32. s영역에서의 회로해석-주파수영역에서의 저항, 인덕터, 커패시터

32. s영역에서의 회로해석-주파수영역에서의 저항, 인덕터, 커패시터

s영역에서의 회로해석은 회로의 소자에 걸리는 전압 또는 흐르는 전류를 라플라스 변환한 후, 회로해석을 하는 것이다.

저항	인덕터
시간영역: $v(t)=Ri(t)$ 주파수영역: $\mathbf{V}(\mathbf{s})=R\mathbf{I}(\mathbf{s})$ (시간영역의 라플라스 변환) 임피던스: $\displaystyle\mathbf{Z}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}(\mathbf{s})}{\mathbf{I}(\mathbf{s})}=R$ 어드미턴스: $\displaystyle\mathbf{Y}(\mathbf{s})=\frac{1}{\mathbf{Z}(\mathbf{s})}=\frac{1}{R}$ $\mathbf{V}(\mathbf{s})=R\mathbf{I}(\mathbf{s})$ $\displaystyle\mathbf{I}(\mathbf{s})=\frac{1}{R}\mathbf{V}(\mathbf{s})$	시간영역: $\displaystyle v(t)=L\frac{di}{dt}$ 주파수영역: $\mathbf{V}(\mathbf{s})=L[\mathbf{s}\mathbf{I}(\mathbf{s})-i(0^{-})]$ (시간영역의 라플라스 변환) 임피던스: $\mathbf{Z}(\mathbf{s})=\mathbf{s}L(\mathbf{s}=j\omega)$ 어드미턴스: $\displaystyle\mathbf{Y}(\mathbf{s})=\frac{1}{\mathbf{s}L}$ $\mathbf{V}(\mathbf{s})=\mathbf{s}L\mathbf{I}(\mathbf{s})-Li(0^{-})$ $\displaystyle\mathbf{I}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{V}(\mathbf{s})}{\mathbf{s}L}+\frac{i(0^{-})}{\mathbf{s}}$
커패시터
시간영역: $\displaystyle i(t)=C\frac{dv}{dt}$ 주파수영역: $\mathbf{I}(\mathbf{s})=C[\mathbf{s}\mathbf{V}(\mathbf{s})-v(0^{-})]$ (시간영역의 라플라스 변환) 임피던스: $\displaystyle\mathbf{Z}(\mathbf{s})=\frac{1}{\mathbf{s}C}$ 어드미턴스: $\mathbf{Y}(\mathbf{s})=\mathbf{s}C$ $\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{I}(\mathbf{s})}{\mathbf{s}C}+\frac{v(0^{-})}{\mathbf{s}}$ $\mathbf{I}(\mathbf{s})=\mathbf{s}C\mathbf{V}(\mathbf{s})-Cv(0^{-})$

$\displaystyle\mathbf{I}(\mathbf{s})=\frac{3/(\mathbf{s}+8)-(-2)}{1+2\mathbf{s}}=\frac{\mathbf{s}+9.5}{(\mathbf{s}+8)(\mathbf{s}+0.5)}$

$\begin{align*}\displaystyle\mathbf{V}(\mathbf{s})&=2[\mathbf{s}\mathbf{I}(\mathbf{s})-1]=\frac{2\mathbf{s}(\mathbf{s}+9.5)}{(\mathbf{s}+8)(\mathbf{s}+0.5)}-2\\&=\frac{2\mathbf{s}-8}{(\mathbf{s}+8)(\mathbf{s}+0.5)}=\frac{3.2}{\mathbf{s}+8}-\frac{1.2}{\mathbf{s}+0.5}\end{align*}$

$v(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\mathbf{V}(\mathbf{s})\}=3.2e^{-8t}-1.2e^{-0.5t}\text{V}$.

 

$\displaystyle-1=\frac{\mathbf{V}_{C}(\mathbf{s})}{2/\mathbf{s}}+\frac{\mathbf{V}_{C}(\mathbf{s})-9/\mathbf{s}}{3}$

$\displaystyle\mathbf{V}_{C}(\mathbf{s})=-2\frac{\mathbf{s}-3}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+2/3)}=\frac{9}{\mathbf{s}}-\frac{11}{\mathbf{s}+2/3}$

$\displaystyle v_{C}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\mathbf{V}(\mathbf{s})\}=9-11e^{-\frac{2}{3}t}\text{V}$.

초기값 정리와 최종값 정리

$\displaystyle\mathcal{L}\left(\frac{df}{dt}\right)=\mathbf{s}F(\mathbf{s})-f(0^{-})=\int_{0^{-}}^{\infty}{e^{-\mathbf{s}t}\frac{df}{dt}dt}+\int_{0^{+}}^{\infty}{e^{-\mathbf{s}t}\frac{df}{dt}dt}$에서 초기값 정리는 $\mathbf{s}\,\rightarrow\,\infty$인 경우이고, 최종값 정리는 $\mathbf{s}\,\rightarrow\,0$인 경우이다. 이를 정리하면

초기값 정리: $\displaystyle f(0^{+})=\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,\infty}{\mathbf{s}F(\mathbf{s})}$. 최종값 정리: $\displaystyle f(\infty)=\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,0}{\mathbf{s}F(\mathbf{s})}$.

$\displaystyle\mathcal{L}(\cos\omega t)=\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{s}^{2}+\omega^{2}}$이므로 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,0^{+}}{\cos\omega t}=1=\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,\infty}{\mathbf{s}\frac{\mathbf{s}}{\mathbf{s}^{2}+\omega^{2}}}$이고 $f(t)=(1-e^{-t}u(t))$에 대하여 $\displaystyle F(\mathbf{s})=\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{\mathbf{s}(\mathbf{s}+1)}$이므로 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{f(t)}=1=\lim_{\mathbf{s}\,\rightarrow\,0}{\mathbf{s}F(\mathbf{s})}$.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill