[일변수 미적분학] 1. 함수

[일변수 미적분학] 1. 함수

공집합이 아닌 두 실수들의 집합 \(D\)와 \(E\)에 대하여 집합 \(D\)의 각 원소들을 \(E\)의 단 하나의 원소에 대응시키는 규칙 \(f\)를 \(D\)에서 \(E\)로의 함수라 하고, 이것을 기호로 \(f:\,D\,\rightarrow\,E\)로 나타낸다. 그리고 이때 \(D\)를 이 함수 \(f\)의 정의역(domain), \(E\)를 \(f\)의 공역(codomain)이라고 한다.

\(D\)의 각 원소 \(x\)에 대하여, 대응되는 \(Y\)의 원소 \(y\)(또는 \(f(x)\))를 \(f\)에 의한 \(x\)의 함숫값(value) 또는 상(image)이라고 한다.

\(E\)의 원소 중에서 정의역의 모든 원소들의 상의 집합 \(\{f(x)\,|\,x\in X\}\)를 \(f\)의 치역(range)이라고 한다.

함수 \(f\)의 정의역의 원소를 독립변수(independent variable), 치역의 원소를 종속변수(dependent variable)라고 한다. 

함수 \(f:\,D\,\rightarrow\,E\)의 그래프는 순서쌍으로 이루어진 \(\{(x,\,f(x))\,|\,x\in X\}\)이다.   

(함수의 그래프)

 

함수가 아니더라도 그래프는 그려질 수 있다. 함수는 정의역의 각 원소들을 공역의 단 하나의 원소에 대응시켜야 하므로 정의역을 따라서 수직선으로 움직이면 모든 수직선은 그래프와 단 한점에서만 만나야 한다. 이 검사를 수직선검사(vertical line test)라고 한다.

왼쪽의 포물선 \(x=y^{2}-2\)는 \(x>-2\)에서 수직선과 두 점에서 만나기 때문에 함수가 아니다(음함수). 그러나 가운데와 오른쪽의 그래프는 \(x>-2\)에서 수직선과 단 한점에서만 만나기 때문에 함수이다.

구간 \(I\)의 임의의 원소 \(x_{1},\,x_{2}(x_{1}<x_{2})\)에 대하여

\(f(x_{1})<f(x_{2})\)를 만족하면, \(f\)는 구간 \(I\)에서 증가함수(increasing function)이다.

\(f(x_{1})>f(x_{2})\)를 만족하면, \(f\)는 구간 \(I\)에서 감소함수(decreasing function)이다. 

위의 그래프에서 함수 \(f(x)\)는 구간 \([a,\,b],\,[c,\,d]\)에서 증가함수이고, \([b,\,c]\)에서 감소함수이다.(구간 \([a,\,b]\), \([c,\,d]\)에서 증가, \([b,\,c]\)에서 감소)

\(y\)축(직선 \(x=0\))에 대해서 대칭인 함수(정의역의 원소 \(x\)에 대하여 \(f(-x)=f(x)\)인 함수)를 우함수(even function), 원점에 대해서 대칭인 함수(정의역의 원소 \(x\)에 대하여 \(f(-x)=-f(x)\)인 함수)를 기함수(odd function)라고 한다. 

(왼쪽의 함수는 우함수, 오른쪽의 함수는 기함수)

 

기존의 함수로부터 새로운 함수 만들기:

수직, 수평이동: \(c>0\)이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프를

(1) 위쪽으로 \(c\)만큼 이동해서 \(y=f(x)+c\)의 그래프를 얻는다.

(2) 아래쪽으로 \(c\)만큼 이동해서 \(y=f(x)-c\)의 그래프를 얻는다.

(3) 오른쪽으로 \(c\)만큼 이동해서 \(y=f(x-c)\)의 그래프를 얻는다.

(4) 왼쪽으로 \(c\)만큼 이동해서 \(y=f(x+c)\)의 그래프를 얻는다.

수직, 수평 확대 및 대칭이동: \(c>1\)이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프를

(1) 수직으로 \(c\)배 늘여 \(y=cf(x)\)의 그래프를 얻는다.

(2) 수직으로 \(c\)배 줄여 \(\displaystyle y=\frac{1}{c}f(x)\)의 그래프를 얻는다.

(3) 수평으로 \(c\)배 줄여 \(y=f(cx)\)의 그래플를 얻는다.

(4) 수평으로 \(c\)배 늘여 \(\displaystyle y=f\left(\frac{1}{c}x\right)\)의 그래프를 얻는다.

(5) \(x\)축에 대해 대칭시켜 \(y=-f(x)\)의 그래프를 얻는다.

(6) \(y\)축에 대해 대칭시켜 \(y=f(-x)\)의 그래프를 얻는다.

 정의역이 각각 \(A\), \(B\)인 함수 \(f\), \(g\)에 대하여 이 두 함수의 합, 차, 곱, 몫은$$\begin{align*}&(f+g)(x)=f(x)+g(x),\,(f-g)(x)=f(x)-g(x)\\&(fg)(x)=f(x)g(x),\,\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)\neq0)\end{align*}$$으로 정의되고, 이 함수들(합, 차, 곱)의 정의역은 \(f\)와 \(g\)의 공통정의역인 \(A\cap B\)이고, 특히 몫의 정의역은 \(\{x\in A\cap B\,|\,g(x)\neq0\}\)이다.

\(f\)와 \(g\)를 각각 \(x\)에 대한 함수라 하고, \(x\)는 \(g(x)\)의 정의역에 속해있다고 하자. \(g(x)\)가 \(f\)의 정의역에 속해있으면, \(g(x)\)에서 \(f\)의 값을 계산한 \(f(g(x))\)를 구할 수 있다. 이것은 한 함수의 출력이 다음 함수의 입력으로 사용되는것과 같고, 그 결과인 \(x\)에서 \(f(g(x))\)로의 대응을 나타내는 새로운 함수를 \(g\)와 \(f\)의 합성함수(composition function)라고 하고 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)로 나타낸다.

(함수의 합성)

이때 주의할 점은 일반적으로 등식 \(f\circ g=g\circ f\)이 성립하지 않는다는 점이다. 예를들어 \(f(x)=x^{2}\), \(g(x)=x-3\)일 때,$$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))=f(x-3)=(x-3)^{2}\\(g\circ f)(x)&=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}-3\end{align*}$$이므로 \((g\circ f)(x)\neq(f\circ g)(x)\)이다.

함수 \(f\)의 정의역 안의 서로 다른 임의의 두 원소에 대한 함수값이 서로 다를 때(정의역의 임의의 원소 \(x_{1},\,x_{2}(x_{1}\neq x_{2})\)에 대하여 \(f(x_{1})\neq f(x_{2})\)), 함수 \(f\)를 일대일함수 또는 단사함수(one-to-one function 또는 injective function)라고 하고, 공역과 치역이 같은 함수를 전사함수(surjective)라고 한다.

실수 전체(\((-\infty,\,\infty)\))에서 정의된 함수 \(y=x^{2}\)는 일대일 함수가 아니지만 정의역을 \([0,\,\infty)\)로 제한하면 일대일 함수가 된다.

모든 치역을 지나는 수평선과 함수의 그래프가 단 한번씩만 만다면 이 함수는 일대일 함수이고, 두번 이상 만나는 수평선이 있다면 이 함수는 일대일 함수가 아니다. 이 방법을 수평선 검사(horizontal line test)라고 한다.

\(y=x^{3}\)은 수평선과 단 한점에서 만나기 때문에 일대일 함수이나 \(y=x^{2}\)는 수평선과 두점에서 만나기 때문에(원점제외) 일대일 함수가 아니다.

\(y=f(x)\)가 일대일 함수이면, 치역의 임의의 원소 \(y\)에 대하여 정의역의 단 하나의 원소 \(x\)가 대응되고, 따라서 \(f\)의 치역이 모든 원소에서 \(f\)의 정의역의 모든 원소로 대응이 된다. 이러한 함수를 \(f\)의 역함수(inverse function)라 하고, \(f^{-1}\)로 나타낸다. 즉, \(f(a)=b\)이면, \(f^{-1}(b)=a\)이다.

주의할 점은 \(f^{-1}\)에서 \(-1\)이 지수를 뜻하지 않는다는 점이다. 따라서 \(f^{-1}\)은 \(f\)의 역수가 아닌 역함수이다.

\(f\)의 정의역은 \(f^{-1}\)의 치역과 같고, \(f\)의 치역은 \(f^{-1}\)의 정의역과 같다. 또한 \(f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x\)이다.

역함수를 구하는 방법:

1. 함수 \(y=f(x)\)가 일대일 함수인지를 판별한다. 일대일 대응이 아니면 역함수를 갖지 않고, 일대일 대응이면 역함수 \(f^{-1}\)를 갖는다.

2. \(y=f(x)\)에서 변수 \(x\), \(y\)를 서로 바꾼다. 즉 \(x=f(y)\)

3. 가능하면 \(y\)에 대해서 정리하여 \(y=f^{-1}(x)\)의 형태로 나타낸다.

4. \(f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x\)가 성립함을 확인한다.

함수 \(f\)의 그래프와 역함수 \(f^{-1}\)의 그래프는 서로 직선 \(y=x\)에 대해 대칭이다.

(*참고: 때로는 일대일 함수가 아닌 함수의 정의역을 적당히 축소하여 일대일 함수를 만들 수 있다.)

참고자료:

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

미분적분학, 고영상 외 7인 저, 휴먼싸이언스