40. 전송정수

40. 전송정수

$\mathbf{V}_{1}=\mathbf{t}_{11}\mathbf{V}_{2}-\mathbf{t}_{12}\mathbf{I}_{2},\,\mathbf{I}_{1}=\mathbf{t}_{21}\mathbf{V}_{2}-\mathbf{t}_{22}\mathbf{I}_{2}$

또는

$\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{1}\\ \mathbf{I}_{2}\end{pmatrix}=\mathbf{t}\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{2}\\-\mathbf{I}_{2}\end{pmatrix},\,\mathbf{t}=\begin{pmatrix}\mathbf{t}_{11}&\mathbf{t}_{12}\\ \mathbf{t}_{21}&\mathbf{t}_{22}\end{pmatrix}$

하나의 정수를 구하기 위한 한가지 가능한 과정:

$\displaystyle\mathbf{t}_{12}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{-\mathbf{I}_{2}}|_{\mathbf{V}_{2}=0},\,\mathbf{V}_{1}=1\text{V},\,\mathbf{V}_{2}=0\text{V}$(단락)

$1\text{V}$ 전원에서 바라본 등가저항: $\displaystyle R_{eq}=2+(4||10)=\frac{34}{7}\Omega$

$\displaystyle-\mathbf{I}_{2}=\frac{1}{34/7}\times\frac{10}{10+4}=\frac{5}{34}\,\Rightarrow\,\mathbf{t}_{12}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{-\mathbf{I}_{2}}=\frac{1}{-\mathbf{I}_{2}}=\frac{34}{5}=6.8\Omega$

나머지 정수들이 모두 필요한 경우: 두 개의 식 $\mathbf{V}_{1}=12\mathbf{I}_{1}+10\mathbf{I}_{2},\,\mathbf{V}_{2}=10\mathbf{I}_{1}+14\mathbf{I}_{2}$을 이용하면 $\mathbf{I}_{1}=0.1\mathbf{V}_{2}-1.4\mathbf{I}_{2}$식을 얻고 $\mathbf{t}_{21}=0.1\text{S},\,\mathbf{t}_{22}=1.4$

또한 $\mathbf{V}_{1}=12(0.1\mathbf{V}_{2}-1.4\mathbf{I}_{2})+10\mathbf{I}_{2}=1.2\mathbf{V}_{2}-6.8\mathbf{I}_{2},\,\mathbf{t}_{11}=1.2,\,\mathbf{t}_{12}=6.8\Omega$이고 $\mathbf{t}=\begin{pmatrix}1.2&6.8\Omega\\0.1\text{S}&1.4\end{pmatrix},\,\Delta_{t}=\det\mathbf{t}=\det\begin{pmatrix}1.2&6.8\\0.1&1.4\end{pmatrix}=1$

회로망 A, B는 직결되어있다.

회로망 A:$\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{1}\\ \mathbf{I}_{1}\end{pmatrix}=\mathbf{t}_{A}\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{2}\\-\mathbf{I}_{2}\end{pmatrix}=\mathbf{t}_{A}\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{3}\\ \mathbf{I}_{3}\end{pmatrix}$,

회로망 B:$\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{3}\\ \mathbf{I}_{3}\end{pmatrix}=\mathbf{t}_{B}\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{4}\\ \mathbf{I}_{4}\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{1}\\ \mathbf{I}_{1}\end{pmatrix}=\mathbf{t}_{A}\mathbf{t}_{B}\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{4}\\-\mathbf{I}_{4}\end{pmatrix},\,\mathbf{t}=\mathbf{t}_{A}\mathbf{t}_{B}$

회로망 A는 이미 앞에서 전송정수를 구했다.

$\mathbf{t}_{A}=\begin{pmatrix}1.2&6.8\Omega\\0.1\text{S}&1.4\end{pmatrix}$

회로망 B는 회로망 A의 저항의 2배이다. 그러면

$\mathbf{t}_{B}=\begin{pmatrix}1.2&13.6\Omega\\0.05\text{S}&1.4\end{pmatrix}$(저항을 2배, 컨덕턴스를 0.5배)

$\mathbf{t}=\begin{pmatrix}3.2&8\Omega\\0.2\text{S}&4\end{pmatrix}$일 때 $\mathbf{V}_{1}=3.2\mathbf{V}_{2}-8\mathbf{I}_{2},\,\mathbf{I}_{1}=0.2\mathbf{V}_{2}-4\mathbf{I}_{2}$이고 $\mathbf{V}_{2}=5\mathbf{I}_{1}+20\mathbf{I}_{2},\,\mathbf{V}_{1}=16\mathbf{I}_{1}+56\mathbf{I}_{2}$그러면 $\mathbf{Z}=\begin{pmatrix}16&56\\5&20\end{pmatrix}(\Omega)$

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill