46. 보드 다이어그램(1)

46. 보드 다이어그램(1)

■데시벨 눈금

\(\omega\)의 함수로 주어진 전달함수의 크기와 위상의 변화에 대한 근사적 응답 곡선은 점근선 그림으로 보드 선도 또는 보드 다이어그램이라 한다. 크기 및 위상곡선의 가로축은 (상용)로그 주파수 눈금으로 그리고, 크기를 나타내는 세로축은 데시벨(dB)이라고 부르는 상용로그 눈금으로 표현한다.

\(|\mathbf{H}(j\omega)|\)를 데시벨(dB)로 표현하면 \(H_{\text{dB}}=20\log|\mathbf{H}(j\omega)|\)이다.(\(\log\)는 상용로그이고 \(|\mathbf{H}(j\omega)|=10^{\frac{H_{\text{dB}}}{20}}\))

\(\log1=0\), \(\log2=0.30103\), \(\log10=1\)이므로 \(|\mathbf{H}(j\omega)|=1\,\Leftrightarrow\,H_{\text{dB}}=0\), \(|\mathbf{H}(j\omega)|=2\,\Leftrightarrow\,H_{\text{dB}}=6\text{dB}\), \(|\mathbf{H}(j\omega)|=10\,\Leftrightarrow\,H_{\text{dB}}=2\)이다.

■점근선의 결정

\(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+\frac{\mathbf{s}}{a}\)는 \(\mathbf{s}=-a\)에서 영점을 갖는다. 이때 \(\displaystyle\mathbf{H}(j\omega)=1+j\frac{\omega}{a}\)이므로 \(\displaystyle|\mathbf{H}(j\omega)|=\left|1+j\frac{\omega}{a}\right|=\sqrt{1+\frac{\omega^{2}}{a^{2}}}\)이고 \(\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|1+j\frac{\omega}{a}\right|=20\log\sqrt{1+\frac{\omega^{2}}{a^{2}}}\)이다.

 

\(\omega\ll a\)일 때 \(H_{\text{dB}}\approx20\log1=0\)이고 \(\omega\gg a\)일 때 \(\displaystyle H_{\text{dB}}\approx20\log\frac{\omega}{a}\)이므로

\(\omega>a\)에서는 실선, \(\omega<a\)에서는 점선이다.

점근선의 기울기에는 다음의 두가지가 있다:

\(20\text{dB/decade}\)(decade: 주파수를 10배 단위로 정의하는데 이용)

\(6\text{dB/octave}\)(octave: 주파수를 2배 단위로 정의하는데 이용)

여기서 \(\omega=a\)를 절점 주파수(브레이크 주파수, 3dB주파수, 반전력 주파수)라고 한다.(\(\omega=a\)일 때 \(H_{\text{dB}}=0\))

■보드 선도의 평활화

절점 주파수(\(\omega=a\))에서 점근선의 값은 \(0\text{dB}\)이고 실제 값은 \(\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\sqrt{1+\frac{a^{2}}{a^{2}}}=10\log2=3\text{dB}\)이다. 

\(\omega=0.5a\)에서의 값은 \(H_{\text{dB}}=20\log\sqrt{1.25}\approx1\text{dB}\).

정확한 응답은 \(\omega=a\)에서 점근선 응답보다 \(3\text{dB}\)위에 \(\omega=0.5\)에서는(\(\omega=2a\)에서도) 점근선 응답보다 \(1\text{dB}\)위를 지나는 완만한 곡선으로 표현된다.(좀 더 정확한 결과가 필요할 때, 절점에서 곡선을 매끈하게 하기 위해 사용된다.)

■여러개의 항이 있는 경우

로그를 활용하기 때문에 이러한 복잡한 전달함수들을 보드 선도를 이용하여 쉽게 다룰 수 있다.

\(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=K\left(1+\frac{\mathbf{s}}{s_{1}}\right)\left(1+\frac{\mathbf{s}}{s_{2}}\right)\)에서 \(K\)는 상수, \(-\mathbf{s}_{1}\), \(-\mathbf{s}_{2}\)는 \(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)의 두 영점이다.$$\begin{align*}H_{\text{dB}}&=20\log\left|K\left(1+\frac{j\omega}{s_{1}}\right)\left(1+\frac{j\omega}{s_{2}}\right)\right|=20\log\left\{K\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{s_{1}}\right)^{2}}\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{s_{2}}\right)^{2}}\right\}\\&=20\log K+20\log\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{s_{1}}\right)^{2}}+20\log\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{s_{2}}\right)^{2}}\end{align*}$$이므로 각 항이 나타내는 보드 선도를 그림으로 보면서 단순히 합하면 \(H_{\text{dB}}\)의 보드 선도를 얻을 수 있다.

     

\(\mathbf{Z}_{\text{in}}(\mathbf{s})=\mathbf{H}(\mathbf{s})=20+0.2\mathbf{s}\)이므로

\(\mathbf{H}(\mathbf{s})=20\left(1+\frac{\mathbf{s}}{100}\right)\)이고 영점은 \(\mathbf{s}=-100\)이다.

\(20\log20=26\text{dB}\)

위의 그림은 \(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)의 보드선도이고 \(\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log|\mathbf{H}(j\omega)|=20\log\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{100}\right)^{2}}+26\text{dB}\)이다.

■위상 응답

\(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+\frac{\mathbf{s}}{a}\)에서 \(\displaystyle\mathbf{H}(j\omega)=1+j\frac{\omega}{a}\)이므로 \(\displaystyle\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=\text{Arg}\left(1+j\frac{\omega}{a}\right)=\tan^{-1}\frac{\omega}{a}\)이다.

 

\(\omega\ll a\)이면, \(\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)\approx0^{\circ}\)이므로 이를 \(\omega<0.1a\)일 때의 점근선으로 사용할 수 있다.(\(\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=0^{\circ}(\omega<0.1a)\))

\(\omega\gg a\)이면, \(\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)\approx90^{\circ}\)이므로 이를 \(\omega>10a\)일 때의 점근선으로 사용할 수 있다.(\(\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=90^{\circ}(\omega>10a)\))

(\(\text{Arg}\mathbf{H}(ja)=\tan^{-1}1=45^{\circ}\))

위상각의 그림은 매끄러운 곡선(점선)으로 그릴 수도 있지만 보통은 대략적인 직선 그림(점근선)으로 표현하는 경우가 많다.

\(\mathbf{s}=a\)에서 단순 영점이 있는 경우 절점 주파수 \(\omega=a\)보다 아주 작은 주파수들(\(\omega<0.1a\))에서 응답함수의 위상은 \(0^{\circ}\)이며, 높은 주파수 (\(\omega>10a\))에서 위상은 \(90^{\circ}\)이다.

\(\mathbf{s}=a\)(절점주파수) 근처에서는 전달함수의 위상은 다소 급격히 변한다.(응답에 대한 실제의 위상각은 회로의 설계 과정에서 적당히 결정할 수 있다.)

 

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill