31. 복소주파수와 회로해석에 필요한 라플라스 변환

31. 복소주파수와 회로해석에 필요한 라플라스 변환

※라플라스 변환을 알아야 합니다.

2017/08/08 - [미분방정식/상미분방정식] - 13. 라플라스 변환의 정의

2017/08/09 - [미분방정식/상미분방정식] - 14. 단위계단함수, 디렉-델타함수, 합성곱

2017/08/10 - [미분방정식/상미분방정식] - 15. 라플라스변환에서의 미분과 적분

전압을 나타내는 식은 보통 \(v(t)=V_{m}e^{\sigma t}\cos(\omega t+\theta)\)이다.

\(\sigma<0\)일 때 \(v(t)\)를 감쇠함수라 한다. \(\sigma=\omega=0\)일 때 \(v(t)=V_{m}\cos\theta=V_{0}\)(직류), \(\sigma=0\)일 때 \(v(t)=V_{m}\cos(\omega t+\theta)\)(정현파)이고 \(\omega=0\)일 때 \(v(t)=V_{m}e^{\sigma t}\).

\(\sigma\)는 복소주파수의 실수부분이고 네퍼주파수라고 한다. \(\sigma t\)의 차원은 네퍼이고 \(\sigma\)의 차원은 네퍼주파수이다.

일반적으로 전압은 \(f(t)=\mathbf{K}e^{\mathbf{s}t}\)(\(\mathbf{K}\)는 복소상수, \(\mathbf{s}\)는 복소주파수)의 형태이다.

직류: 직류전압 \(v(t)=V_{0}e^{0t}=V_{0}\) 또는 전류의 복소주파수 \(\mathbf{s}=0\)

지수: \(v(t)=V_{m}e^{\sigma t}\), 복소주파수 \(\mathbf{s}=\sigma+j0\)

정현파: \(v(t)=V_{m}\cos(\omega t+\theta)\), \(\displaystyle\cos(\omega t+\theta)=\frac{1}{2}(e^{j(\omega t+\theta)}+e^{-j(\omega t+\theta)})\)이므로 \(\displaystyle v(t)=\frac{1}{2}V_{m}(e^{j(\omega t+\theta)}+e^{-j(\omega t+\theta)})=\left(\frac{1}{2}V_{m}e^{j\theta}\right)e^{j\omega t}+\left(\frac{1}{2}V_{m}e^{-j\theta}\right)e^{-j\omega t}\,\left(v(t)=\mathbf{K}_{1}e^{\mathbf{s}_{1}t}+\mathbf{K}_{2}e^{\mathbf{s}_{2}t}\right)\).

여기서 \(\mathbf{s}_{1}=j\omega\), \(\mathbf{s}_{2}=-j\omega=\mathbf{s}_{1}^{*}\), \(\displaystyle\mathbf{K}_{1}=\frac{1}{2}V_{m}e^{j\theta}\), \(\displaystyle\mathbf{K}_{2}=\frac{1}{2}V_{m}e^{-j\theta}=\mathbf{K}_{1}^{*}\).

복소주파수는 일반적으로 \(\mathbf{s}=\sigma+j\omega(\text{Re}\{\mathbf{s}\}=\sigma,\,\text{Im}\{\mathbf{s}\}=\omega)\)이다. \(\mathbf{s}\)는 복소주파수이고 단위는 초당복소네퍼 또는 라디안이다. \(\sigma\)는 네퍼주파수이고 단위는 nepers/s, \(\omega\)는 라디안주파수이고 단위는 rad/s이다.

회로해석에 필요한 라플라스 변환

라플라스 변환식 중에서 \(\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{N}(\mathbf{s})}{\mathbf{D}(\mathbf{s})}\)(\(\mathbf{N}(\mathbf{s})\), \(\mathbf{D}(\mathbf{s})\)는 \(\mathbf{s}\)에 대한 다항식)의 역변환을 구하는 방법이다. 여기서 \(\mathbf{N}(\mathbf{s})=0\)을 만족하는 \(\mathbf{s}\)를 \(\mathbf{V}(\mathbf{s})\)의 영점이라 하고 \(\mathbf{D}(\mathbf{s})=0\)을 만족하는 \(\mathbf{s}\)를 \(\mathbf{V}(\mathbf{s})\)의 극점이라 한다.

\(\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})=\frac{1}{(\mathbf{s}+\alpha)(\mathbf{s}+\beta)}\)의 경우, \(\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})=\frac{1}{(\mathbf{s}+\alpha)(\mathbf{s}+\beta)}=\frac{A}{\mathbf{s}+\alpha}+\frac{B}{\mathbf{s}+\beta}\)를 만족하는 \(A,\,B\)를 구하자.

\(\displaystyle A=\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,-\alpha}{\left[(\mathbf{s}+\alpha)\mathbf{V}(\mathbf{s})-\frac{\mathbf{s}+\alpha}{\mathbf{s}+\beta}B\right]}=\frac{1}{\beta-\alpha}\), \(\displaystyle B=\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,-\beta}{\left[(\mathbf{s}+\beta)\mathbf{V}(\mathbf{s})-\frac{\mathbf{s}+\beta}{\mathbf{s}+\alpha}A\right]}=\frac{1}{\alpha-\beta}\)이고 따라서 \(\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})=\frac{1}{\beta-\alpha}\left[\frac{1}{\mathbf{s}+\alpha}-\frac{1}{\mathbf{s}+\beta}\right]\)이고 \(\displaystyle v(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\mathbf{V}(\mathbf{s})\right\}=\frac{1}{\beta-\alpha}(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t})\).

겹치는 극점의 경우, 즉 \(\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{N}(\mathbf{s})}{(\mathbf{s}-p)^{n}}=\frac{a_{n}}{(\mathbf{s}-p)}+\frac{a_{n-1}}{(\mathbf{s}-p)^{n-1}}+\cdots+\frac{a_{1}}{\mathbf{s}-p}\)일 때, \(\displaystyle a_{n-k}=\frac{1}{k!}\frac{d^{k}}{d\mathbf{s}^{k}}\left[(\mathbf{s}-p)^{n}\mathbf{V}(\mathbf{s})\right]_{\mathbf{s}=p}\)식이 성립함이 알려져 있다. 이를 이용하여 \(a_{n-k}\)를 구한다.

\(\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})=\frac{2}{\mathbf{s}^{3}+12\mathbf{s}^{2}+36\mathbf{s}}=\frac{2}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+6)^{2}}=\frac{a_{1}}{(\mathbf{s}+6)^{2}}+\frac{a_{2}}{\mathbf{s}+6}+\frac{a_{3}}{\mathbf{s}}\)일 때 \(\displaystyle a_{1}=\left[(\mathbf{s}+6)^{2}\frac{2}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+6)^{2}}\right]_{\mathbf{s}=-6}=-\frac{1}{3}\), \(\displaystyle a_{2}=\frac{d}{d\mathbf{s}}\left[(\mathbf{s}+6)^{2}\frac{2}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+6)^{2}}\right]=\left[-\frac{2}{\mathbf{s}^{2}}\right]_{\mathbf{s}=-6}=-\frac{1}{18}\), \(\displaystyle a_{3}=\left[\mathbf{s}\frac{2}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+6)^{2}}\right]_{\mathbf{s}=0}=\frac{1}{18}\).

따라서 \(\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})=-\frac{1}{3(\mathbf{s}+6)^{2}}-\frac{1}{18(\mathbf{s}+6)}+\frac{1}{18\mathbf{s}}\)이고 \(\displaystyle v(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\mathbf{V}(t)\}=\frac{1}{18}[1-(1+6t)e^{-6t}]\).

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill