43. 직렬 공진

43. 직렬 공진

왼쪽의 회로는 직렬 RLC회로다. 병렬공진과 비슷한 방법으로 직렬공진을 다룰 수 있다(쌍대성을 이용해도 된다).

공진주파수 $\omega_{0}$는 입력 임피던스의 허수부분이 $0$이 되도록 하는 주파수(임피던스의 위상각이 $0$이 되도록 하는 주파수)이고 여기서는 $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L_{s}C_{s}}}$로 나타낸다. 또한 $\displaystyle Q_{0}=2\pi\frac{회로에 저장되는 최대 에너지}{회로의 에너지 손실}$인데 마찬가지로 $\displaystyle Q_{0}=\frac{\omega_{0}L_{s}}{R_{s}}$이다.

반전력 주파수(전류응답의 크기가 최대 전류응답의 크기의 $70.7%$가 되는 때의 주파수) $\omega_{1}$, $\omega_{2}$에 대하여 $|\mathbf{Z}(j\omega_{1})|=|\mathbf{Z}(j\omega_{2})|=\sqrt{2}|\mathbf{Z}|_{\max}$이고 $\displaystyle\omega_{1,\,2}=\omega_{0}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}\mp\frac{1}{2Q_{0}}\right]$이다.

높은 $Q_{0}$를 갖는($Q_{0}\geq5$) 회로에서 $\omega_{1}$과 $\omega_{2}$에 대한 근사적인 표현은 $\displaystyle\omega_{1,\,2}\approx\omega_{0}\mp\frac{1}{2}\mathcal{B}$이고 여기서 $\displaystyle\mathcal{B}=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{\omega_{0}}{Q_{0}}$는 반전력 대역폭이다.

높은 $Q$회로에 대해서 입력 어드미턴스의 근사적인 값은 $\displaystyle\mathbf{Y}\approx\frac{1}{R}(1+jN)$이고 여기서 $\displaystyle N=\frac{\omega-\omega_{0}}{\frac{1}{2}\mathcal{B}}$는 동작주파수와 공진주파수의 차가 반전력 대역폭의 몇배인가를 의미한다. 이러한 근삿값들은 $0.9\omega_{0}\leq\omega\leq1.1\omega_{0}$의 범위에서 적용가능하다.

$R=10\Omega$, $L=2\text{mH}$, $C=200\text{nF}$인 RLC직렬회로에 $v_{s}=100\cos\omega t\,\text{mV}$의 전압을 인가한다. $\omega=48\text{krad/s}$일 때의 정확한 방법과 근사적인 방법으로 전류의 진폭을 구하면

$\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=50\text{krad/s}(0.9\omega_{0}<\omega)$, $\displaystyle Q_{0}=\omega_{0}\frac{L}{R}=10$이므로 근사방법을 적용할 수 있다. $\displaystyle\mathcal{B}=\frac{\omega_{0}}{Q_{0}}=5\text{krad/s}$, $\displaystyle N=\frac{\omega-\omega_{0}}{\frac{1}{2}\mathcal{B}}=-0.8$, $\mathbf{Z}_{eq}\approx R\sqrt{1+N^{2}}\angle\tan^{-1}N=12.81\angle-38.66^{\circ}\Omega$이므로 근사적인 전류크기는 $\displaystyle\frac{|\mathbf{V}_{s}|}{\mathbf{Z}_{eq}}=\frac{100}{12.81}=7.806\text{mA}$이다.

정확하게 구하면 $\displaystyle\mathbf{Z}_{eq}=10+j\left(48000\times(2\times10^{-3})-\frac{1}{48000\times(200\times10^{-9})}\right)=12.91\angle-39.24^{\circ}\Omega$이므로 정확한 전류의 크기는 $\displaystyle\frac{|\mathbf{V}_{s}|}{|\mathbf{Z}_{eq}|}=7.746\text{mA}$, $\mathbf{I}=7.746\angle39.24^{\circ}\text{mA}$이다.

$\mathcal{B}=100\text{Hz}$, $L=20\text{mH}$, $C=2\mu\text{F}$를 포함하는 직렬공진 회로에서 $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=5000\text{rad/s}$, $\displaystyle f=\frac{\omega_{0}}{2\pi}=796\text{Hz}$, $\displaystyle Q_{0}=\frac{f_{0}}{\mathcal{B}}=7.96\text{Hz}$, $\displaystyle R=\frac{\omega_{0}L}{Q_{0}}=12.56\Omega$이므로 $\mathbf{Z}_{in}=12.56+j0\Omega$, $f_{2}\approx f_{0}+\frac{1}{2}\mathcal{B}=846\text{Hz}$이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill