=0\)에서 연속이다. 그러나$$\begin{align*}f'_{+}(0)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{|h|}{h}}=1\\f'_{-}(0)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{|h|}{h}}=-1\end{align*}$$이므로 \(f'_{+}(0)=1\neq-1=f'_{-}(0)\)이고 따라서 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 미분가능하지 않다.

다음은 특정한 점에서 미분가능하지 않은 함수의 그래프이다.

왼쪽은 뾰족점(첨점), 가운데는 불연속점, 오른쪽은 수직접선(\(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{|f'(x)|}=\infty\))이다.

연쇄법칙(합성함수의 미분): 함수 \(y=f(u)\), \(u=g(x)\)가 각각 \(u\), \(x\)의 함수로서 미분가능하면, 합성함수 \(y=f(g(x))\)는 \(x\)의 함수로서 미분가능하고 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\), 즉 \(y'=f'(g(x))g'(x)\)이다.

증명에 앞서 \(y=f(x)\)이고 \(x\)가 \(a\)에서 \(a+\Delta x\)까지 변할 때 \(y\)의 증분은 \(\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)\)이다. 미분계수의 정의로부터 \(\displaystyle\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f'(a)\)이다. 따라서 \(\displaystyle\epsilon=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(a)\)라 하면 \(\displaystyle\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(a)\right)}=f'(a)-f'(a)=0\)이고 \(\Delta y=f'(a)\Delta x+\epsilon\Delta x\)이다. \(\Delta x=0\)일 때 \(\epsilon=0\)으로 정의하면 \(\epsilon\)은 \(\Delta x\)의 연속함수가 된다. 따라서 미분가능한 함수 \(f\)에 대해 \(\displaystyle\Delta y=f'(a)\Delta x+\epsilon\Delta x\,\left(\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0\right)\)이다. 이를 이용하여 연쇄법칙을 증명한다.

연쇄법칙의 증명: \(u=g(x)\), \(u+k=g(x+h)\)라 하면 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{k}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)\)이다. 한편$$f(g(x+h))-f(g(x))=f(u+k)-f(u)=kf'(u)+\epsilon k,\,\lim_{k\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0$$이고, \(g(x)\)는 연속이므로 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{k}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\{g(x+h)-g(x)\}}=0\)이다. 따라서 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0\)이므로$$\{f(g(x))\}'=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{k}{h}\{f'(u)+\epsilon\}}=g'(x)f'(u)=f'(g(x))g'(x)$$즉 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\)이다.

\(x^{2}+y^{3}+\sin y-1=0\)과 같이 \(y\)가 \(x\)의 함수로의 표현(\(y=f(x)\)꼴)이 아닌 \(F(x,\,y)=0\)의 형태로 표현되는 함수를 음함수(implict function)라 하고, 

(음함수의 그래프. 음함수는 하나의 \(x\)값에 두 개 이상의 \(y\)값을 가질 수 있다)

음함수의 도함수 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\)를 구하기 위해서는 \(y\)를 \(x\)의 함수로 간주하고 양변을 \(x\)로 미분하면 구할 수 있다. 즉 \(F(x,\,y)=F(x,\,f(x))=0\)의 형태로 보고 \(f'(x)\)를 구한다.

곡선위의 한 점 \((x,\,y)\)가 두 함수 \(f,\,g\)에 의하여 \(x=f(t)\), \(y=g(t)\)로 표시될 때, 이 방정식을 곡선의 매개변수방정식(parametric equation)이라 하며 \(t\)를 매개변수(parameter) 라 한다.

   (곡선의 매개변수 방정식)

\(x=f(t)\)와 \(y=g(t)\)가 \(t\)의 미분가능함수라 하자. 연쇄법칙에 의해 \(\displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\)이고, \(\displaystyle\frac{dx}{dt}\neq0\)이면,$$\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$$이다.

역함수의 미분법: 일대일함수 \(f\)가 미분가능하고 \(f'(x)\neq0\)이면, 그 역함수 \(f^{-1}(x)\)도 미분가능하고 그 도함수는 \(\displaystyle\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(y)}\), 즉 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}\)이다.

  원래의 함수와 역함수의 그래프

증명: \(y=f^{-1}(x)\)이면 \(x=f(y)\)이므로, 식 \(x=f(y)\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면 연쇄법칙에 의해$$1=\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}f(y)=\frac{d}{dy}f(y)\frac{dy}{dx}=f'(y)\frac{dy}{dx}$$이고 따라서 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}\) 또는 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}\)이다.

함수 \(f\)가 미분가능하면 그 도함수인 \(f'\)도 함수이고, \(f'\)가 미분가능하면, \((f')'=f''\)가 존재한다. 이 함수 \(f''\)를 \(f\)의 2계도함수라고 한다. \(y=f(x)\)의 이계도함수를$$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$$로 나타낸다.

일반적으로 \(n\)계도함수는 \(f^{(n)}\)으로 나타내고 \(y=f(x)\)를 \(n\)번 미분해서 얻는다. 함수 \(y=f(x)\)의 \(n\)계도함수를 다음과 같이 나타낸다.$$f^{(n)}(x),\,y^{(n)},\,\frac{d^{n}y}{dx^{n}},\,\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x),\,D^{n}y$$

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

https://ximera.osu.edu/mooculus/calculus1/master/derivativesOfInverseFunctions/digInInverseFunctionTheorem