31. 복소주파수와 회로해석에 필요한 라플라스 변환
※라플라스 변환을 알아야 합니다.
2017/08/08 - [미분방정식/상미분방정식] - 13. 라플라스 변환의 정의
2017/08/09 - [미분방정식/상미분방정식] - 14. 단위계단함수, 디렉-델타함수, 합성곱
2017/08/10 - [미분방정식/상미분방정식] - 15. 라플라스변환에서의 미분과 적분
전압을 나타내는 식은 보통 v(t)=Vmeσtcos(ωt+θ)이다.
σ<0일 때 v(t)를 감쇠함수라 한다. σ=ω=0일 때 v(t)=Vmcosθ=V0(직류), σ=0일 때 v(t)=Vmcos(ωt+θ)(정현파)이고 ω=0일 때 v(t)=Vmeσt.
σ는 복소주파수의 실수부분이고 네퍼주파수라고 한다. σt의 차원은 네퍼이고 σ의 차원은 네퍼주파수이다.
일반적으로 전압은 f(t)=Kest(K는 복소상수, s는 복소주파수)의 형태이다.
직류: 직류전압 v(t)=V0e0t=V0 또는 전류의 복소주파수 s=0
지수: v(t)=Vmeσt, 복소주파수 s=σ+j0
정현파: v(t)=Vmcos(ωt+θ), cos(ωt+θ)=12(ej(ωt+θ)+e−j(ωt+θ))이므로 v(t)=12Vm(ej(ωt+θ)+e−j(ωt+θ))=(12Vmejθ)ejωt+(12Vme−jθ)e−jωt(v(t)=K1es1t+K2es2t).
여기서 s1=jω, s2=−jω=s∗1, K1=12Vmejθ, K2=12Vme−jθ=K∗1.
복소주파수는 일반적으로 s=σ+jω(Re{s}=σ,Im{s}=ω)이다. s는 복소주파수이고 단위는 초당복소네퍼 또는 라디안이다. σ는 네퍼주파수이고 단위는 nepers/s, ω는 라디안주파수이고 단위는 rad/s이다.
회로해석에 필요한 라플라스 변환
라플라스 변환식 중에서 V(s)=N(s)D(s)(N(s), D(s)는 s에 대한 다항식)의 역변환을 구하는 방법이다. 여기서 N(s)=0을 만족하는 s를 V(s)의 영점이라 하고 D(s)=0을 만족하는 s를 V(s)의 극점이라 한다.
V(s)=1(s+α)(s+β)의 경우, V(s)=1(s+α)(s+β)=As+α+Bs+β를 만족하는 A,B를 구하자.
A=lims→−α[(s+α)V(s)−s+αs+βB]=1β−α, B=lims→−β[(s+β)V(s)−s+βs+αA]=1α−β이고 따라서 V(s)=1β−α[1s+α−1s+β]이고 v(t)=L−1{V(s)}=1β−α(e−αt−e−βt).
겹치는 극점의 경우, 즉 V(s)=N(s)(s−p)n=an(s−p)+an−1(s−p)n−1+⋯+a1s−p일 때, an−k=1k!dkdsk[(s−p)nV(s)]s=p식이 성립함이 알려져 있다. 이를 이용하여 an−k를 구한다.
V(s)=2s3+12s2+36s=2s(s+6)2=a1(s+6)2+a2s+6+a3s일 때 a1=[(s+6)22s(s+6)2]s=−6=−13, a2=dds[(s+6)22s(s+6)2]=[−2s2]s=−6=−118, a3=[s2s(s+6)2]s=0=118.
따라서 V(s)=−13(s+6)2−118(s+6)+118s이고 v(t)=L−1{V(t)}=118[1−(1+6t)e−6t].
참고자료:
Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill
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