43. 직렬 공진

43. 직렬 공진

왼쪽의 회로는 직렬 RLC회로다. 병렬공진과 비슷한 방법으로 직렬공진을 다룰 수 있다(쌍대성을 이용해도 된다).

공진주파수 \(\omega_{0}\)는 입력 임피던스의 허수부분이 \(0\)이 되도록 하는 주파수(임피던스의 위상각이 \(0\)이 되도록 하는 주파수)이고 여기서는 \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L_{s}C_{s}}}\)로 나타낸다. 또한 \(\displaystyle Q_{0}=2\pi\frac{회로에 저장되는 최대 에너지}{회로의 에너지 손실}\)인데 마찬가지로 \(\displaystyle Q_{0}=\frac{\omega_{0}L_{s}}{R_{s}}\)이다.

반전력 주파수(전류응답의 크기가 최대 전류응답의 크기의 \(70.7%\)가 되는 때의 주파수) \(\omega_{1}\), \(\omega_{2}\)에 대하여 \(|\mathbf{Z}(j\omega_{1})|=|\mathbf{Z}(j\omega_{2})|=\sqrt{2}|\mathbf{Z}|_{\max}\)이고 \(\displaystyle\omega_{1,\,2}=\omega_{0}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}\mp\frac{1}{2Q_{0}}\right]\)이다.

높은 \(Q_{0}\)를 갖는(\(Q_{0}\geq5\)) 회로에서 \(\omega_{1}\)과 \(\omega_{2}\)에 대한 근사적인 표현은 \(\displaystyle\omega_{1,\,2}\approx\omega_{0}\mp\frac{1}{2}\mathcal{B}\)이고 여기서 \(\displaystyle\mathcal{B}=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{\omega_{0}}{Q_{0}}\)는 반전력 대역폭이다.

높은 \(Q\)회로에 대해서 입력 어드미턴스의 근사적인 값은 \(\displaystyle\mathbf{Y}\approx\frac{1}{R}(1+jN)\)이고 여기서 \(\displaystyle N=\frac{\omega-\omega_{0}}{\frac{1}{2}\mathcal{B}}\)는 동작주파수와 공진주파수의 차가 반전력 대역폭의 몇배인가를 의미한다. 이러한 근삿값들은 \(0.9\omega_{0}\leq\omega\leq1.1\omega_{0}\)의 범위에서 적용가능하다.

\(R=10\Omega\), \(L=2\text{mH}\), \(C=200\text{nF}\)인 RLC직렬회로에 \(v_{s}=100\cos\omega t\,\text{mV}\)의 전압을 인가한다. \(\omega=48\text{krad/s}\)일 때의 정확한 방법과 근사적인 방법으로 전류의 진폭을 구하면

\(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=50\text{krad/s}(0.9\omega_{0}<\omega)\), \(\displaystyle Q_{0}=\omega_{0}\frac{L}{R}=10\)이므로 근사방법을 적용할 수 있다. \(\displaystyle\mathcal{B}=\frac{\omega_{0}}{Q_{0}}=5\text{krad/s}\), \(\displaystyle N=\frac{\omega-\omega_{0}}{\frac{1}{2}\mathcal{B}}=-0.8\), \(\mathbf{Z}_{eq}\approx R\sqrt{1+N^{2}}\angle\tan^{-1}N=12.81\angle-38.66^{\circ}\Omega\)이므로 근사적인 전류크기는 \(\displaystyle\frac{|\mathbf{V}_{s}|}{\mathbf{Z}_{eq}}=\frac{100}{12.81}=7.806\text{mA}\)이다.

정확하게 구하면 \(\displaystyle\mathbf{Z}_{eq}=10+j\left(48000\times(2\times10^{-3})-\frac{1}{48000\times(200\times10^{-9})}\right)=12.91\angle-39.24^{\circ}\Omega\)이므로 정확한 전류의 크기는 \(\displaystyle\frac{|\mathbf{V}_{s}|}{|\mathbf{Z}_{eq}|}=7.746\text{mA}\), \(\mathbf{I}=7.746\angle39.24^{\circ}\text{mA}\)이다.

\(\mathcal{B}=100\text{Hz}\), \(L=20\text{mH}\), \(C=2\mu\text{F}\)를 포함하는 직렬공진 회로에서 \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=5000\text{rad/s}\), \(\displaystyle f=\frac{\omega_{0}}{2\pi}=796\text{Hz}\), \(\displaystyle Q_{0}=\frac{f_{0}}{\mathcal{B}}=7.96\text{Hz}\), \(\displaystyle R=\frac{\omega_{0}L}{Q_{0}}=12.56\Omega\)이므로 \(\mathbf{Z}_{in}=12.56+j0\Omega\), \(f_{2}\approx f_{0}+\frac{1}{2}\mathcal{B}=846\text{Hz}\)이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill