46. 보드 다이어그램(1)

46. 보드 다이어그램(1)

■데시벨 눈금

$\omega$의 함수로 주어진 전달함수의 크기와 위상의 변화에 대한 근사적 응답 곡선은 점근선 그림으로 보드 선도 또는 보드 다이어그램이라 한다. 크기 및 위상곡선의 가로축은 (상용)로그 주파수 눈금으로 그리고, 크기를 나타내는 세로축은 데시벨(dB)이라고 부르는 상용로그 눈금으로 표현한다.

$|\mathbf{H}(j\omega)|$를 데시벨(dB)로 표현하면 $H_{\text{dB}}=20\log|\mathbf{H}(j\omega)|$이다.($\log$는 상용로그이고 $|\mathbf{H}(j\omega)|=10^{\frac{H_{\text{dB}}}{20}}$)

$\log1=0$, $\log2=0.30103$, $\log10=1$이므로 $|\mathbf{H}(j\omega)|=1\,\Leftrightarrow\,H_{\text{dB}}=0$, $|\mathbf{H}(j\omega)|=2\,\Leftrightarrow\,H_{\text{dB}}=6\text{dB}$, $|\mathbf{H}(j\omega)|=10\,\Leftrightarrow\,H_{\text{dB}}=2$이다.

■점근선의 결정

$\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+\frac{\mathbf{s}}{a}$는 $\mathbf{s}=-a$에서 영점을 갖는다. 이때 $\displaystyle\mathbf{H}(j\omega)=1+j\frac{\omega}{a}$이므로 $\displaystyle|\mathbf{H}(j\omega)|=\left|1+j\frac{\omega}{a}\right|=\sqrt{1+\frac{\omega^{2}}{a^{2}}}$이고 $\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|1+j\frac{\omega}{a}\right|=20\log\sqrt{1+\frac{\omega^{2}}{a^{2}}}$이다.

 

$\omega\ll a$일 때 $H_{\text{dB}}\approx20\log1=0$이고 $\omega\gg a$일 때 $\displaystyle H_{\text{dB}}\approx20\log\frac{\omega}{a}$이므로

$\omega>a$에서는 실선, $\omega<a$에서는 점선이다.

점근선의 기울기에는 다음의 두가지가 있다:

$20\text{dB/decade}$(decade: 주파수를 10배 단위로 정의하는데 이용)

$6\text{dB/octave}$(octave: 주파수를 2배 단위로 정의하는데 이용)

여기서 $\omega=a$를 절점 주파수(브레이크 주파수, 3dB주파수, 반전력 주파수)라고 한다.($\omega=a$일 때 $H_{\text{dB}}=0$)

■보드 선도의 평활화

절점 주파수($\omega=a$)에서 점근선의 값은 $0\text{dB}$이고 실제 값은 $\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\sqrt{1+\frac{a^{2}}{a^{2}}}=10\log2=3\text{dB}$이다. 

$\omega=0.5a$에서의 값은 $H_{\text{dB}}=20\log\sqrt{1.25}\approx1\text{dB}$.

정확한 응답은 $\omega=a$에서 점근선 응답보다 $3\text{dB}$위에 $\omega=0.5$에서는($\omega=2a$에서도) 점근선 응답보다 $1\text{dB}$위를 지나는 완만한 곡선으로 표현된다.(좀 더 정확한 결과가 필요할 때, 절점에서 곡선을 매끈하게 하기 위해 사용된다.)

■여러개의 항이 있는 경우

로그를 활용하기 때문에 이러한 복잡한 전달함수들을 보드 선도를 이용하여 쉽게 다룰 수 있다.

$\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=K\left(1+\frac{\mathbf{s}}{s_{1}}\right)\left(1+\frac{\mathbf{s}}{s_{2}}\right)$에서 $K$는 상수, $-\mathbf{s}_{1}$, $-\mathbf{s}_{2}$는 $\mathbf{H}(\mathbf{s})$의 두 영점이다. $$\begin{align*}H_{\text{dB}}&=20\log\left|K\left(1+\frac{j\omega}{s_{1}}\right)\left(1+\frac{j\omega}{s_{2}}\right)\right|=20\log\left\{K\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{s_{1}}\right)^{2}}\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{s_{2}}\right)^{2}}\right\}\\&=20\log K+20\log\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{s_{1}}\right)^{2}}+20\log\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{s_{2}}\right)^{2}}\end{align*}$$ 이므로 각 항이 나타내는 보드 선도를 그림으로 보면서 단순히 합하면 $H_{\text{dB}}$의 보드 선도를 얻을 수 있다.

     

$\mathbf{Z}_{\text{in}}(\mathbf{s})=\mathbf{H}(\mathbf{s})=20+0.2\mathbf{s}$이므로

$\mathbf{H}(\mathbf{s})=20\left(1+\frac{\mathbf{s}}{100}\right)$이고 영점은 $\mathbf{s}=-100$이다.

$20\log20=26\text{dB}$

위의 그림은 $\mathbf{H}(\mathbf{s})$의 보드선도이고 $\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log|\mathbf{H}(j\omega)|=20\log\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{100}\right)^{2}}+26\text{dB}$이다.

■위상 응답

$\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+\frac{\mathbf{s}}{a}$에서 $\displaystyle\mathbf{H}(j\omega)=1+j\frac{\omega}{a}$이므로 $\displaystyle\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=\text{Arg}\left(1+j\frac{\omega}{a}\right)=\tan^{-1}\frac{\omega}{a}$이다.

 

$\omega\ll a$이면, $\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)\approx0^{\circ}$이므로 이를 $\omega<0.1a$일 때의 점근선으로 사용할 수 있다.($\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=0^{\circ}(\omega<0.1a)$)

$\omega\gg a$이면, $\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)\approx90^{\circ}$이므로 이를 $\omega>10a$일 때의 점근선으로 사용할 수 있다.($\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=90^{\circ}(\omega>10a)$)

($\text{Arg}\mathbf{H}(ja)=\tan^{-1}1=45^{\circ}$)

위상각의 그림은 매끄러운 곡선(점선)으로 그릴 수도 있지만 보통은 대략적인 직선 그림(점근선)으로 표현하는 경우가 많다.

$\mathbf{s}=a$에서 단순 영점이 있는 경우 절점 주파수 $\omega=a$보다 아주 작은 주파수들($\omega<0.1a$)에서 응답함수의 위상은 $0^{\circ}$이며, 높은 주파수 ($\omega>10a$)에서 위상은 $90^{\circ}$이다.

$\mathbf{s}=a$(절점주파수) 근처에서는 전달함수의 위상은 다소 급격히 변한다.(응답에 대한 실제의 위상각은 회로의 설계 과정에서 적당히 결정할 수 있다.)

 

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill