[일변수 미적분학] 18. 급수의 수렴판정, 교대급수, 절대수렴급수

18. 급수의 수렴판정, 교대급수, 절대수렴급수

비교판정법(comparison test)

모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(0\leq a_{n}\leq b_{n}\)일 때

(1) 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{b_{i}}\)가 수렴하면, 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)도 수렴하고,

(2) 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)가 발산하면, 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{b_{i}}\)도 발산한다.((1)의 대우)

비 판정법(ratio test)

양항급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=r\)이라고 하자.

(1) \(r<1\)이면, 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)는 수렴하고

(2) \(r>1\)이면, 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)는 발산하고

(3) \(r=1\)이면, 급수의 수렴성을 판정할 수 없다.(다른 방법으로 판정해야 한다)

적분 판정법(integral test)

구간 \([1,\,\infty)\)에서 정의된 함수 \(f\)가 연속인 단조감소함수이고, 모든 \(x\in[1,\,\infty)\)에 대하여 \(f(x)>0\)이라 하자.

이때 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}\)이 수렴하기 위한 필요충분조건은 이상적분 \(\displaystyle\int_{1}^{\infty}{f(x)dx}\)가 수렴하는 것이다.

증명: \(f\)가 단조감소함수이므로 \(k\leq x\leq k+1\)에 대하여 \(f(k+1)\leq f(x)\leq f(k)\)이고,$$f(k+1)=\{(k+1)-k\}f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}{f(x)dx}\leq\{(k+1)-k\}f(k)$$이므로$$\sum_{k=1}^{n}{f(k+1)}\leq\int_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq\sum_{k=1}^{n}{f(k)}$$이고, 이 부등식으로부터 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}\)과 \(\displaystyle\int_{1}^{\infty}{f(x)dx}\)는 동시에 수렴 또는 발산함을 알 수 있다.

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{p}}}\,(p>0)\)는 \(p-\)급수로 알려진 급수이다. 적분판정법을 이용하여 이 \(p-\)급수가 어떤 조건에서 수렴하는지 발산하는지를 구하자.

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{p}}\)라 하면, \(f(x)\)는 \([1,\,\infty)\)에서 양수이고 단조감소함수이다.

\(p\neq1\)일 때 \(\displaystyle\int_{1}^{n}{\frac{1}{x^{p}}dx}=\left[\frac{1}{1-p}x^{1-p}\right]_{1}^{n}=\frac{n^{1-p}-1}{1-p}\)이므로$$\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{p}}dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{1}^{n}{\frac{1}{x^{p}}dx}}=\begin{cases}\frac{1}{p-1}&\,(p>1)\\ \infty&\,(0<p<1)\end{cases}$$이다. \(p=1\)이면,$$\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x}dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\ln n}=\infty$$이므로 따라서 \(p-\)급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{p}}}\)는 \(p>1\)일 때 수렴하고, \(0<p\leq1\)일 때 발산한다.

교대급수(alternating series)

교대급수는 다음과 같은 형태의 급수이다.$$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}a_{n}}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}-a_{6}+\cdots$$여기서 \(a_{n}>0\)이다.

교대급수 판정법(alternating series test)

모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}>0\)인 교대급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}a_{n}}\)은 \(\{a_{n}\}\)이 단조감소수열이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0\)이면, 수렴한다.

증명: \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}a_{k}}\)라 하면,$$\begin{align*}&S_{2n}=a_{1}-(a_{2}-a_{3})-(a_{4}-a_{5})-\cdots-(a_{2n-2}-a_{2-n1})-a_{2n}\leq a_{1}\\&S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+1}-a_{2n-2}\geq0\end{align*}$$이다.

따라서 수열 \(\{S_{2n}\}\)은 양항으로 이루어진 비감소수열이고 수렴한다. 이 극한값을 \(S\)라고 하면 \(S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}\)이므로, 이 등식의 양변에 극한을 적용하면$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2n+1}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(S_{2n}+a_{2n+1})}=S$$이다. 그러므로 부분합으로 이루어진 수열 \(\{S_{n}\}\)은 수렴하며 따라서 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}a_{n}}\)도 수렴한다.

수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 수렴하면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴한다.

증명: 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(-|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|\)이므로 \(0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq2|a_{n}|\)이다.

급수 \(\displaystyle2\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 수렴하므로 비교판정법에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(a_{n}+|a_{n}|)}\)로 수렴한다.

이때 \(a_{n}=(a_{n}+|a_{n}|)-|a_{n}|\)이므로 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{(a_{n}+|a_{n}|)}-\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이고, 따라서 수렴한다.

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 수렴하면, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 절대수렴(absolutely convergent)한다고 한다.

급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 수렴하지만 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|a_{n}|}\)이 발산하면, 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 조건수렴(conditionally convergent)한다고 한다. 

(1) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(|a_{n}|\leq|b_{n}|\)이고, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|b_{n}|}\)이 수렴하면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 절대수렴한다.

(2) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n}}{b_{n}}\right|}=L>0\)이고 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{|b_{n}|}\)이 수렴하면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 절대수렴한다.

(3) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}\neq0\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=r\)이라 하자.

(i) \(r<1\)이면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 절대수렴하고

(ii) \(r>1\)이면, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}\)은 발산하며

(iii) \(r=1\)이면, 어떠한 판정도 내릴 수 없다.(다른 방법으로 판정해야 한다) 

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning