[일변수 미적분학] 4. 미분공식: 도함수의 계산

[일변수 미적분학] 4. 미분공식: 도함수의 계산

미분가능한 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\)

(2) \((cf)'(x)=cf'(x)\) (\(c\)는 상수)

(3) 곱의 미분법: \((fg)'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\)

(4) 몫의 미분법: \(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}\) (단, \(g(x)\neq0\))

증명: (1)~(3) 힌트만 남긴다. 이 힌트에 미분계수의 정의를 적용한다.

(1): \(\displaystyle\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f(x)+g(x)\}}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\)

(2): \(\displaystyle\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=c\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

(3): \(\displaystyle\begin{align*}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}&=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\&=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x)\end{align*}\)

(4): 먼저 \(\displaystyle\frac{1}{g(x)}\,(g(x)\neq0)\)의 도함수(힌트: \(\displaystyle\left\{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right\}\frac{1}{h}=-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\frac{1}{g(x+h)g(x)}\))를 구한 다음 (3)에서 \(g(x)\)대신 \(\displaystyle\frac{1}{g(x)}\)를 대입해 적용한다.  

(1) 상수함수 \(f(x)=c\)의 도함수는 \(f'(x)=0\)이다.

(2) 임의의 유리수 \(n\)에 대하여 \((x^{n})'=nx^{n-1}\)이다.

증명: (1) \(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{c-c}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{0}{h}}=0\)

(2) 

\(n\)이 양의 정수(자연수)일 때:$$(x^{n})'=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim_{h\,\rightarrow\,0}\frac{\left(x^{n}+\binom{n}{n-1}x^{n-1}h+\cdots+h^{n}\right)-x^{n}}{h}=nx^{n-1}$$

\(n\)이 음의 정수일 때: 양의 정수 \(m\)에 대하여 \(n=-m\)이고 \(\displaystyle y=x^{n}=x^{-m}=\frac{1}{x^{m}}\)이므로 \(yx^{m}=1\)이고 곱의 미분법과 음함수 미분법에 의해 \(\displaystyle y'x^{m}+ymx^{m-1}=y'x^{m}+mx^{-1}=0\)이므로 \(y'=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}\,(\because n=-m)\)이다.

\(n\)이 유리수일 때: \(\displaystyle n=\frac{p}{q}\,(\text{gcd}(p,\,q)=1,\,q\neq0)\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle y=x^{n}=x^{\frac{p}{q}}\)이므로 \(y^{q}=x^{p}\)이고 음함수 미분법에 의해 \(qy^{q-1}y'=qx^{\frac{p(q-1)}{q}}y'=px^{p-1}\)이므로$$y'=\frac{p}{q}x^{p-1-p+\frac{p}{q}}=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}=nx^{n-1}$$이다.

삼각함수의 도함수를 구하기 전에 삼각함수에 대한 극한값을 구해야 한다. 삼각함수에 대해서 다음 성질들이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\sin\theta}=0\)

(2) \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\cos\theta}=1\)

(3) \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin\theta}{\theta}}=1\)

(4) \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{\cos\theta-1}{\theta}}=0\)

증명: (1), (2)는 분명하기 때문에 증명할 필요가 없다. (3)을 증명해야 하는데 다음 그림을 이용하여 \(\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{2}\)일 때를 보인다.

삼각형 \(OAB\)의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times1\times1\times\sin\theta=\frac{1}{2}\sin\theta\), 부채꼴 \(OAB\)의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times1\times\theta=\frac{1}{2}\theta\), 삼각형 \(OAD\)의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times1\times\tan\theta=\frac{1}{2}\tan\theta\)이고 삼각형 \(OAB\)의 넓이는 부채꼴 \(OAB\)의 넓이보다 작고, 부채꼴 \(OAB\)의 넓이는 삼각형 \(OAD\)의 넓이보다 작다. 그러면 \(\displaystyle\frac{1}{2}\sin\theta<\frac{1}{2}\theta<\frac{1}{2}\tan\theta\)이고 \(\theta>0\)이므로 다음의 부등식이 성립한다.$$\cos\theta<\frac{\sin\theta}{\theta}<1$$여기서 \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{1}=1=\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\cos\theta}\)이므로 샌드위치 정리에 의해 \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{\sin\theta}{\theta}}=1\)이다.

이제 \(\displaystyle-\frac{\pi}{2}<\theta<0\)인 경우에 대해서 보이면 된다. \(x=-\theta\)라 하면, 부등식은 그대로 \(\displaystyle\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\)이고, \(\theta\,\rightarrow\,0-\)일 때 \(x\,\rightarrow\,0+\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\cos x}=1=\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{1}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\frac{\sin x}{x}}=1\)이고 \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0-}{\frac{\sin\theta}{\theta}}=1\)이다.

따라서 \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin\theta}{\theta}}=1\)이다.

(4) \(\displaystyle\frac{\cos\theta-1}{\theta}=\frac{\cos\theta-1}{\theta}\frac{\cos\theta+1}{\cos\theta+1}=-\sin\theta\frac{\sin\theta}{\theta}\frac{1}{\cos\theta+1}\)이고$$\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\sin\theta}=0,\,\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin\theta}{\theta}}=1,\,\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\cos\theta+1}}=\frac{1}{2}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0}{\frac{\cos\theta-1}{\theta}}=0\times1\times\frac{1}{2}=0\)이다. 

이제 삼각함수의 도함수를 구할 수 있다. 임의의 실수 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)가 성립한다. 

삼각함수의 도함수는 다음과 같다.

(1) \((\sin x)'=\cos x\)

(2) \((\cos x)'=-\sin x\)

(3) \((\tan x)'=\sec^{2}x\)

(4) \((\csc x)'=-\csc x\cot x\)  

(5) \((\sec x)'=\sec x\tan x\)

(6) \((\cot x)'=-\csc^{2}x\)  

증명:

(1) \(\displaystyle\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\frac{\sin x\cos h-\cos x\sin h-\sin x}{h}=\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\)이므로$$(\sin x)'=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}}=\sin x\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{\cos h-1}{h}}+\cos x\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin h}{h}}=\cos x$$이다.

(2) \(\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)이므로 \(\displaystyle u=\frac{\pi}{2}-x\)라 하면 \(\sin u=\cos x=y\)이고 \(\displaystyle\frac{dy}{du}=\cos u=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\), \(\displaystyle\frac{du}{dx}=-1\)이므로 연쇄법칙에 의해 \(\displaystyle(\cos x)'=-\sin x\)이다.

(3) \(\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)이므로 몫의 미분법에 의해$$(\tan x)'=\frac{(\sin x)'\cos x-(\cos x)'\sin x}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x$$이다.

((4), (5), (6)은 여러분의 몫)

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus, Stewart, Cengage Learning