45. 스케일링

45. 스케일링

계산의 편리성 때문에 수$\Omega$, 수$\text{H}$, 수$\text{F}$정도의 값을 갖는 수동 소자들로 회로를 설계한다. 정편파 역시 수 $\text{rad/s}$정도의 주파수를 갖게 한다.(이 수치들을 사용하지 않으면 $10$의 몇제곱이나 되는 계산을 해야 한다.)

위의 회로에서 $\displaystyle\mathbf{Y}(j\omega)=\frac{1}{2.5}+j\left(2\omega-\frac{2}{\omega}\right)$, $\displaystyle|\mathbf{Z}(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{2.5}\right)^{2}+4\left(\omega-\frac{1}{\omega}\right)^{2}}}$이고 최대 임피던스는 $2.5\Omega$, 공진주파수는 $1\text{rad/s}$, $Q_{0}=5$, $\mathcal{B}=0.2\text{rad/s}$(대역폭)이다.

크기 및 주파수 스케일링: (크기: $K_{m}$배, 주파수: $K_{f}$배)

참고: 직렬일 때 $\displaystyle|\mathbf{Z}|=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}$, 병렬일 때 $\displaystyle|\mathbf{Y}|=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^{2}}$이다. 

(크기를 $2000$배로 스케일링: $\mathbf{Z}'(\mathbf{s})=K_{m}\mathbf{Z}(\mathbf{s})$)

$R:\,2000\cdot2.5=5000\Omega$, $\displaystyle L:\,2000\cdot\frac{1}{2}$, $\displaystyle C:\,\frac{1}{2000}\cdot 2=\frac{1}{1000}\text{F}$(아래그림)

(크기를 $2000$배로, 주파수를 $5\times10^{6}$배로 스케일링: $\displaystyle\mathbf{Z}''(\mathbf{s})=\mathbf{Z}'\left(\frac{\mathbf{s}}{K_{f}}\right)\left[=K_{m}\mathbf{Z}\left(\frac{\mathbf{s}}{K_{f}}\right)\right]$)

$R:\,2000\cdot2.5=5000\Omega$, $\displaystyle L:\,\frac{2000}{5\times10^{6}}\cdot\frac{1}{2}=200\mu\text{F}$, $\displaystyle C:\,\frac{1}{2000\cdot5\times10^{6}}\cdot2=200\text{pF}\,(\text{p}=10^{-12})$(아래그림)

종속전원에도 크기 및 주파수 스케일링이 적용될 수 있다. 

	종속 전류원	종속 전압원
$K_{x}$	어드미턴스	무차원
$K_{y}$	무차원	저항

$K_{x}$: 무차원이면 그대로, 어드미턴스이면 $\displaystyle\frac{1}{K_{m}}$을 곱한다($K_{m}$으로 나눈다)

$K_{y}$: 무차원이면 그대로, 임피던스이면 $K_{m}$을 곱한다.

이는 주파수 스케일링이 종속 전원에 영향을 주지 않음을 보여준다.

  

왼쪽 회로를 $K_{m}=20$, $K_{f}=50$이 되도록 스케일링하면

$\displaystyle C_{\text{scaled}}=\frac{1}{20\cdot50}\cdot0.05=50\mu\text{F}$, $\displaystyle L_{\text{scaled}}=\frac{20}{50}\cdot0.5=200\text{mH}$

종속전원에 대해서는 크기 스케일링만 고려하면 되며 주파수 스케일링은 종속전원에 영향을 주지 않는다.

 

여기서 이용된 종속전원은 전압제어전류원이다.

$K_{x}$는 어드미턴스(단위: $s$)이고 $\displaystyle\frac{0.2}{K_{m}}=0.01$

새로운 회로의 임피던스를 구하기 위해 입력단자에 $1\text{A}$의 전원을 연결한다.

스케일링 전의 회로의 입력단자에 $1\text{A}$의 전원을 연결하고 $\mathbf{s}$영역으로 변환한다. 그러면 $\mathbf{V}_{\text{in}}=\mathbf{V}_{1}+0.5\mathbf{s}(1-0.2\mathbf{V}_{1})$, $\displaystyle\mathbf{V}_{1}=\frac{20}{\mathbf{s}}\cdot1$이므로 $\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in}}=\frac{\mathbf{V}_{\text{in}}}{1}=\frac{\mathbf{s}^{2}-4\mathbf{s}+40}{2\mathbf{s}}\Omega$이고 $\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in, scaled}}=K_{m}\mathbf{Z}_{\text{in}}\left(\frac{\mathbf{s}}{K_{f}}\right)=\frac{0.2\mathbf{s}^{2}-40\mathbf{s}+20000}{\mathbf{s}}\Omega$이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill