49. 고급필터설계

49. 고급필터설계

지금까지 다룬 기본적인 필터들은 많은 응용분야에 적당하나 그 특성은 이상적인 계단함수 비슷한 모양의 크기 응답과는 거리가 멀다.

$n$차의 저역통과 필터의 전달함수는 $\displaystyle\mathbf{N}(\mathbf{s})=\frac{Ka_{0}}{\mathbf{s}^{n}+a_{n-1}\mathbf{s}^{n-1}+\cdots+a_{1}\mathbf{s}+a_{0}}$이고

$n$차의 고역통과 필터의 전달함수는 $\displaystyle\mathbf{N}(\mathbf{s})=\frac{K\mathbf{s}^{n}}{\mathbf{s}^{n}+a_{n-1}\mathbf{s}^{n-1}+\cdots+a_{1}\mathbf{s}+a_{0}}$이다.

대역통과필터는 분자를 $\displaystyle K\mathbf{s}^{\frac{n}{2}}$으로 바꾸면 되고

대역소거필터의 전달함수는 $\displaystyle\mathbf{N}(\mathbf{s})=\frac{K(\mathbf{s}^{2}+\omega_{0}^{2})^{\frac{n}{2}}}{\mathbf{s}^{n}+a_{n-1}\mathbf{s}^{n-1}+\cdots+a_{1}\mathbf{s}+a_{0}}$이다.

어떤 특정한 필터를 설계한다는 것은 적당한 전달함수를 택한 후, 각 다항식의 계수인 $a_{1},\,a_{2}$등을 결정하는 것이다.

저역통과 버터워스 필터의 크기 특성: $\displaystyle|\mathbf{H}(j\omega)|=\frac{K}{\sqrt{1+\displaystyle\left(\frac{\omega}{\omega_{c}}\right)^{2n}}}$ ($n=1,\,2,\,\cdots$, $\omega_{c}$는 차단주파수, $K$는 실수상수)

*모든 필터의 절점주파수는 $1\text{rad/s}$

($n=1,\,2,\,3$일 때의 특성) 1, 2, 3차 저역통과 버터워스 필터 $n$이 커질수록 계단함수와 비슷해진다

1, 2, 3차 저역통과 체비셰프 필터  통과대역에 필터의 차수에 비례하는 수의 리플이 존재한다.

저역통과 체비셰프 필터의 크기특성은 $\displaystyle|\mathbf{H}(j\omega)|=\frac{K}{\sqrt{1+\beta^{2}\left\{C_{n}\left(\frac{\omega}{\omega_{c}}\right)\right\}^{2}}}\,(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$이고 

여기서 $\beta$는 리플인자(실수상수), $\displaystyle C_{n}\left(\frac{\omega}{\omega_{c}}\right)$는 $n$차 제 1종 체비셰프 다항식이다.

다음은 $\omega_{c}=1$로 했을 때 저역통과 버터워스 및 체비셰프($\beta=0.9976$또는 $3\text{dB}$) 필터함수의 계수이다.

샐런-키 증폭기

위 회로에서 왼쪽단의 전달함수는 $\displaystyle\mathbf{H}_{1}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{M}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=-\frac{\frac{1}{R_{1}C_{f}}}{\mathbf{s}+\frac{1}{R_{1}C_{f}}}$, 오른쪽단의 전달함수는 $\displaystyle\mathbf{H}_{2}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{M}}}=-\frac{\frac{1}{R_{1}C_{f}}}{\mathbf{s}+\frac{1}{R_{f}C_{f}}}$이므로 위 회로의 완전한 전달함수는 $\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\mathbf{H}_{1}(\mathbf{s})\mathbf{H}_{2}(\mathbf{s})=\frac{\left(\frac{1}{R_{1}C_{f}}\right)^{2}}{\mathbf{s}^{2}+\frac{2}{R_{f}C_{f}}\mathbf{s}+\left(\frac{1}{R_{f}C_{f}}\right)^{2}}$이다.

왼쪽 회로는 저역통과 샐런-키 필터회로이다.

$\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}-\mathbf{V}_{y}}{R_{A}}=\frac{\mathbf{V}_{y}-0}{R_{B}}$에서 $\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{V}_{y}}=1+\frac{R_{A}}{R_{B}}$이므로 비반전증폭기의 전압이득은 $\displaystyle G=1+\frac{R_{A}}{R_{B}}$이다.

전압분배법칙으로부터 $\displaystyle\mathbf{V}_{y}=\frac{\frac{1}{\mathbf{s}C}}{R_{2}+\frac{1}{\mathbf{s}C}}\mathbf{V}_{x}=\frac{1}{1+R_{2}C_{2}\mathbf{s}}\mathbf{V}_{x}$이고

마디방정식을 세우면 $\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{x}-\mathbf{V}_{i}}{R_{1}}+\frac{\mathbf{V}_{x}-\mathbf{V}_{y}}{R_{2}}+\frac{\mathbf{V}_{x}-\mathbf{V}_{o}}{\frac{1}{\mathbf{s}C_{1}}}=0$이므로

전달함수는 $$\begin{align*}\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{V}_{i}}&=\frac{G}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\mathbf{s}^{2}+[R_{2}C_{2}+R_{1}C_{2}+R_{1}C_{1}(1-G)]\mathbf{s}+1}\\&=\frac{\frac{G}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{\mathbf{s}^{2}+\left[\frac{1}{R_{1}C_{1}}+\frac{1}{R_{2}C_{1}}+\frac{1-G}{R_{2}C_{2}}\right]\mathbf{s}+\frac{1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\end{align*}$$ 이다.

ex) 절점주파수가 $1400\text{rad/s}$이고, 이득이 $4$인 2차 저역통과 버터워스필터를 설계하라

이때 샐런-키 필터를 이용하고 $R_{1}=R_{2}=R$, $C_{1}=C_{2}=C$로 둔다.

2차 버터워스 필터의 분모의 다항식은 $\mathbf{s}^{2}+1.4142\mathbf{s}+1$이고 $\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{V}_{i}}$의 분모와 일치해야 한다. 즉 $$\begin{align*}\mathbf{s}^{2}+\left[\frac{1}{R_{1}C_{1}}+\frac{1}{R_{2}C_{1}}+\frac{1-G}{R_{2}C_{2}}\right]\mathbf{s}+\frac{1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}&=\mathbf{s}^{2}+\left[\frac{2}{RC}+\frac{1-G}{RC}\right]\mathbf{s}+\frac{1}{(RC)^{2}}\\&=\mathbf{s}^{2}+1.4142\mathbf{s}+1\end{align*}$$ 이어야 하므로 $RC=1$, $\displaystyle\frac{2}{RC}+\frac{1-G}{RC}=1.414$이어야 하고 $G=1.586=1+\frac{R_{A}}{R_{B}}$, $\displaystyle\frac{R_{A}}{R_{B}}=0.586$이므로 $R_{B}=1\text{k}\Omega$, $R_{A}=586\Omega$이고, $C=1\text{F}$라 하면 $R=1\Omega$이어야 하는데 이는 비현실적이다.

그러면 $C'=1\mu\text{F}$, $K=10^{6}$, 주파수는 $1400\text{rad/s}$이 되도록 스케일링해야 한다.

$\displaystyle10^{-6}\text{F}=\frac{1\text{F}}{K_{m}K_{f}}=\frac{1\text{F}}{1400K_{m}}$이어야 하고 따라서 $K_{m}=714$, $R'=K_{m}R=714\Omega$, 증폭기이득은 $1.586(4\text{dB})$이 되는데 문제에서 요구하는 이득은 $4(12\text{dB})$이다.

이 설계를 완성하기 위해서는 $R_{1}=1\text{k}\Omega$, $R_{f}=1.52\text{k}\Omega$인 비반전증폭기를 앞에서 설계한 회로의 출력에 연결해야 한다. 그러면 설계가 끝난다.

샐런-키 모델을 기반으로 하는 고역통과필터도 비슷한 방법으로 설계한다.

 

왼쪽 회로는 위의 샐런-키 필터회로에서 

커패시터 $C_{1},\,C_{2}$를 저항 $R_{1},\,R_{2}$로, 

저항 $R_{1},\,R_{2}$를 커패시터 $C_{1},\,C_{2}$로 바꾼 회로이다.

이 회로에서 $C=C_{1}=C_{2}$, $R=R_{1}=R_{2}$라 하고나서 마디해석법을 적용하면

$\displaystyle a_{0}=\frac{1}{R^{2}C^{2}},\,a_{1}=\frac{3-G}{RC}$이다.

고차필터는 연산증폭기 단을 직렬로 연결하여 얻는다.

예: 홀수차 버터워스 필터는 $\mathbf{s}=-1$에서 극점이 하나 더 필요하다.

3차 버터워스 필터는 전달함수의 분모 $\mathbf{D}(\mathbf{s})$가 $\mathbf{D}(\mathbf{s})=\mathbf{s}^{2}+\mathbf{s}+1$과 같은 샐런-키 단에 $(\mathbf{s}+1)$을 나타내는 연산증폭기를 직렬로 연결하면 된다.

ex) 전압이득의 크기가 $4$이고, 절점주파수가 $2000\text{rad/s}$인 3차 저역통과 버터워스필터를 설계하라

왼쪽 회로는 극점을 하나 추가하기 위해서 연결했다. 간단하게 하기 위해서 $R_{1}=R_{2}=R$, $C_{1}=C_{2}=C$로 둔다. $$\mathbf{s}^{2}+\mathbf{s}+1=\mathbf{s}^{2}+\frac{3-G}{RC}\mathbf{s}+\frac{1}{(RC)^{2}}$$ 이므로 $\displaystyle1=\frac{1}{R^{2}C^{2}}$, $\displaystyle1=\frac{3-G}{RC}$이고 $RC=1$, $G=4$, $R_{A}=3\text{k}\Omega$, $R_{B}=1\text{k}\Omega$$\displaystyle\left(4=1+\frac{R_{A}}{R_{B}}\right)$이고 $R=1\Omega$, $C=1\text{F}$는 비현실적이므로 $C=0.1\mu\text{F}$, $K_{f}=2000$이라 하면 $K_{m}=5000$이므로 $R=5\text{k}\Omega$가 된다.

앞단의 $R_{1}$, $R_{f}$, $C_{f}$의 값을 결정해야 한다. 왼쪽단의 전달함수는 $\displaystyle-\frac{-\frac{1}{R_{1}C_{f}}}{\mathbf{s}+\frac{1}{R_{f}C_{f}}}$이고 $R_{f}=1\Omega$, $C_{f}=1\text{F}$라 하면 비현실적이므로 $R_{f}=5\text{k}\Omega$, $C_{f}=0.1\mu\text{F}$, $R_{1}=R_{f}=5\text{k}\Omega$이어야 한다.

(이득이 $4$이지만 이미 샐런-키 단에서 얻었다)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill