44. 다른 공진회로

44. 다른 공진회로

앞에서 다룬 직, 병렬 RLC회로는 이상적인 공진회로다. 실제 회로에 대한 이상적인 모델의 정확도는 동작 주파수의 범위, 회로의 \(Q\), 실제 소자들의 재질, 소자의 크기, 그리고 많은 다른 요인들에 의해 결정된다.

  

왼쪽 회로에서 \(R_{1}\)은 실제 코일의 옴 저항 및 여러가지 손실을 나타내는 저항이고, \(R_{2}\)는 실제 커패시터의 유전체 손실과 RLC회로의 실제 저항이다.

소자들을 적당히 연결하여 모든 주파수에서 원래의 모델과 등가이면서 이 모델보다 더 간단한 모델을 만들 수 있는 방법은 없다. 그러나 관심의 대상이 되는 주파수 대역을 포함하는 충분히 큰 대역에서 사용할 수 있는 등가의 모델은 만들 수 있다.

  

왼쪽의 회로는 좁은 주파수 대역에서 위의 회로와 등가일 수 있는 회로이고 위의 회로(\(R_{1}\), \(R_{2}\)가 있는 회로)의 어드미턴스는 \(\displaystyle\mathbf{Y}(j\omega)=\frac{1}{R_{2}}+j\omega C+\frac{1}{R_{1}+j\omega L}=\frac{1}{R_{2}}+j\omega C+\frac{R_{1}-j\omega L}{R_{1}^{2}+\omega^{2}L^{2}}\)이고 허수부는 \(\displaystyle\text{Im}\{\mathbf{Y}(j\omega)\}=\text{Im}\left\{\frac{1}{R_{2}}+j\omega C+\frac{R_{1}-j\omega L}{R_{1}^{2}+\omega^{2}L^{2}}\right\}=\omega C-\frac{\omega L}{R_{1}^{2}+\omega^{2}L^{2}}\)이다.

공진이 일어나기 위해서는 \(\displaystyle C=\frac{L}{R_{1}^{2}+\omega^{2}L^{2}}\)이고 이때의 주파수는 \(\displaystyle\omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R_{1}}{L}\right)^{2}}\)이다. 만약 \(\displaystyle\frac{R_{1}}{L}\)의 값이 충분히 작으면 \(\displaystyle\omega_{0}\approx\frac{1}{\sqrt{LC}}\)이다.

\(R_{1}=2\Omega\), \(L=1\text{H}\), \(\displaystyle C=\frac{1}{8}\text{F}\), \(R_{2}=3\Omega\)일 때, \(\displaystyle\frac{1}{LC}=8\), \(\displaystyle\frac{R_{1}}{L}=2\)이므로 \(\omega_{0}=\sqrt{8-2^{2}}=2\text{rad/s}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{Y}(2j)=\frac{1}{3}+j2\cdot\frac{1}{8}+\frac{1}{2+j2\cdot1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=0.583\text{s}\)이므로 공진에서의 입력 임피던스는 \(\mathbf{Z}(j2)=1.714\Omega\)이다.

\(R_{1}=0\)이면, \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=2.83\text{rad/s}\), \(\mathbf{Z}(j2.83)=1.980\angle-21.4^{\circ}\Omega\).   

\(R_{1}=1\text{k}\Omega\), \(C=2.533\text{pF}(=2.533\times10^{-12}\text{F})\), 공진주파수 \(1\text{MHz}(=10^{6}\text{Hz})\)일 때, \(L\)을 구하면 \(R_{1}^{2}+C\omega^{2}L^{2}=L\)에서 \(\displaystyle\omega^{2}L^{2}-\frac{1}{C}L+R_{1}^{2}=0\)이고 \(L=10\times10^{-3}\) 또는 \(L=2.5\times10^{-6}\)이 되는데 \(L=2.5\times10^{-6}\)일 때 \(\displaystyle\omega^{2}=\frac{1}{LC}-\left(\frac{R_{1}}{L}\right)^{2}<0\)이 되고, \(L=10\times10^{-3}\)일 때 \(\displaystyle\omega^{2}=\frac{1}{LC}-\left(\frac{R_{1}}{L}\right)^{2}>0\)이므로 \(L=10\text{mH}\)가 구하는 인덕터 값이다.

(등가의 직렬 및 병렬 결합)

    

\(\displaystyle\mathbf{Y}_{s}=\frac{1}{R_{s}+jX_{s}}=\frac{R_{s}-jX_{s}}{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}=\frac{R_{s}}{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}-j\frac{X_{s}}{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}=\frac{1}{R_{p}}-j\frac{1}{X_{p}}=\mathbf{Y}_{p}\)가 성립하려면 \(\displaystyle R_{p}=\frac{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}{R_{s}}\), \(\displaystyle X_{p}=\frac{R_{s}^{2}+X_{s}^{2}}{X_{s}}\)이어야 하고 이때 \(\displaystyle\frac{R_{p}}{X_{p}}=\frac{X_{s}}{R_{s}}\)이다.

\(\displaystyle Q_{s}=\frac{|X_{s}|}{R_{s}}\), \(\displaystyle Q_{p}=\frac{R_{p}}{|X_{p}|}\)이고 직렬회로와 병렬회로의 \(Q\)는 서로 같기 때문에(\(Q_{p}=Q_{s}=Q\)) \(R_{p}=R_{s}(1+Q^{2})\), \(X_{p}=X_{s}\left(1+\frac{1}{Q^{2}}\right)\)이다. 이때 \(Q\geq5\)이면 \(R_{p}\approx Q^{2}R_{s}\), \(X_{p}\approx X_{s}\)(\(C_{p}\approx C_{s}\) 또는 \(L_{p}\approx L_{s}\))이다.

\(\omega=1000\text{rad/s}\), \(R_{s}=5\Omega\), \(L=100\text{mH}\)인 직렬 회로에서 \(X_{s}=\omega L=100\Omega\)이고 \(\displaystyle Q=\frac{X_{L}}{R_{s}}=20>5\)이므로 근사방법을 사용할 수 있다. 그러면 \(R_{p}\approx R_{s}Q^{2}=2000\Omega\), \(L_{p}\approx L_{s}=100\text{mH}\), \(X_{p}\approx X_{s}\)이고 \(\mathbf{Z}_{s}(j1000)=5+j100=100.1\angle87.1^{\circ}\Omega\), \(\displaystyle\mathbf{Z}_{p}(j1000)=\frac{2000(j1000)}{2000+j1000}=99.9\angle87.1^{\circ}\Omega\)이다.

\(\omega=900\text{rad/s}\)에서도 \(\mathbf{Z}_{s}(j900)=90.1\angle86.8^{\circ}\Omega\), \(\mathbf{Z}_{p}(j900)=89.9\angle87.4^{\circ}\Omega\).

\(\omega=1000\text{rad/s}\)일 때

   

\(X_{L}=\omega L=8000\Omega\), \(\displaystyle Q=\frac{X_{L}}{R_{s}}=80\)이므로 근사방법을 적용할 수 있고, 

\(R_{p}\approx Q^{2}R_{s}=640\text{k}\Omega\), \(L_{p}\approx L_{s}=8\text{H}\)이다.

 

\(X_{p}=\omega L=5000\Omega\), \(\displaystyle Q=\frac{R_{p}}{X_{p}}=20\)이므로 근사방법을 적용할 수 있고,

\(\displaystyle R_{s}\approx\frac{R_{p}}{Q^{2}}=250\Omega\), \(L_{s}\approx L_{p}=5\text{H}\)이다.

왼쪽 회로의 커패시터 부분을 내부저항이 \(100\text{k}\Omega\)(이상적인 전압계의 내부저항은 \(\infty\))인 전압전압계로 측정하려고 한다. 

공진주파수는 \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=10^{5}\text{rad/s}\)이고 \(\displaystyle Q_{0}=\omega_{0}\frac{L}{R}=50\), 전류 \(25\text{mA}\), 커패시터 전압의 실효값 \(Q_{0}V_{\text{rms}}=50\cdot0.5=25\text{V}\)이다.

이상적인 전압계는 \(25\text{V}\)를 표시하지만 실제로 전압계를 연결하면 왼쪽 회로와 같게 된다.

RC회로의 \(Q\)가 충분히 커서 등가의 직렬 커패시터가 기존 회로의 병렬 커패시터와 같다고 가정한다. 그러면 \(\displaystyle Q=\frac{R_{p}}{X_{p}}=\omega R_{p}C_{p}=10^{5}\cdot10^{5}(10^{-8})=100>5\)이므로 등가 직렬 RC회로는 \(\displaystyle R_{s}\approx\frac{R_{p}}{Q^{2}}=10\Omega\), \(C_{s}\approx C_{p}=0.01\mu\text{F}\)이다.

    

이 공진회로의 \(Q\)값은 \(3.33\)이고 커패시터에 걸리는 전압은 \(16.65\text{V}\), \(\displaystyle|\mathbf{V}_{C}|=\frac{0.5}{30}|10-j1000|=16.67\text{V}\)이다.

이때 \(10\Omega\)에 걸리는 전압은 매우 작으므로 커패시터전압과 \(|\mathbf{V}_{C}|\)는 서로 같다고 할 수 있다.

아주 좋아 보이는 전압계라 할지라도 높은 \(Q\)의 공진회로에서는 아주 심각한 영향을 줄 수 있다(이상적이지 않은 전류계를 회로에 넣을 때도 비슷한 일이 생길 수 있다.)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill