[일변수 미적분학] 2. 함수의 극한과 연속

[일변수 미적분학] 2. 함수의 극한과 연속

함수 $f(x)$가 임의의 수 $a$를 포함하는 어떤 구간에서 $a$ 이외의 모든 $x$에 대하여 정의되었다고 하자. 이때 $x$를 $a$에 가까이 접근시킬 때 $f(x)$의 값이 어떤 수 $L$에 한없이 가까이 가면, "$x$가 $a$에 접근할 때, $f(x)$는 극한값(limit) $L$에 수렴(converge)한다"고 하고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L$로 나타낸다. 이를 $x\,\rightarrow\,a$일 때 $f(x)\,\rightarrow\,L$로 나타내기도 한다.

여기서 주목할 점은 $x\neq a$라는 점이다. 이것은 $x$가 $a$에 접근할 때 $f(x)$의 극한값을 찾는데 있어서 $x=a$인 경우는 절대 고려하지 않는다는 것을 의미한다($a$의 근방(부근)에서 $f$가 어떻게 정의되는가 하는 것만이 문제이다). 

가운데 그래프는 $f(a)\neq L$, 오른쪽 그래프는 $x=a$에서의 함숫값이 정의되어 있지 않다. 세 그래프 모두 극한값은 $L$로 동일하다.

$x<a$인 범위에서 $x$가 $a$에 접근할 때, 즉 수직선 상에서 $x$가 $a$의 왼쪽에서 $a$에 접근할 때 $f(x)$가 어떤 수 $L$에 한없이 접근하면 극한값을 좌극한(left limit)이라 하며 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}=L$로 나타낸다.

$x>a$인 범위에서 $x$가 $a$에 접근할 때, 즉 수직선 상에서 $x$가 $a$의 왼쪽에서 $a$에 접근할 때 $f(x)$가 어떤 수 $L$에 한없이 접근하면 극한값을 우극한(right limit)이라 하며 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=L$로 나타낸다.

(좌극한과 우극한)

$\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L$일 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}=L$이다.

함수 $f(x)$, $g(x)$가 $x=a$의 근방에서 정의되었고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\beta$라 하자. 그러면 다음 성질들이 성립한다.

(1) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\{f(x)+g(x)\}}=\alpha+\beta$

(2) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{cf(x)}=c\alpha$($c$는 상수)

(3) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)g(x)}=\alpha\beta$

(4) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\alpha}{\beta}(\beta\neq0)$

함수 $f(x)$가 $x=a$에서 수렴(특정한 값으로 수렴)하지 않으면 발산(diverge)한다고 한다. 

함수 $f(x)$, $g(x)$가 $x=a$의 근방에서 정의되었고 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\infty$(양의 무한대로 발산), $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=\beta$라 하면 다음 성질들이 성립한다.

(1) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\{f(x)+g(x)\}}=\infty$

(2) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{cf(x)}=\begin{cases}\infty&\,(c>0)\\-\infty&\,(c<0)\end{cases}$

(3) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)g(x)}=\begin{cases}\infty&\,(\beta>0)\\-\infty&\,(\beta<0)\end{cases}$

(4) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{1}{f(x)}}=0$

*(1), (2)의 결과는 $x\,\rightarrow\,\infty$또는 $x\,\rightarrow\,-\infty$인 경우의 극한값을 생각할 때도 성립한다.

$f(x)$, $g(x)$가 $x=a$의 근방에서 정의된 함수로 $a$의 근방의 모든 $x$에 대하여 $f(x)\leq g(x)$를 만족하고, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha$, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=\beta$이면, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha\leq\beta=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}$이다.

$f$, $g$, $h$가 $x=a$의 근방에서 정의된 함수로 $a$의 근방의 모든 $x$에 대하여 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$이고, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{h(x)}=L$이면, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L$이다. 이 점리는 샌드위치 정리로 불리기도 한다.

    (샌드위치 정리)

함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 정의되었다고 하자. 이 구간 안의 한 점 $x=a$에서

(1) 함숫값 $f(a)$가 정의되고, 극한값 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}$가 존재하고

(2) $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=f(a)$

이면, 함수 $f$는 $x=a$에서 연속(continuous)이라고 한다. 또한 함수 $f$가 정의역의 모든 점에서 연속이면 $f$는 정의역에서 연속이라고 한다. 연속이 아니면 불연속이라고 한다.

 

함수 $f(x)$와 $g(x)$가 $x=a$에서 연속이면, 다음의 각 함수들도 $x=a$에서 연속이다.

(1) $\alpha f(x)+\beta g(x)$($\alpha$와 $\beta$는 상수)

(2) $f(x)g(x)$

(3) $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$(단, $g(a)\neq0$)

함수 $g(x)$가 $x=a$에서 연속이고, $f(y)$가 $y=g(a)$에서 연속이면, 합성함수 $(f\circ g)(x)$도 $x=a$에서 연속이다.

(중간값 정리) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 연속이고, $f(a)<N<f(b)$이면, $f(c)=N$을 만족하는 $c\in(a,\,b)$가 존재한다.

(중간값 정리에 의해 $f(c)=N$인 $c$가 존재한다. 중간값 정리는 방정식의 근의 위치를 확인하는데 유용하다.)

(최댓값, 최솟값 정리) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,\,b]$에서 연속이면, $f(x)$는 $[a,\,b]$에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

참고자료:

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스