[일변수 미적분학] 3. 미분

[일변수 미적분학] 3. 미분

열린구간 $(a,\,b)$에서 정의된 함수 $y=f(x)$가 주어졌을 때, $x$가 $x_{1}$에서 $x_{2}$로 변하면, $x$의 변화량($x$의 증분이라 하고 $\Delta x$로 나타낸다)은 $\Delta x=x_{2}-x_{1}$이고, 대응되는 $y$의 변화량($y$의 증분이라 하고 $\Delta y$로 나타낸다)은 $\Delta y=y_{2}-y_{1}=f(x_{2})-f(x_{1})$이다. 두 변화량의 비 $\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$을 $x$가 $x_{1}$에서 $x_{2}$로 변할 때의 함수 $y=f(x)$의 평균변화율(average rate of change)이라 한다.

미분계수의 기하학적 의미:

함수 $f(x)$가 $a$를 포함하는 어떤 구간에서 정의되어 있다고 하자. 곡선 $y=f(x)$위의 두 점 $P(a,\,f(a))$, $Q(b,\,f(b))$를 잡으면 $\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$는 직선 $PQ$의 기울기를 나타낸다. $h\,\rightarrow\,0$일 때, 즉 $Q$를 곡선에 따라서 $P$에 가까이 접근시킬 때, 직선 $PQ$는 직선 $t$와 일치하게 된다. 

극한값 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$가 존재하면 $f(x)$는 $x=a$에서 미분가능(differentiable)이라고 하며, 이 극한값을 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수(differential coefficient)라고 하고 $f'(a)$로 나타낸다.

또한, 직선 $t$의 기울기를 곡선 $y=f(x)$의 점 $P$에서의 접선의 기울기라 한다. 이때 점 $P(a,\,f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$이다.

또한, $x=a$에서의 두 극한값 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}=f'_{+}(a)$, $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}=f'_{-}(a)$을 각각 $x=a$에서의 우미분계수

(right differential coefficient), 좌미분계수(left differential coefficient)라 한다.

$f'_{+}(a)$, $f'_{-}(a)$가 모두 존재하고 이 두 값들이 일치할 때, $f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하고 $f'(a)=f'_{+}(a)=f'_{-}(a)$가 성립한다. 

$y=f(x)$가 어떤 구간의 각 점 $x$에서 미분가능일 때, $f(x)$는 이 구간에서 미분가능이라고 한다.(닫힌구간 $[a,\,b]$에서 생각하는 경우, 끝 점인 $x=a$, $x=b$에서는 각각 $f'_{+}(a)$, $f'_{-}(b)$만을 생각하는 것으로 한다)

이 경우, 각 점 $x$에 그 점에서의 미분계수를 대응시킴으로써 정해지는 함수를 $f(x)$의 도함수(derivative)라 하고 다음의 기호들로 나타낸다. $$f'(x),\,y',\,\frac{dy}{dx},\,\frac{d}{dx}f(x),\,Dy$$ 함수 $f(x)$의 도함수를 구하는 것을 $f(x)$를 미분한다고 하며 그 도함수는 $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$이다.

$f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하면, $x=a$에서 연속이다.

증명: $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하므로 $f'(a)$가 존재하고 $$\begin{align*}\lim_{h\,\rightarrow\,0}{f(a+h)}&=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}h+f(a)\\&=f'(a)\lim_{h\,\rightarrow\,0}{h}+f'(a)\\&=f(a)\end{align*}$$ 따라서 $x=a$에서 연속이다.

이 명제의 역은 성립하지 않는다. 함수 $f(x)=|x|$는 $x=0$에서 연속이다. 그러나 $$\begin{align*}f'_{+}(0)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0+}{\frac{|h|}{h}}=1\\f'_{-}(0)&=\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0-}{\frac{|h|}{h}}=-1\end{align*}$$ 이므로 $f'_{+}(0)=1\neq-1=f'_{-}(0)$이고 따라서 $f(x)$는 $x=0$에서 미분가능하지 않다.

다음은 특정한 점에서 미분가능하지 않은 함수의 그래프이다.

왼쪽은 뾰족점(첨점), 가운데는 불연속점, 오른쪽은 수직접선($\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{|f'(x)|}=\infty$)이다.

연쇄법칙(합성함수의 미분): 함수 $y=f(u)$, $u=g(x)$가 각각 $u$, $x$의 함수로서 미분가능하면, 합성함수 $y=f(g(x))$는 $x$의 함수로서 미분가능하고 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$, 즉 $y'=f'(g(x))g'(x)$이다.

증명에 앞서 $y=f(x)$이고 $x$가 $a$에서 $a+\Delta x$까지 변할 때 $y$의 증분은 $\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)$이다. 미분계수의 정의로부터 $\displaystyle\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f'(a)$이다. 따라서 $\displaystyle\epsilon=\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(a)$라 하면 $\displaystyle\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(a)\right)}=f'(a)-f'(a)=0$이고 $\Delta y=f'(a)\Delta x+\epsilon\Delta x$이다. $\Delta x=0$일 때 $\epsilon=0$으로 정의하면 $\epsilon$은 $\Delta x$의 연속함수가 된다. 따라서 미분가능한 함수 $f$에 대해 $\displaystyle\Delta y=f'(a)\Delta x+\epsilon\Delta x\,\left(\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0\right)$이다. 이를 이용하여 연쇄법칙을 증명한다.

연쇄법칙의 증명: $u=g(x)$, $u+k=g(x+h)$라 하면 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{k}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)$이다. 한편 $$f(g(x+h))-f(g(x))=f(u+k)-f(u)=kf'(u)+\epsilon k,\,\lim_{k\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0$$ 이고, $g(x)$는 연속이므로 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{k}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\{g(x+h)-g(x)\}}=0$이다. 따라서 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\epsilon}=0$이므로 $$\{f(g(x))\}'=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{k}{h}\{f'(u)+\epsilon\}}=g'(x)f'(u)=f'(g(x))g'(x)$$ 즉 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$이다.

$x^{2}+y^{3}+\sin y-1=0$과 같이 $y$가 $x$의 함수로의 표현($y=f(x)$꼴)이 아닌 $F(x,\,y)=0$의 형태로 표현되는 함수를 음함수(implict function)라 하고, 

(음함수의 그래프. 음함수는 하나의 $x$값에 두 개 이상의 $y$값을 가질 수 있다)

음함수의 도함수 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$를 구하기 위해서는 $y$를 $x$의 함수로 간주하고 양변을 $x$로 미분하면 구할 수 있다. 즉 $F(x,\,y)=F(x,\,f(x))=0$의 형태로 보고 $f'(x)$를 구한다.

곡선위의 한 점 $(x,\,y)$가 두 함수 $f,\,g$에 의하여 $x=f(t)$, $y=g(t)$로 표시될 때, 이 방정식을 곡선의 매개변수방정식(parametric equation)이라 하며 $t$를 매개변수(parameter) 라 한다.

   (곡선의 매개변수 방정식)

$x=f(t)$와 $y=g(t)$가 $t$의 미분가능함수라 하자. 연쇄법칙에 의해 $\displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$이고, $\displaystyle\frac{dx}{dt}\neq0$이면, $$\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$$ 이다.

역함수의 미분법: 일대일함수 $f$가 미분가능하고 $f'(x)\neq0$이면, 그 역함수 $f^{-1}(x)$도 미분가능하고 그 도함수는 $\displaystyle\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(y)}$, 즉 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}$이다.

  원래의 함수와 역함수의 그래프

증명: $y=f^{-1}(x)$이면 $x=f(y)$이므로, 식 $x=f(y)$의 양변을 $x$에 대해 미분하면 연쇄법칙에 의해 $$1=\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}f(y)=\frac{d}{dy}f(y)\frac{dy}{dx}=f'(y)\frac{dy}{dx}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}$ 또는 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}$이다.

함수 $f$가 미분가능하면 그 도함수인 $f'$도 함수이고, $f'$가 미분가능하면, $(f')'=f''$가 존재한다. 이 함수 $f''$를 $f$의 2계도함수라고 한다. $y=f(x)$의 이계도함수를 $$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$$ 로 나타낸다.

일반적으로 $n$계도함수는 $f^{(n)}$으로 나타내고 $y=f(x)$를 $n$번 미분해서 얻는다. 함수 $y=f(x)$의 $n$계도함수를 다음과 같이 나타낸다. $$f^{(n)}(x),\,y^{(n)},\,\frac{d^{n}y}{dx^{n}},\,\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x),\,D^{n}y$$

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

https://ximera.osu.edu/mooculus/calculus1/master/derivativesOfInverseFunctions/digInInverseFunctionTheorem