48. 기본적인 필터 설계

48. 기본적인 필터 설계

저역 통과 필터 차단주파수보다 낮은 주파수를 통과시키고 차단주파수보다 높은 주파수는 많이 감쇠시킨다.

고역 통과 필터 차단주파수보다 높은 주파수를 통과시키고 차단주파수보다 낮은 주파수는 많이 감쇠시킨다.

필터에서 중요한 점은 차단 주파수에서 응답곡선이 얼마나 빨리 꺾이는가 또는 절점주파수 근처에서 곡선의 경사가 얼마나 급한가이다.

(급한경사를 갖는 응답일수록 회로가 복잡하다)

대역통과필터 저역통과필터와 고역통과필터의 결합이다.

대역소거필터 높은 주파수와 낮은 주파수는 통과시키고, 두 절점주파수 사이의 주파수를 갖는 신호는 감쇠시킨다.

수동 저역통과필터 및 수동 고역통과필터

 왼쪽 회로에서

\(\displaystyle\mathbf{V}_{\text{out}}=\frac{\frac{1}{\mathbf{s}C}}{R+\frac{1}{\mathbf{s}}C}\mathbf{V}_{\text{in}}=\frac{1}{1+RC\mathbf{s}}\mathbf{V}_{\text{in}}\)이므로

저역통과필터의 전달함수는 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{1}{1+RC\mathbf{s}}\)이고, 절점주파수는 \(\displaystyle\omega=\frac{1}{RC}\)이며

\(\displaystyle\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,0}{|\mathbf{H}(\mathbf{s})|}=1\,(0\text{dB})\), \(\displaystyle\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,\infty}{|\mathbf{H}(\mathbf{s})|}=0\)이다.

(고역통과필터는 위 회로에서 저항과 커패시터의 위치를 서로 바꾸면 된다)

ex) 절점주파수가 \(3\text{kHz}\)인 고역통과필터를 설계하라

  

왼쪽 회로에서 \(\displaystyle\mathbf{V}_{\text{out}}=\frac{R}{\frac{1}{\mathbf{s}C}+R}\mathbf{V}_{\text{in}}=\frac{RC\mathbf{s}}{1+RC\mathbf{s}}\mathbf{V}_{\text{in}}\)이므로 전달함수는 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{RC\mathbf{s}}{1+RC\mathbf{s}}\)이고 \(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)의 영점은 \(\mathbf{s}=0\), 극점은 \(\displaystyle\mathbf{s}=-\frac{1}{RC}\)이므로 고역통과필터의 특성을 갖는다\(\displaystyle\left(\lim_{\omega\,\rightarrow\,\infty}{|\mathbf{H}|}=0\right)\)

절점주파수는 \(\displaystyle\omega_{c}=\frac{1}{RC}\)이고 \(\omega_{c}=2\pi f_{c}=2\pi\cdot3000=18.85\text{krad/s}\)이다. 이때 표준저항 \(R=4.7\text{k}\Omega\)를 사용하면 \(C=11.29\text{nF}\)이고, 절점주파수가 \(13.56\text{MHz}\)일 때 \(R=4.7\text{k}\Omega\), \(C=2.50\text{pF}\)이다.

대역통과필터

  

왼쪽 회로에서 \(\displaystyle\mathbf{V}_{o}=\frac{R}{\mathbf{s}L+\frac{1}{\mathbf{s}C}+R}\mathbf{V}_{i}=\frac{\mathbf{s}RC}{\mathbf{s}^{2}LC+\mathbf{s}RC+1}\mathbf{V}_{i}\)이므로 전달함수는 \(\displaystyle|\mathbf{A}_{V}|=\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{i}}=\frac{\mathbf{s}RC}{LC\mathbf{s}^{2}+RC\mathbf{s}+1}\), \(\displaystyle|\mathbf{A}_{V}|=\frac{\omega RC}{\sqrt{(1-\omega^{2}LC)^{2}+(\omega RC)^{2}}}\)이고 \(\displaystyle\lim_{\omega\,\rightarrow\,0}{|\mathbf{A}_{V}|}=0\), \(\displaystyle\lim_{\omega\,\rightarrow\,\infty}{|\mathbf{A}_{V}|}=0\)이다. (\(\omega\,\rightarrow\,0\)일 때 \(|\mathbf{A}_{V}|\approx\omega RC\,\rightarrow\,0\), \(\omega\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle|\mathbf{A}_{V}|\approx\frac{R}{\omega L}\,\rightarrow\,0\))

\(|\mathbf{A}_{V}|\)의 중심주파수는 \(\displaystyle\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)이고 이때 \(\displaystyle|\mathbf{A}_{V}|=\frac{\omega RC}{\sqrt{(1-\omega^{2}LC)^{2}+(\omega RC)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 \((1-LC\omega_{c}^{2})^{2}=\omega_{c}^{2}R^{2}C^{2}\)이고

\((1-LC\omega_{c}^{2})=\omega_{c}RC\)식으로부터 \(LC\omega_{c}^{2}+RC\omega_{c}-1=0\)이고 \(\displaystyle\omega_{c}=-\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}\),

\((1-LC\omega_{c}^{2})=-\omega_{c}RC\)식으로부터 \(LC\omega_{c}^{2}-RC\omega_{c}-1=0\)이고 \(\displaystyle\omega_{c}=\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}\)

를 얻는다.(음의 주파수는 물리적으로 의미가 없다)

여기서 \(\displaystyle\omega_{L}=-\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}\), \(\displaystyle\omega_{H}=\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}\)이고 \(\displaystyle\mathcal{B}=\omega_{H}-\omega_{L}=\frac{R}{L}\)이다.

ex) 대역폭이 \(1\text{MHz}\)이고 높은 쪽의 차단주파수가 \(f_{H}=1.1\text{MHz}\)인 대역통과필터를 설계하라

대역폭이 \(f_{H}-f_{L}\)이므로 \(f_{L}=100\text{kHz}\)이고 \(\omega_{L}=628.3\text{krad/s}\), \(\omega_{H}=6.912\text{Mrad/s}\)이다. 그러면 \(\mathcal{B}=\omega_{H}-\omega_{L}=6.283\times10^{6}\text{rad/s}\)이고$$\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}=\frac{1}{2}\frac{R}{L}+\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{R}{L}\right)^{2}+\frac{1}{LC}}=\frac{1}{2}\mathcal{B}+\sqrt{\frac{1}{4}\mathcal{B}^{2}+\frac{1}{LC}}=2\pi(1.1\times10^{6})$$이므로 \(\displaystyle\frac{1}{LC}=4.343\times10^{12}\)이고 \(L=50\text{mH}\)라 하면, \(R=314\Omega\), \(C=4.6\text{pF}\)이다. 

능동필터

연산증폭기와 같은 능동소자를 사용하면 수동필터의 많은 단점을 극복할 수 있다. 이러한 필터를 능동필터라 한다.

연산증폭기의 내부 회로에는 아주 작은(보통 \(100\text{pF}\)) 커패시턴스들이 포함되며, 이 커패시턴스들이 연산증폭기가 잘 동작할 수 있는 최대주파수를 결정한다.

ex)차단주파수가 \(10\text{Hz}\), 전압이득이 \(40\text{dB}\)인 능동 저역통과필터를 설계하라

설계를 위해서는 \(10\text{kHz}\)보다 아주 낮은 주파수에 대해서 이득이 \(40\text{dB}\)(또는 \(\displaystyle\frac{100\text{V}}{1\text{V}}=10^{2}\))인 증폭기 회로가 필요하다.

왼쪽 회로에서

\(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}-\mathbf{V}_{1}}{R_{f}}=\frac{\mathbf{V}_{1}-0}{R_{1}}\)이므로 \(\displaystyle\mathbf{V}_{o}=\left(1+\frac{R_{f}}{R_{1}}\right)\mathbf{V}_{1}\)이고

\(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{V}_{1}}=1+\frac{R_{f}}{R_{1}}=100\)이어야 한다.

회로의 절점주파수를 \(10\text{kHz}\)로 하기 위해서는 연산증폭기의 입력에 저역통과 필터가 필요하다.

왼쪽 회로에서

\(\displaystyle\mathbf{V}_{+}=\frac{\frac{1}{\mathbf{s}C}}{R_{2}+\frac{1}{\mathbf{s}C}}\mathbf{V}_{i}=\frac{1}{1+\mathbf{s}R_{2}C}\mathbf{V}_{i}\), \(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}-\mathbf{V}_{+}}{R_{f}}=\frac{\mathbf{V}_{+}-0}{R_{1}}\)이므로

\(\displaystyle\mathbf{V}_{o}=\frac{1}{1+\mathbf{s}R_{2}C}\left(1+\frac{R_{f}}{R_{1}}\right)\mathbf{V}_{i}\)이고

이득 \(\displaystyle\mathbf{A}_{V}=\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{V}_{1}}\)의 최댓값이 \(\displaystyle1+\frac{R_{f}}{R_{1}}\)이므로 \(\displaystyle1+\frac{R_{f}}{R_{1}}=100\)이고 \(\displaystyle\frac{R_{f}}{R_{1}}=99\)이므로 \(R_{1}=1\text{k}\Omega\), \(R_{f}=99\text{k}\Omega\), \(C=1\mu\text{F}\)(임의로 설정), \(\displaystyle R_{2}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi(10\times10^{3})\text{C}}=15.9\Omega\)이다.

*참고: 여기에서 연산증폭기는 LF111을 이용한다

(μA741을 사용할 때 절점주파수는 \(6.4\text{Hz}\), LF111을 사용할 때 절점주파수는 약 \(75\text{kHz}\), 차단주파수는 \(10\text{kHz}\))

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill