37. 등가 회로망

37. 등가 회로망

단락회로 어드미턴스 정수를 구하는 방정식: $\mathbf{I}_{1}=\mathbf{y}_{11}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{12}\mathbf{V}_{2},\,\mathbf{I}_{2}=\mathbf{y}_{21}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{22}\mathbf{V}_{2}$.

$\mathbf{y}_{12}\neq\mathbf{y}_{21}$이면 위 방정식에 해당하는 등가회로를 구하기 어렵다. 다음과 같이 $\mathbf{y}_{12}=\mathbf{y}_{21}$이 되도록 조정.

 

$\mathbf{y}_{11}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{12}\mathbf{V}_{2}=\mathbf{I}_{1}$

$\mathbf{y}_{12}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{22}\mathbf{V}_{2}=\mathbf{I}_{2}-(\mathbf{y}_{21}-\mathbf{y}_{12})\mathbf{V}_{1}$

$\mathbf{y}_{11}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{21}\mathbf{V}_{2}=\mathbf{I}_{1}-(\mathbf{y}_{21}-\mathbf{y}_{12})\mathbf{V}_{2}$

$\mathbf{y}_{21}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{22}\mathbf{V}_{2}=\mathbf{I}_{2}$

$\Delta-Y$변환

$Y\,\Rightarrow\,\Delta$                     $\Delta\,\Rightarrow\,Y$ $\displaystyle\mathbf{Z}_{A}=\frac{\mathbf{Z}_{1}\mathbf{Z}_{2}+\mathbf{Z}_{2}\mathbf{Z}_{3}+\mathbf{Z}_{3}\mathbf{Z}_{1}}{\mathbf{Z}_{2}}$        $\displaystyle\mathbf{Z}_{1}=\frac{\mathbf{Z}_{A}\mathbf{Z}_{B}}{\mathbf{Z}_{A}+\mathbf{Z}_{B}+\mathbf{Z}_{C}}$ $\displaystyle\mathbf{Z}_{B}=\frac{\mathbf{Z}_{1}\mathbf{Z}_{2}+\mathbf{Z}_{2}\mathbf{Z}_{3}+\mathbf{Z}_{3}\mathbf{Z}_{1}}{\mathbf{Z}_{3}}$        $\displaystyle\mathbf{Z}_{2}=\frac{\mathbf{Z}_{B}\mathbf{Z}_{C}}{\mathbf{Z}_{A}+\mathbf{Z}_{B}+\mathbf{Z}_{C}}$ $\displaystyle\mathbf{Z}_{C}=\frac{\mathbf{Z}_{1}\mathbf{Z}_{2}+\mathbf{Z}_{2}\mathbf{Z}_{3}+\mathbf{Z}_{3}\mathbf{Z}_{1}}{\mathbf{Z}_{1}}$        $\displaystyle\mathbf{Z}_{3}=\frac{\mathbf{Z}_{C}\mathbf{Z}_{A}}{\mathbf{Z}_{A}+\mathbf{Z}_{B}+\mathbf{Z}_{C}}$

(식 유도는 저항의 $\Delta-Y$변환 유도과정과 비슷하다. 저항이 임피던스로 바뀌었을 뿐이다.)

$\Delta-Y$변환을 통해 등가저항을 구하는 과정이다.

$\displaystyle\mathbf{y}_{11}+\mathbf{y}_{12}=\frac{1}{500\Omega}$, $\displaystyle-\mathbf{y}_{12}=\frac{1}{2000\Omega}$, $\displaystyle\mathbf{y}_{22}+\mathbf{y}_{12}=\frac{1}{10000\Omega}$, $\displaystyle\mathbf{y}_{21}-\mathbf{y}_{12}=0.0395\text{S}$. 이 네 식을 연립해서 풀면 $\mathbf{y}_{12}=-0.5\text{mS},\,\mathbf{y}_{11}=2.5\text{mS},\,\mathbf{y}_{22}=0.6\text{mS},\,\mathbf{y}_{21}=39\text{mS}$

$\mathbf{I}_{1}=2.5\mathbf{V}_{1}-0.5\mathbf{V}_{2},\,\mathbf{I}_{2}=39\mathbf{V}_{1}+0.6\mathbf{V}_{2}$(단위는 mA, V, mS, kΩ)

마디방정식을 세우면 $\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2}}{2}+\frac{\mathbf{V}_{1}}{0.5}, \mathbf{I}_{2}-39.5\mathbf{V}_{1}=\frac{\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{1}}{2}+\frac{\mathbf{V}_{2}}{10}$이고 이렇게 해도 같은 결과를 얻는다. 위 회로의 입력단자에 $\mathbf{I}_{1}=1\angle0^{\circ}\text{mA}$인 독립전류원, 출력단자에 $0.5\text{k}\Omega$의 저항을 연결하면 $\mathbf{V}_{1}=0.1\text{V},\,\mathbf{V}_{2}=-1.5\text{V},\,\mathbf{I}_{1}=1\text{mA},\,\mathbf{I}_{2}=3\text{mA}$. 그러면 입력단자 오른쪽 회로망의 테브난 등가회로는 $\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in}}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{\mathbf{I}_{1}}=100\Omega$이다. 왼쪽 회로의 노턴 등가회로를 구하자. 먼저 $\mathbf{I}_{1}=1\text{mA}$, $\mathbf{I}_{2}=0$(부하회로 개방)이라 하면 $1=2.5\mathbf{V}_{1}-0.5\mathbf{V}_{2}$, $0=39\mathbf{V}_{1}+0.6\mathbf{V}_{2}$이고 $\mathbf{V}_{2oc}=-1.857\text{V}$(개방된 부분). 그 다음으로 부하회로를 단락($\mathbf{V}_{2}=0$)하면 $\mathbf{I}_{1}=1\text{mA}=2.5\mathbf{V}_{1}-0$, $\mathbf{I}_{2}=39\mathbf{V}_{1}+0$, $\mathbf{I}_{2sc}=15.6\text{mA}$, $\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{out}}=\mathbf{Z}_{Th}=-\frac{\mathbf{V}_{2oc}}{\mathbf{I}_{2sc}}=119\Omega$

포트 사이가 연결되어 있다.

$\mathbf{I}_{1}=\mathbf{y}_{A}\mathbf{V}_{A},\,\mathbf{I}_{2}=\mathbf{y}_{B}\mathbf{V}_{B},\,\mathbf{V}_{A}=\mathbf{V}_{B}=\mathbf{V},\,\mathbf{I}=\mathbf{I}_{A}+\mathbf{I}_{B}$

그러면 $\mathbf{I}=\mathbf{y}\mathbf{V},\,\mathbf{y}=\mathbf{y}_{A}+\mathbf{y}_{B}$. 여기서

$\mathbf{I}_{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{A1}\\ \mathbf{I}_{A2}\end{pmatrix}$, $\mathbf{I}_{B}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{B1}\\ \mathbf{I}_{B2}\end{pmatrix}$, $\mathbf{V}_{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{A1}\\ \mathbf{V}_{A2}\end{pmatrix}$, $\mathbf{V}_{B}=\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{B1}\\ \mathbf{V}_{B2}\end{pmatrix}$, $\mathbf{y}_{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{y}_{A11}&\mathbf{y}_{A12}\\ \mathbf{y}_{A21}&\mathbf{y}_{A22}\end{pmatrix}$, $\mathbf{y}_{B}=\begin{pmatrix}\mathbf{y}_{B11}&\mathbf{y}_{B12}\\ \mathbf{y}_{B21}&\mathbf{y}_{B22}\end{pmatrix}$

$\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{5000}-\frac{\mathbf{V}_{2}}{1000},\,\mathbf{I}_{2}=\frac{\mathbf{V}_{2}}{3000}-20\mathbf{I}_{1}$이고

식을 정리하면 $\mathbf{I}_{1}=2\times10^{-4}\mathbf{V}_{1}-10^{-3}\mathbf{V}_{2},\,\mathbf{I}_{2}=-4\times10^{-3}\mathbf{V}_{1}+20.3\times10^{-3}\mathbf{V}_{2}$. 그러면 $\mathbf{y}=\begin{pmatrix}2\times10^{-4}&-10^{-3}\\-4\times10^{-3}&20.3\times10^{-3}\end{pmatrix}$

부하회로 개방($1\text{k}\Omega$저항 제거): $\mathbf{V}_{1}=\mathbf{V}_{s}-200\mathbf{V}_{1}$이고 $\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{2}-200\mathbf{I}_{1}}{5000}=\mathbf{I}_{1}+\frac{\mathbf{V}_{2}}{1000},\,\mathbf{V}_{2}=60\times10^{3}\mathbf{I}_{1}$, $\displaystyle\mathbf{V}_{2oc}=\frac{60}{305.2}\mathbf{V}_{s}$.

부하회로 단락: $\mathbf{I}_{2}-20\mathbf{I}_{1}$, $\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{\mathbf{V}_{s}}{5200}$이고 $\displaystyle\mathbf{I}_{2}=-\frac{2}{520}\mathbf{V}_{s}=-\frac{\mathbf{V}_{s}}{260}$, $\displaystyle\mathbf{I}_{2sc}=-\frac{\mathbf{V}_{s}}{260}$. $\displaystyle\mathbf{Z}_{Th}=-\frac{\mathbf{V}_{2oc}}{\mathbf{I}_{2sc}}=51.1\Omega$.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill