34. 극, 영점, 전달함수

34. 극, 영점, 전달함수

\(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{\text{in}}-\mathbf{V}_{\text{out}}}{R}=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}}{1/\mathbf{s}C}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{V}_{\text{out}}=\frac{\mathbf{V}_{\text{in}}}{1+\mathbf{s}RC}\).

여기서 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{\text{out}}(\mathbf{s})}{\mathbf{V}_{\text{in}}(\mathbf{s})}=\frac{1}{1+\mathbf{s}RC}=\frac{1/RC}{\mathbf{s}+1/RC}\)를 전달함수(시스템함수)라고 한다. \(\displaystyle\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,\infty}{\mathbf{H}(\mathbf{s})}=0\)이므로 \(\mathbf{s}=\infty\)일 때 \(\mathbf{H}(\mathbf{s})=0\)이고 \(\mathbf{s}=\infty\)는 \(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)의 영점이다. 또한 \(\displaystyle\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,-1/RC}{\mathbf{H}(\mathbf{s})}=\infty\)이므로 \(\displaystyle\mathbf{s}=-\frac{1}{RC}\)는 \(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)의 극점이다. 이때 라플라스 변환의 성질로부터 \(\mathbf{V}_{\text{out}}(\mathbf{s})=\mathbf{H}(\mathbf{s})\mathbf{V}_{\text{in}}\)이므로 \(v_{\text{out}}=h(t)*v_{\text{in}}(t)\)이고 여기서 \(\mathcal{L}(h(t))=\mathbf{H}(\mathbf{s})\)이다.

\(v_{\text{in}}(t)=\delta(t)\)(디락-델타 함수, 임펄스 전압 펄스라고 한다)일 때 \(h(t)\)를 단위임펄스 응답함수 또는 임펄스 응답이라고 한다.

\(\mathbf{H}(\mathbf{s})\)를 구하기 위해 \(v_{\text{in}}\)에 임펄스 전압 펄스 \(\delta(t)\text{V}\)를 연결한다. 그러면 \(\displaystyle\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})}{1}=\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})\)이고 \(\displaystyle\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})=\frac{2}{2/\mathbf{s}+2}=\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{s}+1}=\mathbf{H}(\mathbf{s})\).

(1) \(v_{\text{in}}(t)=6e^{-t}\text{V}\)일 때 \(\displaystyle\mathbf{V}_{\text{in}}(\mathbf{s})=\mathcal{L}\{v_{\text{in}}(t)\}=\frac{6}{\mathbf{s}+1}\)이므로 \(\displaystyle\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})=\mathbf{V}_{\text{in}}(\mathbf{s})\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{6\mathbf{s}}{(\mathbf{s}+1)^{2}}=\frac{6}{\mathbf{s}+1}\left(1-\frac{1}{\mathbf{s}+1}\right)\) 그러면 \(v_{o}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})\}=6e^{-1}(1-t)\text{V}\).

(2) \(v_{\text{in}}(t)=t\text{V}\)일 때 \(\displaystyle\mathbf{V}_{\text{in}}=\mathcal{L}\{v_{\text{in}}(t)\}=\frac{1}{\mathbf{s}^{2}}\)이므로 \(\displaystyle\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})=\mathbf{V}_{\text{in}}(\mathbf{s})\mathbf{H}(\mathbf{s})=\frac{1}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+1)}=\frac{1}{\mathbf{s}}-\frac{1}{\mathbf{s}+1}\). 그러면 \(v_{o}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\mathbf{V}_{o}(\mathbf{s})\}=(1-e^{-t})\text{V}\).

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill