[일변수 미적분학] 1. 함수

[일변수 미적분학] 1. 함수

공집합이 아닌 두 실수들의 집합 $D$와 $E$에 대하여 집합 $D$의 각 원소들을 $E$의 단 하나의 원소에 대응시키는 규칙 $f$를 $D$에서 $E$로의 함수라 하고, 이것을 기호로 $f:\,D\,\rightarrow\,E$로 나타낸다. 그리고 이때 $D$를 이 함수 $f$의 정의역(domain), $E$를 $f$의 공역(codomain)이라고 한다.

$D$의 각 원소 $x$에 대하여, 대응되는 $Y$의 원소 $y$(또는 $f(x)$)를 $f$에 의한 $x$의 함숫값(value) 또는 상(image)이라고 한다.

$E$의 원소 중에서 정의역의 모든 원소들의 상의 집합 $\{f(x)\,|\,x\in X\}$를 $f$의 치역(range)이라고 한다.

함수 $f$의 정의역의 원소를 독립변수(independent variable), 치역의 원소를 종속변수(dependent variable)라고 한다. 

함수 $f:\,D\,\rightarrow\,E$의 그래프는 순서쌍으로 이루어진 $\{(x,\,f(x))\,|\,x\in X\}$이다.   

(함수의 그래프)

 

함수가 아니더라도 그래프는 그려질 수 있다. 함수는 정의역의 각 원소들을 공역의 단 하나의 원소에 대응시켜야 하므로 정의역을 따라서 수직선으로 움직이면 모든 수직선은 그래프와 단 한점에서만 만나야 한다. 이 검사를 수직선검사(vertical line test)라고 한다.

왼쪽의 포물선 $x=y^{2}-2$는 $x>-2$에서 수직선과 두 점에서 만나기 때문에 함수가 아니다(음함수). 그러나 가운데와 오른쪽의 그래프는 $x>-2$에서 수직선과 단 한점에서만 만나기 때문에 함수이다.

구간 $I$의 임의의 원소 $x_{1},\,x_{2}(x_{1}<x_{2})$에 대하여

$f(x_{1})<f(x_{2})$를 만족하면, $f$는 구간 $I$에서 증가함수(increasing function)이다.

$f(x_{1})>f(x_{2})$를 만족하면, $f$는 구간 $I$에서 감소함수(decreasing function)이다. 

위의 그래프에서 함수 $f(x)$는 구간 $[a,\,b],\,[c,\,d]$에서 증가함수이고, $[b,\,c]$에서 감소함수이다.(구간 $[a,\,b]$, $[c,\,d]$에서 증가, $[b,\,c]$에서 감소)

$y$축(직선 $x=0$)에 대해서 대칭인 함수(정의역의 원소 $x$에 대하여 $f(-x)=f(x)$인 함수)를 우함수(even function), 원점에 대해서 대칭인 함수(정의역의 원소 $x$에 대하여 $f(-x)=-f(x)$인 함수)를 기함수(odd function)라고 한다. 

(왼쪽의 함수는 우함수, 오른쪽의 함수는 기함수)

 

기존의 함수로부터 새로운 함수 만들기:

수직, 수평이동: $c>0$이라 하자. $y=f(x)$의 그래프를

(1) 위쪽으로 $c$만큼 이동해서 $y=f(x)+c$의 그래프를 얻는다.

(2) 아래쪽으로 $c$만큼 이동해서 $y=f(x)-c$의 그래프를 얻는다.

(3) 오른쪽으로 $c$만큼 이동해서 $y=f(x-c)$의 그래프를 얻는다.

(4) 왼쪽으로 $c$만큼 이동해서 $y=f(x+c)$의 그래프를 얻는다.

수직, 수평 확대 및 대칭이동: $c>1$이라 하자. $y=f(x)$의 그래프를

(1) 수직으로 $c$배 늘여 $y=cf(x)$의 그래프를 얻는다.

(2) 수직으로 $c$배 줄여 $\displaystyle y=\frac{1}{c}f(x)$의 그래프를 얻는다.

(3) 수평으로 $c$배 줄여 $y=f(cx)$의 그래플를 얻는다.

(4) 수평으로 $c$배 늘여 $\displaystyle y=f\left(\frac{1}{c}x\right)$의 그래프를 얻는다.

(5) $x$축에 대해 대칭시켜 $y=-f(x)$의 그래프를 얻는다.

(6) $y$축에 대해 대칭시켜 $y=f(-x)$의 그래프를 얻는다.

 정의역이 각각 $A$, $B$인 함수 $f$, $g$에 대하여 이 두 함수의 합, 차, 곱, 몫은 $$\begin{align*}&(f+g)(x)=f(x)+g(x),\,(f-g)(x)=f(x)-g(x)\\&(fg)(x)=f(x)g(x),\,\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)\neq0)\end{align*}$$ 으로 정의되고, 이 함수들(합, 차, 곱)의 정의역은 $f$와 $g$의 공통정의역인 $A\cap B$이고, 특히 몫의 정의역은 $\{x\in A\cap B\,|\,g(x)\neq0\}$이다.

$f$와 $g$를 각각 $x$에 대한 함수라 하고, $x$는 $g(x)$의 정의역에 속해있다고 하자. $g(x)$가 $f$의 정의역에 속해있으면, $g(x)$에서 $f$의 값을 계산한 $f(g(x))$를 구할 수 있다. 이것은 한 함수의 출력이 다음 함수의 입력으로 사용되는것과 같고, 그 결과인 $x$에서 $f(g(x))$로의 대응을 나타내는 새로운 함수를 $g$와 $f$의 합성함수(composition function)라고 하고 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$로 나타낸다.

(함수의 합성)

이때 주의할 점은 일반적으로 등식 $f\circ g=g\circ f$이 성립하지 않는다는 점이다. 예를들어 $f(x)=x^{2}$, $g(x)=x-3$일 때, $$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))=f(x-3)=(x-3)^{2}\\(g\circ f)(x)&=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}-3\end{align*}$$ 이므로 $(g\circ f)(x)\neq(f\circ g)(x)$이다.

함수 $f$의 정의역 안의 서로 다른 임의의 두 원소에 대한 함수값이 서로 다를 때(정의역의 임의의 원소 $x_{1},\,x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$에 대하여 $f(x_{1})\neq f(x_{2})$), 함수 $f$를 일대일함수 또는 단사함수(one-to-one function 또는 injective function)라고 하고, 공역과 치역이 같은 함수를 전사함수(surjective)라고 한다.

실수 전체($(-\infty,\,\infty)$)에서 정의된 함수 $y=x^{2}$는 일대일 함수가 아니지만 정의역을 $[0,\,\infty)$로 제한하면 일대일 함수가 된다.

모든 치역을 지나는 수평선과 함수의 그래프가 단 한번씩만 만다면 이 함수는 일대일 함수이고, 두번 이상 만나는 수평선이 있다면 이 함수는 일대일 함수가 아니다. 이 방법을 수평선 검사(horizontal line test)라고 한다.

$y=x^{3}$은 수평선과 단 한점에서 만나기 때문에 일대일 함수이나 $y=x^{2}$는 수평선과 두점에서 만나기 때문에(원점제외) 일대일 함수가 아니다.

$y=f(x)$가 일대일 함수이면, 치역의 임의의 원소 $y$에 대하여 정의역의 단 하나의 원소 $x$가 대응되고, 따라서 $f$의 치역이 모든 원소에서 $f$의 정의역의 모든 원소로 대응이 된다. 이러한 함수를 $f$의 역함수(inverse function)라 하고, $f^{-1}$로 나타낸다. 즉, $f(a)=b$이면, $f^{-1}(b)=a$이다.

주의할 점은 $f^{-1}$에서 $-1$이 지수를 뜻하지 않는다는 점이다. 따라서 $f^{-1}$은 $f$의 역수가 아닌 역함수이다.

$f$의 정의역은 $f^{-1}$의 치역과 같고, $f$의 치역은 $f^{-1}$의 정의역과 같다. 또한 $f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x$이다.

역함수를 구하는 방법:

1. 함수 $y=f(x)$가 일대일 함수인지를 판별한다. 일대일 대응이 아니면 역함수를 갖지 않고, 일대일 대응이면 역함수 $f^{-1}$를 갖는다.

2. $y=f(x)$에서 변수 $x$, $y$를 서로 바꾼다. 즉 $x=f(y)$

3. 가능하면 $y$에 대해서 정리하여 $y=f^{-1}(x)$의 형태로 나타낸다.

4. $f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x$가 성립함을 확인한다.

함수 $f$의 그래프와 역함수 $f^{-1}$의 그래프는 서로 직선 $y=x$에 대해 대칭이다.

(*참고: 때로는 일대일 함수가 아닌 함수의 정의역을 적당히 축소하여 일대일 함수를 만들 수 있다.)

참고자료:

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

미분적분학, 고영상 외 7인 저, 휴먼싸이언스