[일변수 미적분학] 16. 곡선의 길이, 회전체의 겉넓이

16. 곡선의 길이, 회전체의 겉넓이

곡선의 길이

함수 $y=f(x)$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 도함수를 갖는다고 하자. 위 그림과 같이 곡선을 $n$개의 점 $P_{i}(x_{i},\,y_{i})\,(i=1,\,\cdots,\,n)$을 이용하여 $a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b$로 분할하고 $\Delta x=x_{i}-x_{i-1}$이라고 하자.

이때 구하려는 곡선의 길이는 $$L=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\overline{P_{i-1}P_{i}}}}$$ 이고, 평균값의 정리를 이용하면 $$\begin{align*}\overline{P_{i-1}P_{i}}&=\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})}=\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(x_{i}-x_{i-1})^{2}\{f(x_{i})-f(x_{i-1})\}^{2}}\\&=(x_{i}-x_{i-1})\sqrt{1+\left\{\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}\right\}^{2}}=(x_{i}-x_{i-1})\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\\&=\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x\,\left(\because\,f'(x_{i}^{*})=\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}},\,x_{i-1}\leq x_{i}^{*}\leq x_{i}\right)\end{align*}$$ 이다.따라서 $$L=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x}}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$ 이다.

(1) 구간 $[a,\,b]$에서 연속인 도함수를 갖는 곡선 $y=f(x)$의 $x=a$에서 $x=b$까지의 길이는 $$L=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}dx}$$ 이다.

(2) 구간 $[c,\,d]$에서 연속인 도함수를 갖는 곡선 $x=g(y)$의 $y=c$에서 $y=d$까지의 길이는 $$L=\int_{c}^{d}{\sqrt{1+\{g'(y)\}^{2}}dy}=\int_{c}^{d}{\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}dy}$$ 이다.

(3) 곡선의 방정식이 매개변수방정식 $x=f(t),\,y=g(t)\,(\alpha\leq t\leq \beta)$로 주어지고 $f',\,g'$이 구간 $[\alpha,\,\beta]$에서 연속이면, 구간 $[\alpha,\,\beta]$에서의 곡선의 길이는 $$L=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\{f'(t)\}^{2}+\{g'(t)\}^{2}}dt}=\int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}$$ 이다. $\displaystyle\left(\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)},\,dx=x'(t)dt\right)$

(4) 곡선의 방정식이 $r=f(\theta)$와 같이 극방정식을 표현되면, $\theta=\alpha$에서 $\theta=\beta$까지 곡선의 길이는 $$L=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^{2}}d\theta}=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}d\theta}$$ 이다. $\displaystyle\left(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta}\right)$

회전체의 겉넓이

 

왼쪽 그림에서 색칠된 도형의 옆면의 넓이를 구하자. 그 넓이를 $A$라고 하면 도형의 닮음으로부터 $$\frac{l_{1}}{r_{1}}=\frac{l_{1}+l}{r_{2}}$$ 이고, $r_{2}l_{1}=r_{1}l_{1}+r_{1}l$, $(r_{2}-r_{1})l_{1}=r_{1}l$이 되는데 이때 $$A=\pi r_{2}(l_{1}+l)-\pi r_{1}l_{1}=\pi\{(r_{2}-r_{1})l_{1}+r_{2}l_{1}\}$$ 이므로 $A=\pi(r_{1}l+r_{2}l)$이고, $\displaystyle r=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}$라고 하면, $A=2\pi rl$이 된다.

이 결과를 이용하여 $x=a$에서 $x=b$까지 $x$축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이 $S$를 구하자. 오른쪽 아래 그림의 빨간 띠 부분의 겉넓이를 구하자. 먼저 구간 $[a,\,b]$를 $a=x_{0}<x_{1}<\cdots,<x_{n}=b$로 분할하고, $\Delta x=x_{i}-x_{i-1}$, $P_{i}(x_{i},\,y_{i})=P_{i}(x_{i},\,f(x_{i}))$라 하면, 빨간 띠 부분의 겉넓이는 $$2\pi\frac{y_{i}+y_{i-1}}{2}\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x$$ 이고 여기서 $x_{i}^{*}$는 $\Delta x$가 가장 작을 때, $x_{i-1}$와 $x_{i}$사이에 있는 점이다. $$2\pi\frac{y_{i}+y_{i-1}}{2}\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x\approx2\pi f(x_{i}^{*})\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x$$ 이고, 이 분할로 얻어지는 겉넓이들의 합 $S_{n}$은 $$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{2\pi f(x_{i}^{*})\sqrt{1+\{f'(x_{i}^{*})\}^{2}}\Delta x}$$ 이고 따라서 구하려는 회전체의 겉넓이 $S$는 $$S=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$ 이다.

여기서 $y=c$에서 $y=d$까지 $y$축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이는 $$S=2\pi\int_{c}^{d}{g(y)\sqrt{1+\{g'(y)\}^{2}}dy}$$ 이다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning