47. 보드 다이어그램(2)

47. 보드 다이어그램(2)

■ 보드 선도 작성을 위한 부가설명

$\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{s}}{a}}$의 극점은 $\mathbf{s}=-a$이다.

왼쪽 회로에서 $\displaystyle\mathbf{V}_{x}=\frac{4000}{5000+\frac{10^{6}}{20\mathbf{s}}}\mathbf{V}_{\text{in}}$, $\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{x}}{200}+\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{5000}+\frac{\mathbf{s}}{10^{8}}\mathbf{V}_{\text{out}}=0$이므로 $\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{4000}{5000+\frac{10^{6}}{20\mathbf{s}}}\left(-\frac{1}{200}\right)\frac{5000\cdot10^{8}}{5000\mathbf{s}+10^{8}}$이고 $\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{-2\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10}\right)\left(1+\frac{\mathbf{s}}{20000}\right)}$이다.

  

왼쪽 그림에서 $\omega=10$과 $\omega=20000$사이의 평평한 구간은 $\omega=20000$에 있는 절점의 아랫부분이다.

$\displaystyle\left(1+\frac{\mathbf{s}}{20000}\right)$은 $1$로, $\omega=10$에서 $\displaystyle\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10}\right)$를 $\displaystyle\frac{\omega}{10}$으로 나타낸다.

$\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|\frac{-2\omega}{\frac{\omega}{10}\cdot1}\right|=20\log20=26\text{dB}\,(10<\omega<20000)$

(점근선 응답이 위쪽의 어느 주파수에서 좌표축의 가로축과 만나는지 알아야 할 경우가 있다. $\displaystyle\frac{\omega}{10}$, $\displaystyle\frac{\omega}{20000}$을 이용하여 표현하면 $\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|\frac{-2\omega}{\frac{\omega}{10}\cdot\frac{\omega}{20000}}\right|=20\log\left|\frac{400000}{\omega}\right|=0$일 때 $\omega=400000\text{rad/s}$)

(보통의 줄이 쳐진 종이에 대략적으로 로그 눈금 주파수 축을 그리면 된다)

10배씩의 구간을 설정한 후, $\omega=\omega_{1}$에서 $\omega=10\omega_{1}$까지의 거리를 $L$($\omega_{1}=10^{n}$)이라 하고 $\displaystyle\frac{x}{L}=\log\frac{\omega}{\omega_{1}}$이 되도록 $\omega$는 $\omega_{1}$의 오른쪽에, $x$되는 거리에 잡는다.($\omega=2\omega_{1}$일 때 $x=0.3L$, $\omega=4\omega_{1}$일 때 $x=0.6L$, $\omega=5\omega_{1}$일 때 $x=0.7L$)

$\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{-2\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10}\right)\left(1+\frac{\mathbf{s}}{20000}\right)}$일 때 $\displaystyle\mathbf{H}(j\omega)=\frac{-2j\omega}{\left(1+j\frac{\omega}{10}\right)\left(1+j\frac{\omega}{20000}\right)}$이므로 

주파수가 절점 주파수의 $0.1$배에서 $10$배인 구간에서 단순 극점에 대한 기울기는 $-45^{\circ}/\text{decade}$이고 분자의 각은 $-90^{\circ}$이다.

■고차 항

$\mathbf{s}^{\pm n}$은 크기 응답이 $\pm20n\text{dB/decade}$의 기울기를 가지면서 $\omega=1$을 통과하며 위상응답은 $\pm90n^{\circ}$의 일정한 각을 나타낸다.

$\displaystyle\left(1+\frac{\mathbf{s}}{a}\right)^{n}$(다중 영점)의 경우, 단순 영점의 크기응답곡선 및 위상응답곡선의 $n$배의 크기 및 위상으로 나타낸다.

$\omega<a$일 때 점근선의 크기선도는 $0\text{dB}$이고 $\omega>a$일 때의 기울기는 $20n\text{dB/decade}$이며 $\omega=a$에서의 오차는 $-3n\text{dB}$, $\omega=0.5a$와 $\omega=2a$에서의 오차는 $-n\text{dB}$이다.

$\omega<0.1a$에서의 위상선도는 $0^{\circ}$, $\omega=a$에서의 위상선도는 $45n^{\circ}$, $\omega>10a$에서의 위상선도는 $90n^{\circ}$이고 $0.1a<\omega<10a$에서의 기울기는 $45n^{\circ}/\text{decade}$, 두 주파수에서의 오차는 $\pm5.71n^{\circ}$만큼 크다.

 

■켤레복소수쌍

$\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+2\zeta\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)+\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)^{2}$($\displaystyle\zeta=\frac{\alpha}{\omega_{0}}$은 감쇠도, $\omega_{0}$는 점근선 응답의 절점주파수)

$\zeta=1$이면, $\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+2\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}+\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)^{2}=\left(1+\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)^{2}$(2차의 영점)이고, $\zeta>1$이면, $\mathbf{H}(\mathbf{s})$는 두 개의 단순 근으로 인수분해 된다. $0\leq\zeta\leq1$일 때, 근을 찾는 대신 크기응답과 위상응답에 대해서 낮은 주파수와 높은 주파수 점근값을 구하고 $\zeta$의 값에 따라 적절히 수정을 하면 된다.(크기응답: $\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|\mathbf{H}(j\omega)\right|=20\log\left|1+j2\zeta\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}\right|$)

 

왼쪽 그래프는 감쇠도 $\zeta$값에 대한 $\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+2\zeta\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)+\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)^{2}$의 보드 크기 선도를 나타낸 것이다.

$\omega\ll\omega_{0}$일 때, $H_{\text{dB}}=20\log1=0$

$\omega\gg\omega_{0}$일 때, $\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}\right|=40\log\frac{\omega}{\omega_{0}}$이고 이때 기울기는 $+40\text{dB/decade}$이다.

$\omega=\omega_{0}$일 때, $\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|j2\zeta\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)\right|=20\log(2\zeta)$

*$\zeta=0$이면 $\mathbf{H}(j\omega_{0})=0$이고 $H_{\text{dB}}=-\infty$이다. 이때는 보드선도를 그리지 않는다.

왼쪽 그래프는 $\displaystyle\mathbf{H}(j\omega)=1+j2\zeta\frac{\omega}{\omega_{0}}-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}$의 점근적인 위상응답을 나타낸 것이다.

$\omega<0.1\omega_{0}$에서 $\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=0^{\circ}$

$\omega>10\omega_{0}$에서 $\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=\text{Arg}\left\{-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}\right\}=180^{\circ}$

$\omega=\omega_{0}$에서 $\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=\text{Arg}(j2\zeta)=90^{\circ}$

$0.1\omega_{0}<\omega<10\omega_{0}$에서 기울기는 $90^{\circ}/\text{decade}$이다.

실제로 $\displaystyle\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=\tan^{-1}\frac{25\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)}{1-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}}$.

$\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{100000\mathbf{s}}{(1+\mathbf{s})(10000+20\mathbf{s}+\mathbf{s}^{2})}=\frac{10\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{1}\right)\left(1+0.002\mathbf{s}+0.0001\mathbf{s}^{2}\right)}$에서 $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{0.0001}}}=100$이므로 $\displaystyle\zeta=0.1$이고 $\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{10\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{1}\right)\left\{1+2\cdot0.1\cdot\frac{\mathbf{s}}{100}+\left(\frac{\mathbf{s}}{100}\right)^{2}\right\}}$의 보드선도와 보드위상선도는 다음과 같다.

위의 회로에서 $\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{-2\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10}\right)\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10000}\right)}$이고 $\mathbf{H}(\mathbf{s})$의 보드선도를 MATLAB을 이용하여 그리면 다음과 같다.

 

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill