27. 에너지에 대한 이해

27. 에너지에 대한 이해

$M_{12}$와 $M_{21}$의 등가성

왼쪽 회로의 모든 전류와 전압은 0이고 따라서 회로에 저장된 초기에너지도 0이다. 오른쪽 단자를 개방한 상태에서 $i_{1}$을 0에서부터 증가시키기 시작하여 $t=t_{1}$시간에 상수값 $I_{1}$(직류)을 갖게 한다. 그러면 $\displaystyle v_{1}i_{1}=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}i_{1}$, $i_{2}=0$, $v_{2}i_{2}=0$

$i_{1}=I_{1}$일 때 회로 내부에 저장되는 에너지: $\displaystyle\int_{0}^{t_{1}}{v_{1}i_{1}dt}=\int_{0}^{I_{1}}{L_{1}i_{1}di_{1}}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}$

$i_{1}$을 $i_{1}=I_{1}$로 유지하면서 $i_{2}$를 $t=t_{1}$일 때 0이고 $t=t_{2}$일 때 $i_{2}=I_{2}$가 되도록 변화시킨다.

$i_{2}=I_{2}$일 때 오른쪽 전원으로부터 공급되는 에너지: $\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v_{2}i_{2}dt}=\int_{0}^{I_{2}}{L_{2}i_{2}di_{2}}=\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}$

그러나 $i_{1}$의 값이 상수($i_{1}=I_{1}$)로 유지되더라도 왼쪽 전원이 공급하는 에너지는 $\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v_{1}i_{1}dt}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{M_{12}\frac{di_{2}}{dt}i_{1}dt}=M_{12}I_{1}\int_{0}^{I_{2}}{di_{2}}=M_{12}I_{1}I_{2}$

$i_{1}=I_{1}$, $i_{2}=I_{2}$일 때 회로에 저장되는 총에너지는 $\displaystyle W_{total}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}+M_{12}I_{1}I_{2}$.

역순으로도 전류가 위와 같은 값을 갖게 할 수 있다.

먼저 $i_{2}$를 0에서 $I_{2}$까지 증가시키고 (회로에 저장되는 에너지: $\displaystyle\int_{0}^{t_{1}}{v_{2}i_{2}dt}=\int_{0}^{I_{2}}{L_{2}i_{2}di_{2}}=\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}$)

$i_{2}$를 $I_{2}$로 유지한 상태에서 $i_{1}$을 0에서 $I_{1}$까지 증가시킨다.

(왼쪽 전원으로부터 공급되는 에너지: $\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v_{1}i_{1}dt}=\int_{0}^{I_{2}}{L_{1}i_{1}di_{1}}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}$)

오른쪽 전원에서 공급되는 에너지: $\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v_{2}i_{2}dt}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{M_{21}\frac{di_{2}}{dt}i_{1}dt}=M_{21}I_{1}\int_{0}^{I_{2}}{di_{2}}=M_{21}I_{1}I_{2}$

이 과정에서 저장되는 총 에너지: $\displaystyle W_{total}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}+M_{21}I_{1}I_{2}$

회로에서 초기조건과 최종조건은 같고 저장된 에너지의 두 값도 서로 같아야 한다. 따라서 $M_{12}=M=M_{21}$이고 $\displaystyle W=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}+MI_{1}I_{2}$

*한 전류가 점이 있는 단자로 흐르고 다른 한 전류는 점이 있는 단자에서 흘러나오는 경우 $\displaystyle W=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}-MI_{1}I_{2}$

$i_{1}$, $i_{2}$가 상수가 아닐 때 $w(t)=\frac{1}{2}L_{1}\{i_{1}(t)\}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}\{i_{2}(t)\}^{2}\pm M\{i_{1}(t)\}\{i_{2}(t)\}$ (부호는 점의 위치에 따라 결정한다)

 

$M$에 대한 상한 설정: $i_{1},\,i_{2},\,L_{1},\,L_{2},\,M$에 관계없이 $w(t)\geq0$이다.

$\displaystyle w=\frac{1}{2}L_{1}i_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}i_{2}^{2}-Mi_{1}i_{2}=\frac{1}{2}(\sqrt{L_{1}}i_{1}-\sqrt{L_{2}}i_{2})^{2}+\sqrt{L_{1}L_{2}}i_{1}i_{2}-Mi_{1}i_{2}\geq0$

항상 $\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{L_{1}}i_{1}-\sqrt{L_{2}}i_{2})^{2}\geq0$이므로 $M\leq\sqrt{L_{1}L_{2}}$이다. 이때 $\displaystyle k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}$를 결합계수라고 한다. $M\leq\sqrt{L_{1}L_{2}}$이기 때문에 $0\leq k\leq1$이고 $k$값이 1에 가까운 코일들을 밀접하게 결합되어있다고 한다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill