41. 병렬공진

41. 병렬공진

어느 물리적 시스템에서 일정한 진폭의 정현파 구동함수에 대한 응답이 그 시스템이 가질 수 있는 최대진폭일 때, 이 시스템은 공진의 조건을 만족한다.

회로망의 입력단자에서 전압과 전류가 같은 위상일 때, 회로망은 공진상태에 있다.

이상적인 전류원에서 본 정상상태 어드미턴스는 $\displaystyle Y=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)$이고 입력단자에서 전압과 전류가 동위상(어드미턴스가 순수 저항성)이면, 공진이 일어난다. 

공진이 일어나기 위해서는 $\displaystyle\omega C-\frac{1}{\omega L}=0$이어야 하고 이때의 주파수 $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$를 

공진주파수라고 한다.($\displaystyle f_{0}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$)

어드미턴스 함수의 극점-영점 분포 이용:

$\displaystyle\mathbf{Y(s)}=\frac{1}{R}+\frac{1}{\mathbf{s}L}+\mathbf{s}C=\frac{C}{\mathbf{s}}\left(\mathbf{s}^{2}+\frac{1}{RC}\mathbf{s}+\frac{1}{LC}\right)=\frac{C}{\mathbf{s}}(\mathbf{s}+\alpha-j\omega_{d})(\mathbf{s}+\alpha+j\omega_{d})$

$\displaystyle\left(\alpha=\frac{1}{2RC},\,\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}},\,\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}\right)$에서 $\displaystyle\mathbf{Z(s)}=\frac{1}{\mathbf{Y(s)}}=\frac{\mathbf{s}}{C(\mathbf{s}+\alpha-j\omega_{d})(\mathbf{s}+\alpha+j\omega_{d})}$이고 $\mathbf{Z}(0)=0$, $\mathbf{Z}(\omega_{0})=R$(최대), $\displaystyle\lim_{\omega\,\rightarrow\,\infty}{\mathbf{Z}(j\omega)}=0$이다.

   

공진일 때 어드미턴스는 최소($\displaystyle\mathbf{Y}(j\omega_{0})=\frac{1}{R}$)이고, 임피던스는 최대

($\mathbf{Z}(j\omega_{0})=R$)이다.

공진주파수($\omega_{0}$)에서 병렬공진회로의 전압은 $\mathbf{I}R$이고

$\displaystyle\mathbf{I}_{L,\,0}=\frac{\mathbf{V}_{L,\,0}}{j\omega_{0}L}=\frac{\mathbf{I}R}{j\omega_{0}L},\,\mathbf{I}_{C,\,0}=j\omega_{0}C\mathbf{V}_{C,\,0}=j\omega_{0}CR\mathbf{I}$, 공진에서 $\displaystyle\frac{1}{\omega_{0}C}=\omega_{0}L$이므로 $\mathbf{I}_{C,\,0}=-\mathbf{I}_{L,\,0}=j\omega_{0}CR\mathbf{I}$이고 $\mathbf{I}_{C,\,0}+\mathbf{I}_{L,\,0}=\mathbf{I}_{L,\,C}=0$이므로 LC결합에 흐르는 순 전류는 $0$이다. 

 

양호도는 최대저장에너지를 주기당 총 손실에너지로 나눈 값에 $2\pi$를 곱한 값이다. 즉 $\displaystyle Q=양호도=2\pi\frac{최대 저장 에너지}{주기당 총 손실에너지}$. 양호도의 단위는 없다.

병렬 RLC회로에서 $\displaystyle Q=2\pi\frac{[W_{L}(t)+W_{C}(t)]_{\max}}{P_{R}T}$($T$는 $Q$가 계산되는 정현파 주파수의 주기, $Q_{0}$는 공진주파수에서의 $Q$값)이고 $i(t)=I_{m}\cos\omega_{0}t$이므로 $v(t)=Ri(t)=RI_{m}\cos\omega_{0}t$이다.

$\displaystyle w_{C}(t)=\frac{1}{2}C\{v(t)\}^{2}=\frac{1}{2}I_{m}^{2}R^{2}C\cos^{2}\omega_{0}t$, $\displaystyle w_{L}(t)=\frac{1}{2}L\{i(t)\}^{2}=\frac{1}{2}L\left(\int{vdt}\right)^{2}=\frac{1}{2L}\left[\frac{RI_{m}}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t\right]^{2}=\frac{1}{2}I_{m}^{2}R^{2}C\sin^{2}\omega_{0}t$
이므로 $\displaystyle w(t)=w_{L}(t)+w_{C}(t)=\frac{1}{2}I_{m}^{2}R^{2}C$이다. 그러면 $\displaystyle P_{R}=\frac{1}{2}I_{m}^{2}R$, $P_{R}T=\frac{1}{2f_{0}}I_{m}^{2}R$에서 $\displaystyle Q_{0}=2\pi\frac{w(t)}{P_{R}T}=2\pi f_{0}RC=\omega_{0}RC$이다. ($\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$에서 $\displaystyle Q_{0}=R\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{R}{|X_{C,\,0}|}=\frac{R}{|X_{L,\,0}|}$)

$Q$에 대한 다른 설명:

$\mathbf{I}_{C,\,0}=-\mathbf{I}_{L,\,0}=j\omega_{0}CR\mathbf{I}=jQ_{0}\mathbf{I}$이므로 전류증폭기로 사용할 수 있으나 수동회로망이므로 전력증폭기가 될 수 없다.

공진은 입력 임피던스의 항으로 정의되기 때문에 강제응답과 관련이 있다. 공진회로에서 가장 중요한 파라미터는 공진주파수 $\omega_{0}$과 양호도 $Q_{0}$이다. $\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}=\frac{1}{2\frac{Q_{0}}{\omega_{0}C}C}=\frac{\omega_{0}}{2Q_{0}}$($Q_{0}=\omega_{0}RC$에서 $\displaystyle R=\frac{Q_{0}}{\omega_{0}C}$)이므로 $\displaystyle\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}=\omega_{0}\sqrt{1-\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}$

어드미턴스 식에서의 분자는 $\displaystyle\mathbf{s}^{2}+\frac{1}{RC}\mathbf{s}+\frac{1}{LC}=\mathbf{s}^{2}+2\alpha\mathbf{s}+\omega_{0}^{2}=\mathbf{s}^{2}+2\zeta\omega_{0}\mathbf{s}+\omega_{0}^{2}$이고 여기서 $\displaystyle\zeta=\frac{\alpha}{\omega_{0}}=\frac{1}{2Q_{0}}$를 감쇠도라고 한다. 감쇠도의 단위는 없다.

$L=2\text{mH}$, $Q_{0}=5$, $C=10\text{nF}$인 RLC병렬회로에서 $R$값은 $\displaystyle R=Q_{0}\sqrt{\frac{L}{C}}=2.236\text{k}\Omega$이고 $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=223.6\text{krad/s}$(또는 $\displaystyle\omega_{0}=\frac{Q_{0}}{RC}=223.6\text{krad/s}$)이다. $\displaystyle\mathbf{Y}=\frac{1}{R}+j\omega C+\frac{1}{j\omega L}$, $\displaystyle|\mathbf{Y}|=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)^{2}}$에서

$|\mathbf{Y}(0.9\omega_{0})|=6.504\times10^{-4}\text{S}$, $|\mathbf{Y}(\omega_{0})|=4.472\times10^{-4}\text{S}$, $|\mathbf{Y}(1.1\omega_{0})|=6.182\times10^{-4}\text{S}$($\omega=\omega_{0}$일 때 최소)이므로 리액턴스 값은 $X(0.9\omega_{0})=-4.72\times10^{-4}\Omega$, $X(1.1\omega_{0})=-1.36\times10^{-7}\Omega$, $X(\omega_{0})=4.72\times10^{-7}$(반올림 오차로 인해 $X(\omega_{0})$의 값이 $0$이 되지 않음)

$R=8\text{k}\Omega$, $L=50\text{mH}$, $C=80\text{nF}$로 이루어진 병렬회로에서

$\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=15.811\text{krad/s}$, $Q_{0}=\omega_{0}RC=10.12$, $\displaystyle\omega_{d}=\omega_{0}\sqrt{1-\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}=15.792\text{krad/s}$, $\displaystyle\alpha=\frac{1}{2RC}=781\text{Np/s}$, $\displaystyle\zeta=\frac{\alpha}{\omega_{0}}=0.0494$이다.

       

왼쪽 그림에서$\displaystyle\alpha=\frac{\omega_{0}}{2Q_{0}}$, $\displaystyle\omega_{d}=\omega_{0}\sqrt{1-\left(\frac{1}{2Q_{0}}\right)^{2}}$이고

$Q_{0}\geq5$이면, 높은 $Q$회로라고 한다.

$Q_{0}=5$일 때 $\mathbf{s}=-0.1\omega_{0}\pm j0.995\omega_{0}$이고 $|\omega_{0}-\omega_{d}|=0.005\omega_{0}$

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill