[일변수 미적분학] 5. 지수함수와 로그함수의 성질과 그 도함수

[일변수 미적분학] 5. 지수함수와 로그함수의 성질과 그 도함수

임의의 양의 실수 \(a\)와 지수 \(x\)가 양의 정수 \(n\)이면,$$f(x)=a^{x}=a^{n}=a\cdot a\cdots a\,(n\,\text{times})$$이다.

\(x=0\)이면, \(a^{0}=1\)이고, \(x=-n\)(\(n\)은 양의 정수)이면, \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\),  \(x\)가 유리수, 즉 \(\displaystyle x=\frac{p}{q}\,(\text{gcd}(p,\,q)=1,\,q>0)\)이면, \(\displaystyle a^{x}=a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^{p}\)이다.

일반적으로 \(x\)가 임의의 실수이면 \(\displaystyle a^{x}=\lim_{r\,\rightarrow\,x}{a^{r}}\)(\(r\)은 유리수)로 정의하는데, 유리수를 무리수로 근사시킬 수 있기 때문이다.

지수법칙: 임의의 실수 \(s\), \(t\), \(a\), \(b\,(a,\,b>0)\)에 대하여

(1) \(a^{s}\cdot a^{t}=a^{s+t}\), (2) \(\left(a^{s}\right)^{t}=a^{st}\), (3) \((ab)^{s}=a^{s}b^{s}\),

(4) \(1^{s}=1\), (5) \(\displaystyle a^{-s}=\frac{1}{a^{s}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{s}\), (6) \(a^{0}=1\)

\(f(x)=a^{x}\,(a>0,\,a\neq1)\)인 형태의 함수를 \(a\)를 밑(base)으로 하는 \(x\)의 지수함수(exponential function)라고 한다.

(1) 함수 \(f(x)\)의 정의역은 실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)이다.

(2) \(a=1\)이면, \(f(x)=1^{x}=1\)인 상수함수가 되므로 제외하고, \(a=0\)인 경우도 제외한다.

(3) \(a<0\)인 경우도 제외한다.

지수함수의 그래프

\(f(x)=a^{x}\,(a>1)\)의 성질 정의역: \((-\infty,\,\infty)=\mathbb{R}\), 치역: \((0,\,\infty)\) \(x\)축과의 교점은 없고 \(y\)축과의 교점은 \((0,\,1)\) 수평점근선은 \(x\)축(\(x\,\rightarrow\,-\infty\)), \(f(x)\)는 증가하는 일대일함수

\(f(x)=a^{x}\,(0<a<1)\)의 성질 정의역: \((-\infty,\,\infty)=\mathbb{R}\), 치역: \((0,\,\infty)\) \(x\)축과의 교점은 없고 \(y\)축과의 교점은 \((0,\,1)\) 수평점근선은 \(x\)축(\(x\,\rightarrow\,-\infty\)), \(f(x)\)는 증가하는 일대일함수

무리수 \(e\)는 \(\displaystyle e=\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}\)로 정의되는 수이다.

지수함수 \(y=a^{x}\,(a>0,\,a\neq1)\)는 일대일함수이므로 방정식 \(x=a^{y}\,(a>0,\,a\neq1)\)로 정의되는 역함수를 가진다. 이를 \(a\)를 밑(base)으로 하는 \(x\)의 로그함수(logarithmic function)라 하고 \(y=\log_{a}x\)로 나타낸다.

다시 말해서 역함수의 공식 \(y=f^{-1}(x)\,\Leftrightarrow\,x=a^{y}\)를 사용하면

\(y=\log_{a}x\,(a>0,\,a\neq1,\,x>0)\,\Leftrightarrow\,x=a^{y}\,(a>0,\,a\neq1)\)를 얻는다.

\(f^{-1}(x)\)의 정의역은 \(f(x)\)의 치역과 같고, \(f^{-1}(x)\)의 치역은 \(f(x)\)의 정의역과 같으므로

로그함수의 정의역은 지수함수의 치역과 같고 \((0,\,\infty)\)이고, 로그함수의 치역은 지수함수의 정의역과 같고, \((-\infty,\,\infty)=\mathbb{R}\)이다.

지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계이기 때문에 \(y=\log_{a}x\)와 \(y=a^{x}\)의 그래프는 직선 \(y=x\)에 대해 대칭이다.

   (1) \(a>1\), (2) \(0<a<1\)

로그함수 \(y=\log_{a}x\)의 그래프는

(1) \(x\)축과의 교점은 \((1,\,0)\)이고, \(y\)축과의 교점은 없다.

(2) 수직점근선은 \(y\)축이다.

(3) \(a>1\)이면 증가함수이고, \(0<a<1\)이면 감소함수이다.

앞에서 정의했던 무리수 \(e\)를 밑으로 하는 로그함수를 자연로그함수(natural logarithm function)라 하고, \(y=\ln x\)로 나타낸다.

즉, \(y=\ln x(=\log_{e}x)\,\Leftrightarrow\,x=e^{y}\)

지수함수와 로그함수의 미분:

(1) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=1\), (2) \(\displaystyle(\ln|x|)'=\frac{1}{x}\), (3) \(\displaystyle(\ln|f(x)|)'=\frac{f'(x)}{f(x)}\) (\(f(x)\)는 미분가능한 함수이고, \(f(x)\neq0\)) 

(4) \(\displaystyle(\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a}\,(a>0,\,a\neq1)\)

증명:

(1) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+x)}{x}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}=\ln\left(\lim_{x\,\rightarrow\,0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}\right)=\ln e=1\)

(2) \(f(x)=\ln x\), \(x>0\)이라 하자. 그러면$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\frac{1}{h}\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)=\frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}$$이고 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}}=1\)이므로 따라서 \(x>0\)일 때, \(\displaystyle(\ln x)'=\frac{1}{x}\)이다.

\(x<0\)인 경우는 \(|x|=-x\)이므로 \(y=\ln|x|=\ln(-x)\)이고, 연쇄법칙에 의해$$(\ln|x|)'=(\ln(-x))'=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}$$이다. 따라서 \(\displaystyle(\ln|x|)'=\frac{1}{x}\).

(3) 연쇄법칙에 의해\(\displaystyle\left(\ln|f(x)|\right)'=\frac{1}{f(x)}f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\)이다.

(4) \(\displaystyle\log_{a}x=\frac{\log_{e}x}{\log_{e}a}=\frac{\ln x}{\ln a}\)이므로, (2)에 의해 \(\displaystyle(\log_{a}x)'=\frac{1}{x\ln a}\)이다.

(5) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=1\), (6) \(\displaystyle(e^{x})'=e^{x}\), (7) \(\displaystyle(a^{x})'=a^{x}\ln a\,(a>0,\,a\neq1)\)

증명:

(5): \(y=e^{x}-1\)이라 하면 \(x=\ln(1+y)\)이고, \(x\,\rightarrow\,0\)일 때, \(y\,\rightarrow\,0\)이므로$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=\lim_{y\,\rightarrow\,0}{\frac{y}{\ln(1+y)}}=\frac{1}{\displaystyle\lim_{y\,\rightarrow\,0}{\frac{\ln(1+y)}{y}}}=\frac{1}{1}=1$$

(6) \(\displaystyle(e^{x})'=\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{e^{h}-1}{h}}=e^{x}\cdot1=e^{x}\)

(7) \(a^{x}=e^{\ln a^{x}}=e^{x\ln a}\)이므로, 연쇄법칙에 의해$$(a^{x})'=\left(e^{x\ln a}\right)'=\ln a\left(e^{x\ln a}\right)=a^{x}\ln a$$

참고: \(y=e^{x}\,\Leftrightarrow\,x=\ln y\)이므로, 역함수 미분법에 의해$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{y}}=y=e^{x}$$이다.

함수 \(y=x^{x}\,(x>0)\)는 일반적으로 미분하기가 복잡하다. 이 함수의 양 변에 자연로그를 취하면 \(\ln|y|=x\ln|x|\)이고, \(x\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x+1\)이므로, \(\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=x^{x}(\ln x+1)\)이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

http://koc.chunjae.co.kr/Dic/dicDetail.do?idx=32765

http://koc.chunjae.co.kr/Dic/dicDetail.do?idx=32766