[일변수 미적분학] 2. 함수의 극한과 연속

[일변수 미적분학] 2. 함수의 극한과 연속

함수 \(f(x)\)가 임의의 수 \(a\)를 포함하는 어떤 구간에서 \(a\) 이외의 모든 \(x\)에 대하여 정의되었다고 하자. 이때 \(x\)를 \(a\)에 가까이 접근시킬 때 \(f(x)\)의 값이 어떤 수 \(L\)에 한없이 가까이 가면, "\(x\)가 \(a\)에 접근할 때, \(f(x)\)는 극한값(limit) \(L\)에 수렴(converge)한다"고 하고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L\)로 나타낸다. 이를 \(x\,\rightarrow\,a\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,L\)로 나타내기도 한다.

여기서 주목할 점은 \(x\neq a\)라는 점이다. 이것은 \(x\)가 \(a\)에 접근할 때 \(f(x)\)의 극한값을 찾는데 있어서 \(x=a\)인 경우는 절대 고려하지 않는다는 것을 의미한다(\(a\)의 근방(부근)에서 \(f\)가 어떻게 정의되는가 하는 것만이 문제이다). 

가운데 그래프는 \(f(a)\neq L\), 오른쪽 그래프는 \(x=a\)에서의 함숫값이 정의되어 있지 않다. 세 그래프 모두 극한값은 \(L\)로 동일하다.

\(x<a\)인 범위에서 \(x\)가 \(a\)에 접근할 때, 즉 수직선 상에서 \(x\)가 \(a\)의 왼쪽에서 \(a\)에 접근할 때 \(f(x)\)가 어떤 수 \(L\)에 한없이 접근하면 극한값을 좌극한(left limit)이라 하며 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}=L\)로 나타낸다.

\(x>a\)인 범위에서 \(x\)가 \(a\)에 접근할 때, 즉 수직선 상에서 \(x\)가 \(a\)의 왼쪽에서 \(a\)에 접근할 때 \(f(x)\)가 어떤 수 \(L\)에 한없이 접근하면 극한값을 우극한(right limit)이라 하며 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=L\)로 나타낸다.

(좌극한과 우극한)

\(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a+}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,a-}{f(x)}=L\)이다.

함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 \(x=a\)의 근방에서 정의되었고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\beta\)라 하자. 그러면 다음 성질들이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\{f(x)+g(x)\}}=\alpha+\beta\)

(2) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{cf(x)}=c\alpha\)(\(c\)는 상수)

(3) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)g(x)}=\alpha\beta\)

(4) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\alpha}{\beta}(\beta\neq0)\)

함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 수렴(특정한 값으로 수렴)하지 않으면 발산(diverge)한다고 한다. 

함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 \(x=a\)의 근방에서 정의되었고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\infty\)(양의 무한대로 발산), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=\beta\)라 하면 다음 성질들이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\{f(x)+g(x)\}}=\infty\)

(2) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{cf(x)}=\begin{cases}\infty&\,(c>0)\\-\infty&\,(c<0)\end{cases}\)

(3) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)g(x)}=\begin{cases}\infty&\,(\beta>0)\\-\infty&\,(\beta<0)\end{cases}\)

(4) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{1}{f(x)}}=0\)

*(1), (2)의 결과는 \(x\,\rightarrow\,\infty\)또는 \(x\,\rightarrow\,-\infty\)인 경우의 극한값을 생각할 때도 성립한다.

\(f(x)\), \(g(x)\)가 \(x=a\)의 근방에서 정의된 함수로 \(a\)의 근방의 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x)\leq g(x)\)를 만족하고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha\), \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=\beta\)이면, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=\alpha\leq\beta=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}\)이다.

\(f\), \(g\), \(h\)가 \(x=a\)의 근방에서 정의된 함수로 \(a\)의 근방의 모든 \(x\)에 대하여 \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\)이고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{h(x)}=L\)이면, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=L\)이다. 이 점리는 샌드위치 정리로 불리기도 한다.

    (샌드위치 정리)

함수 \(f(x)\)가 어떤 구간에서 정의되었다고 하자. 이 구간 안의 한 점 \(x=a\)에서

(1) 함숫값 \(f(a)\)가 정의되고, 극한값 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}\)가 존재하고

(2) \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=f(a)\)

이면, 함수 \(f\)는 \(x=a\)에서 연속(continuous)이라고 한다. 또한 함수 \(f\)가 정의역의 모든 점에서 연속이면 \(f\)는 정의역에서 연속이라고 한다. 연속이 아니면 불연속이라고 한다.

 

함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이면, 다음의 각 함수들도 \(x=a\)에서 연속이다.

(1) \(\alpha f(x)+\beta g(x)\)(\(\alpha\)와 \(\beta\)는 상수)

(2) \(f(x)g(x)\)

(3) \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\)(단, \(g(a)\neq0\))

함수 \(g(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이고, \(f(y)\)가 \(y=g(a)\)에서 연속이면, 합성함수 \((f\circ g)(x)\)도 \(x=a\)에서 연속이다.

(중간값 정리) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(f(a)<N<f(b)\)이면, \(f(c)=N\)을 만족하는 \(c\in(a,\,b)\)가 존재한다.

(중간값 정리에 의해 \(f(c)=N\)인 \(c\)가 존재한다. 중간값 정리는 방정식의 근의 위치를 확인하는데 유용하다.)

(최댓값, 최솟값 정리) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면, \(f(x)\)는 \([a,\,b]\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

참고자료:

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스