[일변수 미적분학] 17. 무한수열, 무한급수

17. 무한수열, 무한급수

정의역이 자연수인 집합(자연수의 부분집합)의 함수 $a_{n}\,:\,\mathbb{N}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$을 무한수열(infinite sequence)이라고 한다.

$M_{1}\in\mathbb{R}$이 존재해서 $a_{n}\leq M_{1}$이면, $\{a_{n}\}$을 위로 유계(bounded above)인 수열이라 하고,

$M_{2}\in\mathbb{R}$이 존재해서 $a_{n}\geq M_{2}$이면, $\{a_{n}\}$을 아래로 유계(bounded below)인 수열이라고 한다.

$M',\,M''\in\mathbb{R}\,(M'<M'')$이 존재해서 $M'\leq a_{n}\leq M''$이면, $\{a_{n}\}$을 유계수열(bounded sequence)이라고 한다. $\{a_{n}\}$이 유계수열일 필요충분조건은 임의의 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $C>0$가 존재해서 $|a_{n}|\leq C$인 것이다.

수열 $\{a_{n}\}$이 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $a\in\mathbb{R}$로 수렴하면, $\{a_{n}\}$은 $a$로 수렴(convergent)한다고 하고, 다음과 같이 나타낸다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=a$$ 수렴하지 않는 경우를 발산(divergent)한다고 한다. 

 

수열 $\{a_{n}\}$에 대하여

(1) $\alpha\in\mathbb{R}$가 다음 조건을 만족하면, $\alpha$를 $\{a_{n}\}$의 최소상계(least upper bound)라 하고, 기호로 $\sup a_{n}=\alpha$로 나타낸다.

(i) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_{n}\leq\alpha$

(ii) $\alpha'<\alpha$이면, 적당한 $a_{n}$이 존재해서 $\alpha'<a_{n}\leq\alpha$이다.

(2) $\beta\in\mathbb{R}$가 다음 조건을 만족하면, $\beta$를 $\{a_{n}\}$의 최대하계(greatest lower bound)라 하고, 기호로 $\inf a_{n}=\beta$로 나타낸다.

(i) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\beta\leq a_{n}$

(ii) $\beta<\beta'$이면, 적당한 $a_{n}$이 존재해서 $\beta\leq a_{n}<\beta'$이다.

수열 $\{a_{n}\}$과 모든 자연수 $n$에 대하여

$a_{n}<a_{n+1}$이면, 수열 $\{a_{n}\}$을 증가수열(increasing sequence)이라 한다.

$a_{n}\leq a_{n+1}$이면, 수열 $\{a_{n}\}$을 단조증가수열(monotone increasing sequence)이라 한다.

$a_{n}>a_{n+1}$이면, 수열 $\{a_{n}\}$을 감소수열(decreasing sequence)이라 한다.

$a_{b}\geq a_{n+1}$이면, 수열 $\{a_{n}\}$을 단조감소수열(monotone decreasing sequence)이라 한다.

수열 $\{a_{n}\}$이 단조증가수열이고 위로 유계이면, $\{a_{n}\}$은 최소상계 $\sup a_{n}$에 수렴한다.

두 수열 $\{a_{n}\}$과 $\{b_{n}\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\alpha,\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{b_{n}}=\beta$이면,

(1) $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(a_{n}+b_{n})}=\alpha+\beta$

(2) $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(a_{n}-b_{n})}=\alpha-\beta$

(3) $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}b_{n}}=\alpha\beta$

(4) $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=\frac{\alpha}{\beta}\,(\beta\neq0)$

수열 $\{a_{n}\}$의 각 항들의 무한합으로 정의되는 $$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=a_{1}+a_{2}+\cdots$$ 을 무한급수(infinite series)(또는 간단히 급수)라고 한다.

수열 $\{a_{n}\}$의 첫째 항부터 $n$째 항까지의 합을 $S_{n}$, 즉 $\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}$을 무한급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}$의 제 $n$항까지의 부분합(partial sums)이라 하고, $\{S_{n}\}$을 이 무한급수의 부분합수열(partial sums sequence)이라 한다.

$\{S_{n}\}$이 $S$로 수렴하면, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{S_{i}}=S$로 나타내고 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}$는 $S$로 수렴한다고 하고, $S$를 이 급수의 합이라 한다.

$\{S_{n}\}$이 발산하면, 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}$는 발산한다고 한다.

두 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}},\,\sum_{i=1}^{\infty}{b_{i}}$가 각각 $A$와 $B$로 수렴한다고 하면, 다음이 성립한다.

(1) $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{(a_{i}+b_{i})}=A+B$

(2) $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{ca_{i}}=cA$ ($c$는 상수)

급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}$가 수렴하면, $\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=0$이다.

증명: $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}=S$라고 하자. $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\,(n\geq2)$이고, $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n-1}}=S$$ 이므로, $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=S-S=0$$ 이다.

이 명제의 대우는 "$\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}\neq0$이면, 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}$는 발산한다"이고, 역은 성립하지 않는다(대표적인 반례로 조화급수가 있다). 

조화급수(harmony series) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$은 발산한다.

$\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}$라 하면 $$\begin{align*}S_{2}&=1+\frac{1}{2}\\S_{4}&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\geq1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+\frac{2}{2}\\S_{8}&=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{8}\geq1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=1+\frac{3}{2}\\&\vdots\\S_{2^{n}}&=\sum_{k=1}^{2^{n}}{\frac{1}{k}}\geq1+\frac{n}{2}\end{align*}$$ 이고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}\geq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{n}{2}\right)}=\infty$$ 이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}}=0$이지만 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$은 발산한다.

각 항이 음수가 아닌 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}$를 양항급수라고 한다. 양항급수의 부분합은 단조증가 수열이므로 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}$가 수렴하기 위해서는 모든 $n$에 대해서 $A>0$가 존재해서 $S_{n}\leq A$($S_{n}$은 급수의 부분합)이어야 한다. 즉, 급수 $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{a_{i}}$가 수렴하기 위해서는 집합 $\{S_{1},\,S_{2},\,\cdots,\,S_{n},\,\cdots\}$가 위로유계이어야 하고, 급수는 이 집합의 최소상계에 수렴한다. 따라서 다음 정리가 수렴한다:

부분합이 위로 유계인 양항급수는 부분합으로 이루어진 수열의 최소상계에 수렴한다.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$의 수렴성을 조사하자. $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k!}}$이라고 하면, $$S_{n}=1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<2$$ 이고, $\{S_{n}\}$이 위로 유계이므로 따라서 주어진 급수는 수렴한다.

참고자료:

미분적분학, 고영상 외 6인, 휴먼싸이언스

Calculus 7th edition, Stewart, Cengage Learning