42. 대역폭과 높은 양호도 회로

42. 대역폭과 높은 양호도 회로

 

반전력 주파수는 전원 응답의 최댓값의 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}(=0.707)$배가 되게 하는 주파수이다. $\omega_{1}$을 하측 반전력 주파수, $\omega_{2}$를 상측 반전력 주파수라고 한다.

$\displaystyle|\mathbf{V}(j\omega_{1})|=|\mathbf{V}(j\omega_{2})|=\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathbf{I}R|=0.707|\mathbf{I}|R$이고 공진회로의 (반전력) 대역폭은 두 반전력 주파수의 차이로 정의된다. 즉 $\mathcal{B}=\omega_{2}-\omega_{1}$

RLC병렬회로의 어드미턴스는 $\displaystyle\mathbf{Y}=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)$이므로 $\displaystyle\mathbf{Y}=\frac{1}{R}+j\frac{1}{R}\left(\frac{\omega_{0}}{\omega_{0}}CR-\frac{\omega_{0}}{\omega_{0}}\frac{R}{\omega L}\right)=\frac{1}{R}\left[1+jQ_{0}\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega}\right)\right]$,

$\displaystyle|\mathbf{Y}(j\omega_{1})|=|\mathbf{Y}(j\omega_{2})|=\frac{\sqrt{2}}{R}$이고 

$\displaystyle Q_{0}\left(\frac{\omega_{2}}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega_{2}}\right)=1$, $\displaystyle Q_{0}\left(\frac{\omega_{1}}{\omega_{0}}-\frac{\omega_{0}}{\omega_{1}}\right)=1$이므로 $\displaystyle\omega_{1}=\omega_{0}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}-\frac{1}{2Q_{0}}\right]$, $\displaystyle\omega_{2}=\omega_{0}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}+\frac{1}{2Q_{0}}\right]$이고 $\displaystyle\mathcal{B}=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{\omega_{0}}{Q_{0}}$, $\omega_{0}^{2}=\omega_{1}\omega_{2}$($\omega_{0}$은 $\omega_{1}$과 $\omega_{2}$의 기하평균)이다.

*높은 $Q_{0}$회로는 좁은 대역폭(뾰족한 응답곡선을 가짐) 즉, 큰 주파수 선택도(높은 양호도)를 가진다.

   

높은 $Q$ 회로에 대한 근사식:

$Q_{0}\geq5$일 때, 근사가 가능하다(높은 $Q$회로)

왼쪽 그림은 $Q_{0}\approx5$인 RLC병렬회로의 어드미턴스에 대한 극점-영점 위치를 나타낸 것이다.

$\displaystyle\alpha=\frac{\omega_{0}}{2Q_{0}}=\frac{1}{2}\mathcal{B}$, $\displaystyle\mathbf{s}_{1,\,2}=-\alpha\pm j\omega_{d}\approx-\frac{1}{2}\mathcal{B}\pm j\omega_{0}$이고

$\displaystyle\omega_{1,\,2}=\omega_{0}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}\mp\frac{1}{2Q_{0}}\right]\approx\omega_{0}\left(1\mp\frac{1}{2Q_{0}}\right)$이므로 $\displaystyle\omega_{1,\,2}\approx\omega_{0}\mp\frac{1}{2}\mathcal{B}$이고 이는 높은 $Q$회로에서 각 반전력 주파수는 공진 주파수로부터 대역폭의 반$\displaystyle\left(\frac{1}{2}\mathcal{B}\right)$만큼 떨어져 있음을 뜻한다. 이때 $\displaystyle\omega_{0}\approx\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}$.

$\displaystyle\mathbf{Y}(\mathbf{s})\approx C\frac{(j2\omega_{0})(\mathbf{s}-\mathbf{s}_{1}}{j\omega_{0}}\approx 2C(\mathbf{s}-\mathbf{s}_{1})$이므로 $\displaystyle\mathbf{s}-\mathbf{s}_{1}\approx\frac{1}{2}\mathcal{B}+j(\omega-\omega_{0})$

($\omega_{0}$를 $\omega_{d}$로 바꾸면 정확한 식이 된다)이고 $\displaystyle\mathbf{Y}(\mathbf{s})\approx2C\left(\frac{1}{2}\mathcal{B}\right)\left(1+j\frac{\omega-\omega_{0}}{\frac{1}{2}\mathcal{B}}\right)\,\left[\mathbf{Y}(\mathbf{s})\approx\frac{1}{R}\left(1+j\frac{\omega-\omega_{0}}{\frac{1}{2}\mathcal{B}}\right)\right]$이다. 여기서 $\displaystyle\frac{\omega-\omega_{0}}{\frac{1}{2}\mathcal{B}}$는 어느 주파수가 공진주파수로부터 대역폭의 반의 몇배만큼 떨어져 있는가를 나타낸다. 이것을 $N$으로 표시한다. 그러면 $\displaystyle\mathbf{Y}(\mathbf{s})\approx\frac{1}{R}(1+jN)$이다. 

상측 반전력 주파수에서 $\displaystyle\displaystyle\omega_{2}\approx\omega_{0}+\frac{1}{2}\mathcal{B},\,N=+1$, 하측 반전력 주파수에서 $\displaystyle\omega_{1}\approx\omega_{0}-\frac{1}{2}\mathcal{B},\,N=-1$, $\displaystyle\mathcal{Y}(j\omega)\approx\frac{1}{R}(1+jN)$, $\text{arg}\mathbf{Y}(j\omega)\approx\tan^{-1}N$이다.

$R=40\text{k}\Omega$, $L=1\text{H}$, $\displaystyle C=\frac{1}{64}\mu\text{F}$인 RLC병렬회로에서 $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=8\text{krad/s}$, $Q_{0}=\omega_{0}RC=5$이므로 근사가 가능하다. $\displaystyle\mathcal{B}=\frac{\omega_{0}}{Q_{0}}=1600\text{rad/s}$이므로 $\displaystyle\omega_{1}\approx\omega_{0}-\frac{\mathcal{B}}{2}=7200\text{rad/s}$, $\displaystyle\omega_{2}\approx\omega_{0}+\frac{\mathcal{B}}{2}=8800\text{rad/s}$이고 동작주파수가 $\omega=8200\text{rad/s}$일 때 $\displaystyle N=\frac{8200-8000}{800}=0.25$, $\text{arg}\mathbf{Y}\approx\tan^{-1}0.25=14.04^{\circ}$이다.

$\displaystyle|\mathbf{Y}|\approx\frac{1}{40\text{k}\Omega}\sqrt{1+0.25^{2}}=25.77\mu\text{S}$이므로 $\mathbf{Y}(j8200)=25.77\angle14.04^{\circ}$이고 원래 식으로 구하면 $\displaystyle\mathbf{Y}(j8200)=\frac{1}{40\text{k}\Omega}+j\left(8200\times\frac{1}{64}\times10^{-6}-\frac{1}{8200\cdot1}\right)=25.75\angle13.87^{\circ}\mu\text{S}$이므로 약 2%의 오차가 있다. 

높은 $Q$ 병렬 공진회로에서 $f_{0}=440\text{Hz}$, $Q_{0}=6$이다. $\omega=2\pi f$, $\displaystyle\omega_{1,\,2}=\omega_{0}\left(\sqrt{1+\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}\mp\frac{1}{2Q_{0}}\right)$, $\omega_{0}=2\pi f_{0}$, $\omega_{1}=2\pi f_{1}$, $\omega_{2}=2\pi f_{2}$이다. 그러면 $\displaystyle f_{1,\,2}=f_{0}\left(\sqrt{1+\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}\mp\frac{1}{2Q_{0}}\right)$이고 $f_{1}=404.9\text{Hz}$, $f_{2}=478.2\text{Hz}$이다.

근사해서 구하면 $\displaystyle\omega_{1,\,2}\approx\omega_{0}\left(1\mp\frac{1}{2Q_{0}}\right)$이므로 $\displaystyle f_{1,\,2}\approx f_{0}\left(1\mp\frac{1}{2Q_{0}}\right)$이고 $f_{1}=403.3\text{Hz}$, $f_{2}=476.7\text{Hz}$이다.

*근사값은 $0.9\omega_{0}\leq\omega\leq1.1\omega_{0}$의 범위 안에서 적용가능하다.

참고자료: 

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill