26. 상호 인덕턴스

26. 상호 인덕턴스

\(\displaystyle v_{2}(t)=M_{21}\frac{di_{1}(t)}{dt}\), \(\displaystyle v_{1}(t)=M_{12}\frac{di_{2}(t)}{dt}\)

\(M_{12}\)와 \(M_{21}\)은 상호유도계수라고 불리는 상수이고 이 두 값은 일반적으로 다른 값을 갖는다.

※여기서는 \(M_{12}=M_{21}=M\)인 경우만 다룰 것이다.

상호유도계수 \(M\)의 단위는 \(L\)과 같은 \(H\)(헨리)이다.

점 표시 규약

(1) 전류가 어느 한 코일의 점이 있는 단자로 흘러들어갈 때, 전류는 다른 코일에 개방회로전압을 발생시키는데 이때 점이 표시된 단자 쪽이 양전압이다.

(2) 전류가 어느 한 코일의 점이 없는 단자로 흘러들어갈 때, 전압은 다른 코일의 점이 없는 단자가 양 전압이 된다.

상호 유도전압과 자기유도전압의 결합 (\(\omega\)는 정현파의 주파수)

\(L_{1}\)에 걸리는 전압: \(\displaystyle v_{1}=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}+M\frac{di_{2}}{dt}\,\Rightarrow\,\mathbf{V}_{1}=j\omega L_{1}\mathbf{I}_{1}+j\omega M\mathbf{I}_{2}\)

\(L_{2}\)에 걸리는 전압: \(\displaystyle v_{2}=L_{2}\frac{di_{2}}{dt}+M\frac{di_{1}}{dt}\,\Rightarrow\,\mathbf{V}_{2}=j\omega L_{2}\mathbf{I}_{2}+j\omega M\mathbf{I}_{1}\)

\(L_{1}\)에 걸리는 전압: \(\displaystyle v_{1}=-L_{1}\frac{di_{1}}{dt}+M\frac{di_{2}}{dt}\,\Rightarrow\,\mathbf{V}_{1}=-j\omega L_{1}\mathbf{I}_{1}+j\omega M\mathbf{I}_{2}\)

\(L_{2}\)에 걸리는 전압: \(\displaystyle v_{2}=-L_{2}\frac{di_{2}}{dt}+M\frac{di_{1}}{dt}\,\Rightarrow\,\mathbf{V}_{2}=-j\omega L_{2}\mathbf{I}_{2}+j\omega M\mathbf{I}_{1}\)

왼쪽 회로에 대해 KVL을 적용하면

\(\displaystyle v_{s}(=v_{1})=3i_{1}+2\times10^{-3}\frac{di_{1}}{dt}+3\times10^{-3}\frac{d(-i_{2})}{dt}\)

\(\displaystyle 10i_{2}(=v_{2})=5\times10^{-3}\frac{d(-i_{2})}{dt}+3\times10^{-3}\frac{di_{1}}{dt}\)

왼쪽 회로의 전류는 점이 없는 단자로 흐르고 오른쪽 회로에는 전류 \(i_{2}\)가 흐른다. 전압은 다른 코일의 점이 없는 단자가 양전압이 된다.

위 회로에서 정현파의 주파수가 \(\omega\)일 때 KVL을 적용하면

\(\displaystyle\mathbf{V}_{1}=5\mathbf{I}_{1}+7j\omega(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2})-j2\omega(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{3})\)

\(\displaystyle-\frac{1}{j\omega}\mathbf{I}_{2}+j7\omega(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2})-j2\omega(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{3})+j6\omega(\mathbf{I}_{3}-\mathbf{I}_{2})-j2\omega(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2})=0\)

\(3\mathbf{I}_{3}=j6\omega(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{3})-2j\omega(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2})\)

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill