27. 에너지에 대한 이해

27. 에너지에 대한 이해

\(M_{12}\)와 \(M_{21}\)의 등가성

왼쪽 회로의 모든 전류와 전압은 0이고 따라서 회로에 저장된 초기에너지도 0이다. 오른쪽 단자를 개방한 상태에서 \(i_{1}\)을 0에서부터 증가시키기 시작하여 \(t=t_{1}\)시간에 상수값 \(I_{1}\)(직류)을 갖게 한다. 그러면 \(\displaystyle v_{1}i_{1}=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}i_{1}\), \(i_{2}=0\), \(v_{2}i_{2}=0\)

\(i_{1}=I_{1}\)일 때 회로 내부에 저장되는 에너지: \(\displaystyle\int_{0}^{t_{1}}{v_{1}i_{1}dt}=\int_{0}^{I_{1}}{L_{1}i_{1}di_{1}}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}\)

\(i_{1}\)을 \(i_{1}=I_{1}\)로 유지하면서 \(i_{2}\)를 \(t=t_{1}\)일 때 0이고 \(t=t_{2}\)일 때 \(i_{2}=I_{2}\)가 되도록 변화시킨다.

\(i_{2}=I_{2}\)일 때 오른쪽 전원으로부터 공급되는 에너지: \(\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v_{2}i_{2}dt}=\int_{0}^{I_{2}}{L_{2}i_{2}di_{2}}=\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}\)

그러나 \(i_{1}\)의 값이 상수(\(i_{1}=I_{1}\))로 유지되더라도 왼쪽 전원이 공급하는 에너지는 \(\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v_{1}i_{1}dt}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{M_{12}\frac{di_{2}}{dt}i_{1}dt}=M_{12}I_{1}\int_{0}^{I_{2}}{di_{2}}=M_{12}I_{1}I_{2}\)

\(i_{1}=I_{1}\), \(i_{2}=I_{2}\)일 때 회로에 저장되는 총에너지는 \(\displaystyle W_{total}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}+M_{12}I_{1}I_{2}\).

역순으로도 전류가 위와 같은 값을 갖게 할 수 있다.

먼저 \(i_{2}\)를 0에서 \(I_{2}\)까지 증가시키고 (회로에 저장되는 에너지: \(\displaystyle\int_{0}^{t_{1}}{v_{2}i_{2}dt}=\int_{0}^{I_{2}}{L_{2}i_{2}di_{2}}=\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}\))

\(i_{2}\)를 \(I_{2}\)로 유지한 상태에서 \(i_{1}\)을 0에서 \(I_{1}\)까지 증가시킨다.

(왼쪽 전원으로부터 공급되는 에너지: \(\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v_{1}i_{1}dt}=\int_{0}^{I_{2}}{L_{1}i_{1}di_{1}}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}\))

오른쪽 전원에서 공급되는 에너지: \(\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}{v_{2}i_{2}dt}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{M_{21}\frac{di_{2}}{dt}i_{1}dt}=M_{21}I_{1}\int_{0}^{I_{2}}{di_{2}}=M_{21}I_{1}I_{2}\)

이 과정에서 저장되는 총 에너지: \(\displaystyle W_{total}=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}+M_{21}I_{1}I_{2}\)

회로에서 초기조건과 최종조건은 같고 저장된 에너지의 두 값도 서로 같아야 한다. 따라서 \(M_{12}=M=M_{21}\)이고 \(\displaystyle W=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}+MI_{1}I_{2}\)

*한 전류가 점이 있는 단자로 흐르고 다른 한 전류는 점이 있는 단자에서 흘러나오는 경우 \(\displaystyle W=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}-MI_{1}I_{2}\)

\(i_{1}\), \(i_{2}\)가 상수가 아닐 때 \(w(t)=\frac{1}{2}L_{1}\{i_{1}(t)\}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}\{i_{2}(t)\}^{2}\pm M\{i_{1}(t)\}\{i_{2}(t)\}\) (부호는 점의 위치에 따라 결정한다)

 

\(M\)에 대한 상한 설정: \(i_{1},\,i_{2},\,L_{1},\,L_{2},\,M\)에 관계없이 \(w(t)\geq0\)이다.

\(\displaystyle w=\frac{1}{2}L_{1}i_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}i_{2}^{2}-Mi_{1}i_{2}=\frac{1}{2}(\sqrt{L_{1}}i_{1}-\sqrt{L_{2}}i_{2})^{2}+\sqrt{L_{1}L_{2}}i_{1}i_{2}-Mi_{1}i_{2}\geq0\)

항상 \(\displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{L_{1}}i_{1}-\sqrt{L_{2}}i_{2})^{2}\geq0\)이므로 \(M\leq\sqrt{L_{1}L_{2}}\)이다. 이때 \(\displaystyle k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}\)를 결합계수라고 한다. \(M\leq\sqrt{L_{1}L_{2}}\)이기 때문에 \(0\leq k\leq1\)이고 \(k\)값이 1에 가까운 코일들을 밀접하게 결합되어있다고 한다.

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill