[일변수 미적분학] 16. 곡선의 길이, 회전체의 겉넓이

16. 곡선의 길이, 회전체의 겉넓이

곡선의 길이

함수 \(y=f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 도함수를 갖는다고 하자. 위 그림과 같이 곡선을 \(n\)개의 점 \(P_{i}(x_{i},\,y_{i})\,(i=1,\,\cdots,\,n)\)을 이용하여 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b\)로 분할하고 \(\Delta x=x_{i}-x_{i-1}\)이라고 하자.

이때 구하려는 곡선의 길이는$$L=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\overline{P_{i-1}P_{i}}}}$$이고, 평균값의 정리를 이용하면$$\begin{align*}\overline{P_{i-1}P_{i}}&=\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})}=\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(x_{i}-x_{i-1})^{2}\{f(x_{i})-f(x_{i-1})\}^{2}}\\&=(x_{i}-x_{i-1})\sqrt{1+\left\{\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}\right\}^{2}}=(x_{i}-x_{i-1})\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\\&=\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x\,\left(\because\,f'(x_{i}^{*})=\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}},\,x_{i-1}\leq x_{i}^{*}\leq x_{i}\right)\end{align*}$$이다.따라서$$L=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x}}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$이다.

(1) 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 도함수를 갖는 곡선 \(y=f(x)\)의 \(x=a\)에서 \(x=b\)까지의 길이는$$L=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx}$$이다.

(2) 구간 \([c,\,d]\)에서 연속인 도함수를 갖는 곡선 \(x=g(y)\)의 \(y=c\)에서 \(y=d\)까지의 길이는$$L=\int_{c}^{d}{\sqrt{1+\{g'(y)\}^{2}}dy}=\int_{c}^{d}{\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}dy}$$이다.

(3) 곡선의 방정식이 매개변수방정식 \(x=f(t),\,y=g(t)\,(\alpha\leq t\leq \beta)\)로 주어지고 \(f',\,g'\)이 구간 \([\alpha,\,\beta]\)에서 연속이면, 구간 \([\alpha,\,\beta]\)에서의 곡선의 길이는$$L=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\{f'(t)\}^{2}+\{g'(t)\}^{2}}dt}=\int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}$$이다. \(\displaystyle\left(\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)},\,dx=x'(t)dt\right)\)

(4) 곡선의 방정식이 \(r=f(\theta)\)와 같이 극방정식을 표현되면, \(\theta=\alpha\)에서 \(\theta=\beta\)까지 곡선의 길이는$$L=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{2}}d\theta}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}d\theta}$$이다. \(\displaystyle\left(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta}\right)\)

회전체의 겉넓이

 

왼쪽 그림에서 색칠된 도형의 옆면의 넓이를 구하자. 그 넓이를 \(A\)라고 하면 도형의 닮음으로부터$$\frac{l_{1}}{r_{1}}=\frac{l_{1}+l}{r_{2}}$$이고, \(r_{2}l_{1}=r_{1}l_{1}+r_{1}l\), \((r_{2}-r_{1})l_{1}=r_{1}l\)이 되는데 이때$$A=\pi r_{2}(l_{1}+l)-\pi r_{1}l_{1}=\pi\{(r_{2}-r_{1})l_{1}+r_{2}l_{1}\}$$이므로 \(A=\pi(r_{1}l+r_{2}l)\)이고, \(\displaystyle r=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}\)라고 하면, \(A=2\pi rl\)이 된다.

이 결과를 이용하여 \(x=a\)에서 \(x=b\)까지 \(x\)축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이 \(S\)를 구하자. 오른쪽 아래 그림의 빨간 띠 부분의 겉넓이를 구하자. 먼저 구간 \([a,\,b]\)를 \(a=x_{0}<x_{1}<\cdots,<x_{n}=b\)로 분할하고, \(\Delta x=x_{i}-x_{i-1}\), \(P_{i}(x_{i},\,y_{i})=P_{i}(x_{i},\,f(x_{i}))\)라 하면, 빨간 띠 부분의 겉넓이는$$2\pi\frac{y_{i}+y_{i-1}}{2}\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x$$이고 여기서 \(x_{i}^{*}\)는 \(\Delta x\)가 가장 작을 때, \(x_{i-1}\)와 \(x_{i}\)사이에 있는 점이다.$$2\pi\frac{y_{i}+y_{i-1}}{2}\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x\approx2\pi f(x_{i}^{*})\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x$$이고, 이 분할로 얻어지는 겉넓이들의 합 \(S_{n}\)은$$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{2\pi f(x_{i}^{*})\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x}$$이고 따라서 구하려는 회전체의 겉넓이 \(S\)는$$S=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$이다.

여기서 \(y=c\)에서 \(y=d\)까지 \(y\)축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이는$$S=2\pi\int_{c}^{d}{g(y)\sqrt{1+\{g'(y)\}^{2}}dy}$$이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning