[일변수 미적분학] 17. 무한수열, 무한급수

17. 무한수열, 무한급수

정의역이 자연수인 집합(자연수의 부분집합)의 함수 \(a_{n}\,:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)을 무한수열(infinite sequence)이라고 한다.

\(M_{1}\in\mathbb{R}\)이 존재해서 \(a_{n}\leq M_{1}\)이면, \(\{a_{n}\}\)을 위로 유계(bounded above)인 수열이라 하고,

\(M_{2}\in\mathbb{R}\)이 존재해서 \(a_{n}\geq M_{2}\)이면, \(\{a_{n}\}\)을 아래로 유계(bounded below)인 수열이라고 한다.

\(M',\,M''\in\mathbb{R}\,(M'<M'')\)이 존재해서 \(M'\leq a_{n}\leq M''\)이면, \(\{a_{n}\}\)을 유계수열(bounded sequence)이라고 한다. \(\{a_{n}\}\)이 유계수열일 필요충분조건은 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(C>0\)가 존재해서 \(|a_{n}|\leq C\)인 것이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)이 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(a\in\mathbb{R}\)로 수렴하면, \(\{a_{n}\}\)은 \(a\)로 수렴(convergent)한다고 하고, 다음과 같이 나타낸다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$$수렴하지 않는 경우를 발산(divergent)한다고 한다. 

 

수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여

(1) \(\alpha\in\mathbb{R}\)가 다음 조건을 만족하면, \(\alpha\)를 \(\{a_{n}\}\)의 최소상계(least upper bound)라 하고, 기호로 \(\sup a_{n}=\alpha\)로 나타낸다.

(i) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(a_{n}\leq\alpha\)

(ii) \(\alpha'<\alpha\)이면, 적당한 \(a_{n}\)이 존재해서 \(\alpha'<a_{n}\leq\alpha\)이다.

(2) \(\beta\in\mathbb{R}\)가 다음 조건을 만족하면, \(\beta\)를 \(\{a_{n}\}\)의 최대하계(greatest lower bound)라 하고, 기호로 \(\inf a_{n}=\beta\)로 나타낸다.

(i) 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\beta\leq a_{n}\)

(ii) \(\beta<\beta'\)이면, 적당한 \(a_{n}\)이 존재해서 \(\beta\leq a_{n}<\beta'\)이다.

수열 \(\{a_{n}\}\)과 모든 자연수 \(n\)에 대하여

\(a_{n}<a_{n+1}\)이면, 수열 \(\{a_{n}\}\)을 증가수열(increasing sequence)이라 한다.

\(a_{n}\leq a_{n+1}\)이면, 수열 \(\{a_{n}\}\)을 단조증가수열(monotone increasing sequence)이라 한다.

\(a_{n}>a_{n+1}\)이면, 수열 \(\{a_{n}\}\)을 감소수열(decreasing sequence)이라 한다.

\(a_{b}\geq a_{n+1}\)이면, 수열 \(\{a_{n}\}\)을 단조감소수열(monotone decreasing sequence)이라 한다.

수열 \(\{a_{n}\}\)이 단조증가수열이고 위로 유계이면, \(\{a_{n}\}\)은 최소상계 \(\sup a_{n}\)에 수렴한다.

두 수열 \(\{a_{n}\}\)과 \(\{b_{n}\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\alpha,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{b_{n}}=\beta\)이면,

(1) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(a_{n}+b_{n})}=\alpha+\beta\)

(2) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(a_{n}-b_{n})}=\alpha-\beta\)

(3) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}b_{n}}=\alpha\beta\)

(4) \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=\frac{\alpha}{\beta}\,(\beta\neq0)\)

수열 \(\{a_{n}\}\)의 각 항들의 무한합으로 정의되는$$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=a_{1}+a_{2}+\cdots$$을 무한급수(infinite series)(또는 간단히 급수)라고 한다.

수열 \(\{a_{n}\}\)의 첫째 항부터 \(n\)째 항까지의 합을 \(S_{n}\), 즉 \(\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}\)을 무한급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}\)의 제 \(n\)항까지의 부분합(partial sums)이라 하고, \(\{S_{n}\}\)을 이 무한급수의 부분합수열(partial sums sequence)이라 한다.

\(\{S_{n}\}\)이 \(S\)로 수렴하면, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{S_{i}}=S\)로 나타내고 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}\)는 \(S\)로 수렴한다고 하고, \(S\)를 이 급수의 합이라 한다.

\(\{S_{n}\}\)이 발산하면, 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}\)는 발산한다고 한다.

두 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}},\,\sum_{i=1}^{\infty}{b_{i}}\)가 각각 \(A\)와 \(B\)로 수렴한다고 하면, 다음이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{(a_{i}+b_{i})}=A+B\)

(2) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{ca_{i}}=cA\) (\(c\)는 상수)

급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)가 수렴하면, \(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0\)이다.

증명: \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}=S\)라고 하자. \(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\,(n\geq2)\)이고,$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n-1}}=S$$이므로,$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=S-S=0$$이다.

이 명제의 대우는 "\(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}\neq0\)이면, 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)는 발산한다"이고, 역은 성립하지 않는다(대표적인 반례로 조화급수가 있다). 

조화급수(harmony series) \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}\)은 발산한다.

\(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\)라 하면$$\begin{align*}S_{2}&=1+\frac{1}{2}\\S_{4}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\geq1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+\frac{2}{2}\\S_{8}&=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{8}\geq1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=1+\frac{3}{2}\\&\vdots\\S_{2^{n}}&=\sum_{k=1}^{2^{n}}{\frac{1}{k}}\geq1+\frac{n}{2}\end{align*}$$이고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}\geq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{n}{2}\right)}=\infty$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}}=0\)이지만 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}\)은 발산한다.

각 항이 음수가 아닌 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)를 양항급수라고 한다. 양항급수의 부분합은 단조증가 수열이므로 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)가 수렴하기 위해서는 모든 \(n\)에 대해서 \(A>0\)가 존재해서 \(S_{n}\leq A\)(\(S_{n}\)은 급수의 부분합)이어야 한다. 즉, 급수 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}\)가 수렴하기 위해서는 집합 \(\{S_{1},\,S_{2},\,\cdots,\,S_{n},\,\cdots\}\)가 위로유계이어야 하고, 급수는 이 집합의 최소상계에 수렴한다. 따라서 다음 정리가 수렴한다:

부분합이 위로 유계인 양항급수는 부분합으로 이루어진 수열의 최소상계에 수렴한다.

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}\)의 수렴성을 조사하자. \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}}\)이라고 하면,$$S_{n}=1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<2$$이고, \(\{S_{n}\}\)이 위로 유계이므로 따라서 주어진 급수는 수렴한다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning