47. 보드 다이어그램(2)

47. 보드 다이어그램(2)

■ 보드 선도 작성을 위한 부가설명

\(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{s}}{a}}\)의 극점은 \(\mathbf{s}=-a\)이다.

왼쪽 회로에서 \(\displaystyle\mathbf{V}_{x}=\frac{4000}{5000+\frac{10^{6}}{20\mathbf{s}}}\mathbf{V}_{\text{in}}\), \(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{x}}{200}+\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{5000}+\frac{\mathbf{s}}{10^{8}}\mathbf{V}_{\text{out}}=0\)이므로 \(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{4000}{5000+\frac{10^{6}}{20\mathbf{s}}}\left(-\frac{1}{200}\right)\frac{5000\cdot10^{8}}{5000\mathbf{s}+10^{8}}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{-2\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10}\right)\left(1+\frac{\mathbf{s}}{20000}\right)}\)이다.

  

왼쪽 그림에서 \(\omega=10\)과 \(\omega=20000\)사이의 평평한 구간은 \(\omega=20000\)에 있는 절점의 아랫부분이다.

\(\displaystyle\left(1+\frac{\mathbf{s}}{20000}\right)\)은 \(1\)로, \(\omega=10\)에서 \(\displaystyle\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10}\right)\)를 \(\displaystyle\frac{\omega}{10}\)으로 나타낸다.

\(\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|\frac{-2\omega}{\frac{\omega}{10}\cdot1}\right|=20\log20=26\text{dB}\,(10<\omega<20000)\)

(점근선 응답이 위쪽의 어느 주파수에서 좌표축의 가로축과 만나는지 알아야 할 경우가 있다. \(\displaystyle\frac{\omega}{10}\), \(\displaystyle\frac{\omega}{20000}\)을 이용하여 표현하면 \(\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|\frac{-2\omega}{\frac{\omega}{10}\cdot\frac{\omega}{20000}}\right|=20\log\left|\frac{400000}{\omega}\right|=0\)일 때 \(\omega=400000\text{rad/s}\))

(보통의 줄이 쳐진 종이에 대략적으로 로그 눈금 주파수 축을 그리면 된다)

10배씩의 구간을 설정한 후, \(\omega=\omega_{1}\)에서 \(\omega=10\omega_{1}\)까지의 거리를 \(L\)(\(\omega_{1}=10^{n}\))이라 하고 \(\displaystyle\frac{x}{L}=\log\frac{\omega}{\omega_{1}}\)이 되도록 \(\omega\)는 \(\omega_{1}\)의 오른쪽에, \(x\)되는 거리에 잡는다.(\(\omega=2\omega_{1}\)일 때 \(x=0.3L\), \(\omega=4\omega_{1}\)일 때 \(x=0.6L\), \(\omega=5\omega_{1}\)일 때 \(x=0.7L\))

\(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{-2\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10}\right)\left(1+\frac{\mathbf{s}}{20000}\right)}\)일 때 \(\displaystyle\mathbf{H}(j\omega)=\frac{-2j\omega}{\left(1+j\frac{\omega}{10}\right)\left(1+j\frac{\omega}{20000}\right)}\)이므로 

주파수가 절점 주파수의 \(0.1\)배에서 \(10\)배인 구간에서 단순 극점에 대한 기울기는 \(-45^{\circ}/\text{decade}\)이고 분자의 각은 \(-90^{\circ}\)이다.

■고차 항

\(\mathbf{s}^{\pm n}\)은 크기 응답이 \(\pm20n\text{dB/decade}\)의 기울기를 가지면서 \(\omega=1\)을 통과하며 위상응답은 \(\pm90n^{\circ}\)의 일정한 각을 나타낸다.

\(\displaystyle\left(1+\frac{\mathbf{s}}{a}\right)^{n}\)(다중 영점)의 경우, 단순 영점의 크기응답곡선 및 위상응답곡선의 \(n\)배의 크기 및 위상으로 나타낸다.

\(\omega<a\)일 때 점근선의 크기선도는 \(0\text{dB}\)이고 \(\omega>a\)일 때의 기울기는 \(20n\text{dB/decade}\)이며 \(\omega=a\)에서의 오차는 \(-3n\text{dB}\), \(\omega=0.5a\)와 \(\omega=2a\)에서의 오차는 \(-n\text{dB}\)이다.

\(\omega<0.1a\)에서의 위상선도는 \(0^{\circ}\), \(\omega=a\)에서의 위상선도는 \(45n^{\circ}\), \(\omega>10a\)에서의 위상선도는 \(90n^{\circ}\)이고 \(0.1a<\omega<10a\)에서의 기울기는 \(45n^{\circ}/\text{decade}\), 두 주파수에서의 오차는 \(\pm5.71n^{\circ}\)만큼 크다.

 

■켤레복소수쌍

\(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+2\zeta\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)+\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)^{2}\)(\(\displaystyle\zeta=\frac{\alpha}{\omega_{0}}\)은 감쇠도, \(\omega_{0}\)는 점근선 응답의 절점주파수)

\(\zeta=1\)이면, \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+2\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}+\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)^{2}=\left(1+\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)^{2}\)(2차의 영점)이고, \(\zeta>1\)이면, \(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)는 두 개의 단순 근으로 인수분해 된다. \(0\leq\zeta\leq1\)일 때, 근을 찾는 대신 크기응답과 위상응답에 대해서 낮은 주파수와 높은 주파수 점근값을 구하고 \(\zeta\)의 값에 따라 적절히 수정을 하면 된다.(크기응답: \(\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|\mathbf{H}(j\omega)\right|=20\log\left|1+j2\zeta\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}\right|\))

 

왼쪽 그래프는 감쇠도 \(\zeta\)값에 대한 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=1+2\zeta\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)+\left(\frac{\mathbf{s}}{\omega_{0}}\right)^{2}\)의 보드 크기 선도를 나타낸 것이다.

\(\omega\ll\omega_{0}\)일 때, \(H_{\text{dB}}=20\log1=0\)

\(\omega\gg\omega_{0}\)일 때, \(\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}\right|=40\log\frac{\omega}{\omega_{0}}\)이고 이때 기울기는 \(+40\text{dB/decade}\)이다.

\(\omega=\omega_{0}\)일 때, \(\displaystyle H_{\text{dB}}=20\log\left|j2\zeta\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)\right|=20\log(2\zeta)\)

*\(\zeta=0\)이면 \(\mathbf{H}(j\omega_{0})=0\)이고 \(H_{\text{dB}}=-\infty\)이다. 이때는 보드선도를 그리지 않는다.

왼쪽 그래프는 \(\displaystyle\mathbf{H}(j\omega)=1+j2\zeta\frac{\omega}{\omega_{0}}-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}\)의 점근적인 위상응답을 나타낸 것이다.

\(\omega<0.1\omega_{0}\)에서 \(\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=0^{\circ}\)

\(\omega>10\omega_{0}\)에서 \(\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=\text{Arg}\left\{-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}\right\}=180^{\circ}\)

\(\omega=\omega_{0}\)에서 \(\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=\text{Arg}(j2\zeta)=90^{\circ}\)

\(0.1\omega_{0}<\omega<10\omega_{0}\)에서 기울기는 \(90^{\circ}/\text{decade}\)이다.

실제로 \(\displaystyle\text{Arg}\mathbf{H}(j\omega)=\tan^{-1}\frac{25\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)}{1-\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}}\).

\(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{100000\mathbf{s}}{(1+\mathbf{s})(10000+20\mathbf{s}+\mathbf{s}^{2})}=\frac{10\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{1}\right)\left(1+0.002\mathbf{s}+0.0001\mathbf{s}^{2}\right)}\)에서 \(\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{0.0001}}}=100\)이므로 \(\displaystyle\zeta=0.1\)이고 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{10\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{1}\right)\left\{1+2\cdot0.1\cdot\frac{\mathbf{s}}{100}+\left(\frac{\mathbf{s}}{100}\right)^{2}\right\}}\)의 보드선도와 보드위상선도는 다음과 같다.

위의 회로에서 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{-2\mathbf{s}}{\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10}\right)\left(1+\frac{\mathbf{s}}{10000}\right)}\)이고 \(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)의 보드선도를 MATLAB을 이용하여 그리면 다음과 같다.

 

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill