34. 극, 영점, 전달함수

34. 극, 영점, 전달함수

$\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{\text{in}}-\mathbf{V}_{\text{out}}}{R}=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{1/\mathbf{s}C}$이고 $\displaystyle\mathbf{V}_{\text{out}}=\frac{\mathbf{V}_{\text{in}}}{1+\mathbf{s}RC}$.

여기서 $\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}(\mathbf{s})}{\mathbf{V}_{\text{in}}(\mathbf{s})}=\frac{1}{1+\mathbf{s}RC}=\frac{1/RC}{\mathbf{s}+1/RC}$를 전달함수(시스템함수)라고 한다. $\displaystyle\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,\infty}{\mathbf{H}(\mathbf{s})}=0$이므로 $\mathbf{s}=\infty$일 때 $\mathbf{H}(\mathbf{s})=0$이고 $\mathbf{s}=\infty$는 $\mathbf{H}(\mathbf{s})$의 영점이다. 또한 $\displaystyle\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,-1/RC}{\mathbf{H}(\mathbf{s})}=\infty$이므로 $\displaystyle\mathbf{s}=-\frac{1}{RC}$는 $\mathbf{H}(\mathbf{s})$의 극점이다. 이때 라플라스 변환의 성질로부터 $\mathbf{V}_{\text{out}}(\mathbf{s})=\mathbf{H}(\mathbf{s})\mathbf{V}_{\text{in}}$이므로 $v_{\text{out}}=h(t)*v_{\text{in}}(t)$이고 여기서 $\mathcal{L}(h(t))=\mathbf{H}(\mathbf{s})$이다.

$v_{\text{in}}(t)=\delta(t)$(디락-델타 함수, 임펄스 전압 펄스라고 한다)일 때 $h(t)$를 단위임펄스 응답함수 또는 임펄스 응답이라고 한다.

$\mathbf{H}(\mathbf{s})$를 구하기 위해 $v_{\text{in}}$에 임펄스 전압 펄스 $\delta(t)\text{V}$를 연결한다. 그러면 $\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})}{1}=\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})$이고 $\displaystyle\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})=\frac{2}{2/\mathbf{s}+2}=\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{s}+1}=\mathbf{H}(\mathbf{s})$.

(1) $v_{\text{in}}(t)=6e^{-t}\text{V}$일 때 $\displaystyle\mathbf{V}_{\text{in}}(\mathbf{s})=\mathcal{L}\{v_{\text{in}}(t)\}=\frac{6}{\mathbf{s}+1}$이므로 $\displaystyle\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})=\mathbf{V}_{\text{in}}(\mathbf{s})\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{6\mathbf{s}}{(\mathbf{s}+1)^{2}}=\frac{6}{\mathbf{s}+1}\left(1-\frac{1}{\mathbf{s}+1}\right)$ 그러면 $v_{o}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})\}=6e^{-1}(1-t)\text{V}$.

(2) $v_{\text{in}}(t)=t\text{V}$일 때 $\displaystyle\mathbf{V}_{\text{in}}=\mathcal{L}\{v_{\text{in}}(t)\}=\frac{1}{\mathbf{s}^{2}}$이므로 $\displaystyle\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})=\mathbf{V}_{\text{in}}(\mathbf{s})\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{1}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+1)}=\frac{1}{\mathbf{s}}-\frac{1}{\mathbf{s}+1}$. 그러면 $v_{o}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})\}=(1-e^{-t})\text{V}$.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill