48. 기본적인 필터 설계
저역 통과 필터 차단주파수보다 낮은 주파수를 통과시키고 차단주파수보다 높은 주파수는 많이 감쇠시킨다. |
고역 통과 필터 차단주파수보다 높은 주파수를 통과시키고 차단주파수보다 낮은 주파수는 많이 감쇠시킨다. |
필터에서 중요한 점은 차단 주파수에서 응답곡선이 얼마나 빨리 꺾이는가 또는 절점주파수 근처에서 곡선의 경사가 얼마나 급한가이다.
(급한경사를 갖는 응답일수록 회로가 복잡하다)
대역통과필터 저역통과필터와 고역통과필터의 결합이다. |
대역소거필터 높은 주파수와 낮은 주파수는 통과시키고, 두 절점주파수 사이의 주파수를 갖는 신호는 감쇠시킨다. |
수동 저역통과필터 및 수동 고역통과필터
왼쪽 회로에서
\(\displaystyle\mathbf{V}_{\text{out}}=\frac{\frac{1}{\mathbf{s}C}}{R+\frac{1}{\mathbf{s}}C}\mathbf{V}_{\text{in}}=\frac{1}{1+RC\mathbf{s}}\mathbf{V}_{\text{in}}\)이므로
저역통과필터의 전달함수는 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{1}{1+RC\mathbf{s}}\)이고, 절점주파수는 \(\displaystyle\omega=\frac{1}{RC}\)이며
\(\displaystyle\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,0}{|\mathbf{H}(\mathbf{s})|}=1\,(0\text{dB})\), \(\displaystyle\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,\infty}{|\mathbf{H}(\mathbf{s})|}=0\)이다.
(고역통과필터는 위 회로에서 저항과 커패시터의 위치를 서로 바꾸면 된다)
ex) 절점주파수가 \(3\text{kHz}\)인 고역통과필터를 설계하라
왼쪽 회로에서 \(\displaystyle\mathbf{V}_{\text{out}}=\frac{R}{\frac{1}{\mathbf{s}C}+R}\mathbf{V}_{\text{in}}=\frac{RC\mathbf{s}}{1+RC\mathbf{s}}\mathbf{V}_{\text{in}}\)이므로 전달함수는 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{\mathbf{V}_{\text{in}}}=\frac{RC\mathbf{s}}{1+RC\mathbf{s}}\)이고 \(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)의 영점은 \(\mathbf{s}=0\), 극점은 \(\displaystyle\mathbf{s}=-\frac{1}{RC}\)이므로 고역통과필터의 특성을 갖는다\(\displaystyle\left(\lim_{\omega\,\rightarrow\,\infty}{|\mathbf{H}|}=0\right)\)
절점주파수는 \(\displaystyle\omega_{c}=\frac{1}{RC}\)이고 \(\omega_{c}=2\pi f_{c}=2\pi\cdot3000=18.85\text{krad/s}\)이다. 이때 표준저항 \(R=4.7\text{k}\Omega\)를 사용하면 \(C=11.29\text{nF}\)이고, 절점주파수가 \(13.56\text{MHz}\)일 때 \(R=4.7\text{k}\Omega\), \(C=2.50\text{pF}\)이다.
대역통과필터
왼쪽 회로에서 \(\displaystyle\mathbf{V}_{o}=\frac{R}{\mathbf{s}L+\frac{1}{\mathbf{s}C}+R}\mathbf{V}_{i}=\frac{\mathbf{s}RC}{\mathbf{s}^{2}LC+\mathbf{s}RC+1}\mathbf{V}_{i}\)이므로 전달함수는 \(\displaystyle|\mathbf{A}_{V}|=\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{i}}=\frac{\mathbf{s}RC}{LC\mathbf{s}^{2}+RC\mathbf{s}+1}\), \(\displaystyle|\mathbf{A}_{V}|=\frac{\omega RC}{\sqrt{(1-\omega^{2}LC)^{2}+(\omega RC)^{2}}}\)이고 \(\displaystyle\lim_{\omega\,\rightarrow\,0}{|\mathbf{A}_{V}|}=0\), \(\displaystyle\lim_{\omega\,\rightarrow\,\infty}{|\mathbf{A}_{V}|}=0\)이다. (\(\omega\,\rightarrow\,0\)일 때 \(|\mathbf{A}_{V}|\approx\omega RC\,\rightarrow\,0\), \(\omega\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle|\mathbf{A}_{V}|\approx\frac{R}{\omega L}\,\rightarrow\,0\))
\(|\mathbf{A}_{V}|\)의 중심주파수는 \(\displaystyle\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)이고 이때 \(\displaystyle|\mathbf{A}_{V}|=\frac{\omega RC}{\sqrt{(1-\omega^{2}LC)^{2}+(\omega RC)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 \((1-LC\omega_{c}^{2})^{2}=\omega_{c}^{2}R^{2}C^{2}\)이고
\((1-LC\omega_{c}^{2})=\omega_{c}RC\)식으로부터 \(LC\omega_{c}^{2}+RC\omega_{c}-1=0\)이고 \(\displaystyle\omega_{c}=-\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}\),
\((1-LC\omega_{c}^{2})=-\omega_{c}RC\)식으로부터 \(LC\omega_{c}^{2}-RC\omega_{c}-1=0\)이고 \(\displaystyle\omega_{c}=\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}\)
를 얻는다.(음의 주파수는 물리적으로 의미가 없다)
여기서 \(\displaystyle\omega_{L}=-\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}\), \(\displaystyle\omega_{H}=\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}\)이고 \(\displaystyle\mathcal{B}=\omega_{H}-\omega_{L}=\frac{R}{L}\)이다.
ex) 대역폭이 \(1\text{MHz}\)이고 높은 쪽의 차단주파수가 \(f_{H}=1.1\text{MHz}\)인 대역통과필터를 설계하라
대역폭이 \(f_{H}-f_{L}\)이므로 \(f_{L}=100\text{kHz}\)이고 \(\omega_{L}=628.3\text{krad/s}\), \(\omega_{H}=6.912\text{Mrad/s}\)이다. 그러면 \(\mathcal{B}=\omega_{H}-\omega_{L}=6.283\times10^{6}\text{rad/s}\)이고$$\frac{R}{2L}+\frac{\sqrt{R^{2}C^{2}+4LC}}{2LC}=\frac{1}{2}\frac{R}{L}+\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{R}{L}\right)^{2}+\frac{1}{LC}}=\frac{1}{2}\mathcal{B}+\sqrt{\frac{1}{4}\mathcal{B}^{2}+\frac{1}{LC}}=2\pi(1.1\times10^{6})$$이므로 \(\displaystyle\frac{1}{LC}=4.343\times10^{12}\)이고 \(L=50\text{mH}\)라 하면, \(R=314\Omega\), \(C=4.6\text{pF}\)이다.
능동필터
연산증폭기와 같은 능동소자를 사용하면 수동필터의 많은 단점을 극복할 수 있다. 이러한 필터를 능동필터라 한다.
연산증폭기의 내부 회로에는 아주 작은(보통 \(100\text{pF}\)) 커패시턴스들이 포함되며, 이 커패시턴스들이 연산증폭기가 잘 동작할 수 있는 최대주파수를 결정한다.
ex)차단주파수가 \(10\text{Hz}\), 전압이득이 \(40\text{dB}\)인 능동 저역통과필터를 설계하라
설계를 위해서는 \(10\text{kHz}\)보다 아주 낮은 주파수에 대해서 이득이 \(40\text{dB}\)(또는 \(\displaystyle\frac{100\text{V}}{1\text{V}}=10^{2}\))인 증폭기 회로가 필요하다.
왼쪽 회로에서
\(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}-\mathbf{V}_{1}}{R_{f}}=\frac{\mathbf{V}_{1}-0}{R_{1}}\)이므로 \(\displaystyle\mathbf{V}_{o}=\left(1+\frac{R_{f}}{R_{1}}\right)\mathbf{V}_{1}\)이고
\(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{V}_{1}}=1+\frac{R_{f}}{R_{1}}=100\)이어야 한다.
회로의 절점주파수를 \(10\text{kHz}\)로 하기 위해서는 연산증폭기의 입력에 저역통과 필터가 필요하다.
왼쪽 회로에서
\(\displaystyle\mathbf{V}_{+}=\frac{\frac{1}{\mathbf{s}C}}{R_{2}+\frac{1}{\mathbf{s}C}}\mathbf{V}_{i}=\frac{1}{1+\mathbf{s}R_{2}C}\mathbf{V}_{i}\), \(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{o}-\mathbf{V}_{+}}{R_{f}}=\frac{\mathbf{V}_{+}-0}{R_{1}}\)이므로
\(\displaystyle\mathbf{V}_{o}=\frac{1}{1+\mathbf{s}R_{2}C}\left(1+\frac{R_{f}}{R_{1}}\right)\mathbf{V}_{i}\)이고
이득 \(\displaystyle\mathbf{A}_{V}=\frac{\mathbf{V}_{o}}{\mathbf{V}_{1}}\)의 최댓값이 \(\displaystyle1+\frac{R_{f}}{R_{1}}\)이므로 \(\displaystyle1+\frac{R_{f}}{R_{1}}=100\)이고 \(\displaystyle\frac{R_{f}}{R_{1}}=99\)이므로 \(R_{1}=1\text{k}\Omega\), \(R_{f}=99\text{k}\Omega\), \(C=1\mu\text{F}\)(임의로 설정), \(\displaystyle R_{2}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi(10\times10^{3})\text{C}}=15.9\Omega\)이다.
*참고: 여기에서 연산증폭기는 LF111을 이용한다
(μA741을 사용할 때 절점주파수는 \(6.4\text{Hz}\), LF111을 사용할 때 절점주파수는 약 \(75\text{kHz}\), 차단주파수는 \(10\text{kHz}\))
참고자료:
Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill
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