29. 이상적인 변압기(1)

29. 이상적인 변압기(1)

이상적인 변압기의 결합계수는 1이다($k=1$). 즉 $M^{2}=L_{1}L_{2}$

*솔레노이드(인덕터)의 인덕턴스: $\displaystyle L=\frac{\mu_{0}n^{2}A}{\ell}$

($\mu_{0}$: 진공에서의 투자율, $n$: 단위길이당 감은 수, $A$: 솔레노이드의 단면적, $\ell$: 솔레노이드의 길이)

$L_{1}$의 감은 수를 $N_{1}$, $L_{2}$의 감은 수를 $N_{2}$라 하자. 그러면 $\displaystyle\frac{L_{2}}{L_{1}}=\frac{N_{2}^{2}}{N_{1}^{2}}=a^{2}$, $\displaystyle a=\frac{N_{2}}{N_{1}}$이고 이 회로의 메쉬방정식은 $\mathbf{V}_{1}=j\omega L_{1}\mathbf{I}_{1}+j\omega M(-\mathbf{I}_{2})$, $0=j\omega M\mathbf{I}_{1}+(\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2})(-\mathbf{I}_{2})$

$\displaystyle\mathbf{V}_{1}=j\omega L_{1}\mathbf{I}_{1}+\frac{\omega^{2}M^{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}\mathbf{I}_{1}$, $\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{\mathbf{I}_{1}}=j\omega L_{1}+\frac{\omega^{2}M^{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}$. 이때 $\displaystyle k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}=1$이므로 $M^{2}=L_{1}L_{2}$이고 $\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=j\omega L_{1}+\frac{\omega^{2}L_{1}L_{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}$

이상적인 변압기의 또다른 특성은 동작 주파수 $\omega$에 관계없이 1, 2차 코일의 임피던스가 몹시 크다. 즉, $L_{1},\,L_{2}$는 무한히 크다. 그러나 $\displaystyle a^{2}=\frac{N_{2}^{2}}{N_{1}^{2}}$의 값은 유한하다. 즉, $L_{2}=a^{2}L_{1}$이고 $\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=j\omega L_{1}+\frac{\omega^{2}a^{2}L_{1}^{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}$, $\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=\frac{j\omega L_{1}\mathbf{Z}_{L}-\omega^{2}a^{2}L_{1}^{2}+\omega^{2}a^{2}L_{1}^{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}=\frac{j\omega L_{1}\mathbf{Z}_{L}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega a^{2}L_{1}}=\frac{\mathbf{Z}_{L}}{(\mathbf{Z}_{L}/j\omega L_{1})+a^{2}}$. $L_{1}$의 값이 무한하면 $\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=\frac{\mathbf{Z}_{L}}{a^{2}}$.

전류 조정을 위한 변압기의 사용.

$\displaystyle\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{I}_{1}}=\frac{j\omega M}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}=\frac{j\omega}{\mathbf{Z}_{L}/L_{2}+j\omega}\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}$. $L_{2}$의 값이 무한하면 $\displaystyle\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{I}_{1}}=\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}$이고 $\displaystyle\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{I}_{1}}=\frac{1}{a}$, $\displaystyle N_{1}\mathbf{I}_{1}=N_{2}\mathbf{I}_{2}\left(a=\frac{N_{2}}{N_{1}}\right)$.

전압레벨 조정을 위한 변압기의 사용

이상적인 변압기의 2차전압(부하전압): $\mathbf{V}_{2}=\mathbf{I}_{2}\mathbf{Z}_{L}$

$L_{1}$에 걸리는 1차전압: $\displaystyle\mathbf{V}_{1}=\mathbf{I}_{1}\mathbf{Z}_{in}=\mathbf{I}_{1}\frac{\mathbf{Z}_{L}}{a^{2}}\,\Rightarrow\,\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}=a^{2}\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{I}_{1}}=a^{2}\frac{1}{a}=a\,\Rightarrow\,\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}=a=\frac{N_{2}}{N_{1}}$.

$\displaystyle a=\frac{N_{2}}{N_{1}}>1$이면 승압변압기, $\displaystyle a=\frac{N_{2}}{N_{1}}<1$이면 강압변압기.

$\mathbf{V}_{1}\mathbf{I}_{1}=\mathbf{V}_{2}\mathbf{I}_{2}$ (1차, 2차 인덕터의 복소전력은 같다) (변압기의 최대전력 허용값 1은 보통 이 곱의 크기) 부하의 위상각을 $\theta$라 하면 ($\mathbf{Z}_{L}=|\mathbf{Z}_{L}|\angle\theta$) $\mathbf{V}_{2}$는 $\mathbf{I}_{2}$보다 위상이 $\theta$만큼 앞선다.

전압, 전류를 rms값으로 나타내면 $|\mathbf{V}_{2}||\mathbf{I}_{2}|\cos\theta=|\mathbf{V}_{1}||\mathbf{I}_{1}|\cos\theta$, 1차 단자에 전달되는 전력은 모두 부하에 전달된다(이상적인 변압기는 전력을 소비하지도 발생시키지도 않는다.)

$10\text{k}\Omega$ 저항에서 소비되는 평균전력: $P=(10\text{k}\Omega)|\mathbf{I}_{2}|^{2}$

$50\text{Vrms}$전원에서 바라본 변압기의 입력 임피던스: $\frac{\mathbf{Z}_{L}}{a^{2}}=100\Omega$

$\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{50}{100+100}=250\text{mArms}$, $\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}=\frac{\mathbf{V}_{2}}{100/(100+100)\times50}=\frac{\mathbf{V}_{2}}{25}=10$, $\mathbf{V}_{2}=250\text{Vrms}$, $P=(10\text{k}\Omega)\times(250\times\text{mArms})=6.25\text{W}$.

시간영역에서의 전압관계

$\displaystyle v_{1}=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}+M\frac{di_{2}}{dt},\,v_{2}=L_{2}\frac{di_{2}}{dt}+M\frac{di_{1}}{dt}\,\Rightarrow\,\frac{di_{2}}{dt}=\frac{1}{L_{2}}v_{2}-\frac{M}{L_{2}}\frac{di_{1}}{dt}$.

$\displaystyle v_{1}=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}+\frac{M}{L_{2}}v_{2}-\frac{M^{2}}{L_{2}}\frac{di_{1}}{dt}$. $k=1$일 때 $M^{2}=L_{1}L_{2}$이고 $\displaystyle v_{1}=\frac{M}{L_{2}}v_{2}=\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}v_{2}=\frac{1}{a}v_{2}$. $\displaystyle\frac{v_{1}}{L_{1}}=\frac{di_{1}}{dt}+\frac{M}{L}\frac{di_{2}}{dt}=\frac{di_{1}}{dt}+a\frac{di_{2}}{dt}$이고 이상적인 변압기는 $L_{1}=\infty\Omega$이다. $v_{1}$이 유한하면 $\displaystyle\frac{di_{1}}{dt}=-a\frac{di_{2}}{dt}$이고 시간에 따라 변하는 부분에만 관심을 가지면 $i_{1}=-ai_{2}$이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill