29. 이상적인 변압기(1)

29. 이상적인 변압기(1)

이상적인 변압기의 결합계수는 1이다(\(k=1\)). 즉 \(M^{2}=L_{1}L_{2}\)

*솔레노이드(인덕터)의 인덕턴스: \(\displaystyle L=\frac{\mu_{0}n^{2}A}{\ell}\)

(\(\mu_{0}\): 진공에서의 투자율, \(n\): 단위길이당 감은 수, \(A\): 솔레노이드의 단면적, \(\ell\): 솔레노이드의 길이)

\(L_{1}\)의 감은 수를 \(N_{1}\), \(L_{2}\)의 감은 수를 \(N_{2}\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\frac{L_{2}}{L_{1}}=\frac{N_{2}^{2}}{N_{1}^{2}}=a^{2}\), \(\displaystyle a=\frac{N_{2}}{N_{1}}\)이고 이 회로의 메쉬방정식은 \(\mathbf{V}_{1}=j\omega L_{1}\mathbf{I}_{1}+j\omega M(-\mathbf{I}_{2})\), \(0=j\omega M\mathbf{I}_{1}+(\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2})(-\mathbf{I}_{2})\)

\(\displaystyle\mathbf{V}_{1}=j\omega L_{1}\mathbf{I}_{1}+\frac{\omega^{2}M^{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}\mathbf{I}_{1}\), \(\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{\mathbf{I}_{1}}=j\omega L_{1}+\frac{\omega^{2}M^{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}\). 이때 \(\displaystyle k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}=1\)이므로 \(M^{2}=L_{1}L_{2}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=j\omega L_{1}+\frac{\omega^{2}L_{1}L_{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}\)

이상적인 변압기의 또다른 특성은 동작 주파수 \(\omega\)에 관계없이 1, 2차 코일의 임피던스가 몹시 크다. 즉, \(L_{1},\,L_{2}\)는 무한히 크다. 그러나 \(\displaystyle a^{2}=\frac{N_{2}^{2}}{N_{1}^{2}}\)의 값은 유한하다. 즉, \(L_{2}=a^{2}L_{1}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=j\omega L_{1}+\frac{\omega^{2}a^{2}L_{1}^{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}\), \(\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=\frac{j\omega L_{1}\mathbf{Z}_{L}-\omega^{2}a^{2}L_{1}^{2}+\omega^{2}a^{2}L_{1}^{2}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}=\frac{j\omega L_{1}\mathbf{Z}_{L}}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega a^{2}L_{1}}=\frac{\mathbf{Z}_{L}}{(\mathbf{Z}_{L}/j\omega L_{1})+a^{2}}\). \(L_{1}\)의 값이 무한하면 \(\displaystyle\mathbf{Z}_{in}=\frac{\mathbf{Z}_{L}}{a^{2}}\).

전류 조정을 위한 변압기의 사용.

\(\displaystyle\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{I}_{1}}=\frac{j\omega M}{\mathbf{Z}_{L}+j\omega L_{2}}=\frac{j\omega}{\mathbf{Z}_{L}/L_{2}+j\omega}\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}\). \(L_{2}\)의 값이 무한하면 \(\displaystyle\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{I}_{1}}=\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}\)이고 \(\displaystyle\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{I}_{1}}=\frac{1}{a}\), \(\displaystyle N_{1}\mathbf{I}_{1}=N_{2}\mathbf{I}_{2}\left(a=\frac{N_{2}}{N_{1}}\right)\).

전압레벨 조정을 위한 변압기의 사용

이상적인 변압기의 2차전압(부하전압): \(\mathbf{V}_{2}=\mathbf{I}_{2}\mathbf{Z}_{L}\)

\(L_{1}\)에 걸리는 1차전압: \(\displaystyle\mathbf{V}_{1}=\mathbf{I}_{1}\mathbf{Z}_{in}=\mathbf{I}_{1}\frac{\mathbf{Z}_{L}}{a^{2}}\,\Rightarrow\,\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}=a^{2}\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{I}_{1}}=a^{2}\frac{1}{a}=a\,\Rightarrow\,\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}=a=\frac{N_{2}}{N_{1}}\).

\(\displaystyle a=\frac{N_{2}}{N_{1}}>1\)이면 승압변압기, \(\displaystyle a=\frac{N_{2}}{N_{1}}<1\)이면 강압변압기.

\(\mathbf{V}_{1}\mathbf{I}_{1}=\mathbf{V}_{2}\mathbf{I}_{2}\) (1차, 2차 인덕터의 복소전력은 같다) (변압기의 최대전력 허용값 1은 보통 이 곱의 크기) 부하의 위상각을 \(\theta\)라 하면 (\(\mathbf{Z}_{L}=|\mathbf{Z}_{L}|\angle\theta\)) \(\mathbf{V}_{2}\)는 \(\mathbf{I}_{2}\)보다 위상이 \(\theta\)만큼 앞선다.

전압, 전류를 rms값으로 나타내면 \(|\mathbf{V}_{2}||\mathbf{I}_{2}|\cos\theta=|\mathbf{V}_{1}||\mathbf{I}_{1}|\cos\theta\), 1차 단자에 전달되는 전력은 모두 부하에 전달된다(이상적인 변압기는 전력을 소비하지도 발생시키지도 않는다.)

\(10\text{k}\Omega\) 저항에서 소비되는 평균전력: \(P=(10\text{k}\Omega)|\mathbf{I}_{2}|^{2}\)

\(50\text{Vrms}\)전원에서 바라본 변압기의 입력 임피던스: \(\frac{\mathbf{Z}_{L}}{a^{2}}=100\Omega\)

\(\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{50}{100+100}=250\text{mArms}\), \(\displaystyle\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}=\frac{\mathbf{V}_{2}}{100/(100+100)\times50}=\frac{\mathbf{V}_{2}}{25}=10\), \(\mathbf{V}_{2}=250\text{Vrms}\), \(P=(10\text{k}\Omega)\times(250\times\text{mArms})=6.25\text{W}\).

시간영역에서의 전압관계

\(\displaystyle v_{1}=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}+M\frac{di_{2}}{dt},\,v_{2}=L_{2}\frac{di_{2}}{dt}+M\frac{di_{1}}{dt}\,\Rightarrow\,\frac{di_{2}}{dt}=\frac{1}{L_{2}}v_{2}-\frac{M}{L_{2}}\frac{di_{1}}{dt}\).

\(\displaystyle v_{1}=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}+\frac{M}{L_{2}}v_{2}-\frac{M^{2}}{L_{2}}\frac{di_{1}}{dt}\). \(k=1\)일 때 \(M^{2}=L_{1}L_{2}\)이고 \(\displaystyle v_{1}=\frac{M}{L_{2}}v_{2}=\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}v_{2}=\frac{1}{a}v_{2}\). \(\displaystyle\frac{v_{1}}{L_{1}}=\frac{di_{1}}{dt}+\frac{M}{L}\frac{di_{2}}{dt}=\frac{di_{1}}{dt}+a\frac{di_{2}}{dt}\)이고 이상적인 변압기는 \(L_{1}=\infty\Omega\)이다. \(v_{1}\)이 유한하면 \(\displaystyle\frac{di_{1}}{dt}=-a\frac{di_{2}}{dt}\)이고 시간에 따라 변하는 부분에만 관심을 가지면 \(i_{1}=-ai_{2}\)이다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill